人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用教案设计

28.2解直角三角形

教学目标

(一)知识与能力

巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．

(二)方法与过程：

逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．

(三)情感、态度与价值观：

培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．

教学重点：能熟练运用有关三角函数知识．

教学难点：解决实际问题．

教学疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．

教学过程

1．创设情境，导入新课．

例1  同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

 2.介绍概念：坡度与坡角

 
 教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如图大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的水平宽度L，就能算出h=Ltanα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．

              图28．2-9                         图28．2-10

    与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？

我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．

   图28．2-11

    在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．

    然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．

    以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．

3.自主探究，解决问题

例2  如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）

    分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF，两者之和即为所求．

    解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，

    ∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．

    在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，

    ∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．

    ∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．

    答：缆车垂直上升了246.28米．

说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．

4．巩固练习

 教材练习 2

5.总结与扩展

 引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．

1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题． 

2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．

3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．

4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．

6.布置作业

利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

 ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

 ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．