九年级上册数学期末试卷（解析版）

这是一份九年级上册数学期末试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年湖北省十堰市丹江口市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下面所列图形中是中心对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则（　　）
A．能够事先确定取出球的颜色
B．取到红球的可能性更大
C．取到红球和取到绿球的可能性一样大
D．取到绿球的可能性更大
3．已知关于x的函数y＝（m﹣1）xm是反比例函数，则其图象（　　）
A．位于一、三象限 B．位于二、四象限
C．经过一、三象限 D．经过二、四象限
4．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a、b值分别是（　　）
A．a＝1，b＝5 B．a＝5，b＝1 C．a＝﹣5，b＝1 D．a＝﹣5，b＝﹣1
5．抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2 B．y＝﹣（x﹣1）2
C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣x2﹣1
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD＝50°，则∠BCD的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
7．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB离地面的距离为（　　）m．

A．2.1 B．2 C．1.8 D．1.6
8．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE为直径的圆与AB的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
9．若m、n（m＜n）是关于x的一元二次方程3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a的大小关系是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
10．如图，直线y＝与双曲线y＝（x＞0）交于点A，将直线y＝向右平移3个单位后，与双曲线y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若A点到x轴的距离是B点到x轴的距离的2倍，那么k的值为（　　）

A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本题6小题，每题3分，共18分）
11．如图为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为5m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.2附近，由此可估计不规则区域的面积是　 　m2．

12．在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度h（m）与时间t（s）大致有如下关系：h＝125﹣5t2．　 　秒钟后苹果落到地面．
13．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是　 　．

14．如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB∥y轴交反比例函数的图象交于点B，已知△OAB的面积为5，则k的值为　 　．

15．如图，圆锥形的烟囱冒的底面直径是80cm，母线长是50cm，制作一个这样的烟囱冒至少需要　 　cm2的铁皮．

16．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝5cm，以B为圆心，3cm长为半径作⊙B，D是⊙B上一动点，⊙B的切线DE交AC于点E，则DE长的最小值为　 　cm．

三、解答题（本大题共9题，满分72分）
17．（5分）已知y与x﹣1成反比例，且当x＝2时，y＝3，求当y＝6时x的值．
18．（6分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．

19．（8分）不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4．
（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率；
（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和为奇数”的概率．
20．（7分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣1，m），点B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当y1＞y时，直接写出x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

21．（8分）已知二次函数y＝x2﹣2x+k﹣1的图象与x轴交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0）．
（1）求k的取值范围；
（2）若AB＝2，求k的值．
22．（8分）小明妈妈开网店销售某品牌童装，每件售价110元，每月可卖200件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每月可多卖20件．已知该品牌童装每件成本价80元，设该品牌童装每件售价x元，每月的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每月的销售利润最大，最大利润多少元？
23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长．

24．（10分）已知，△ABC中，BC＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，
（1）如图1，若∠BAC＝90°，求证：AM＝EG，AM⊥EG；
（2）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．

25．（12分）如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3的图象交x轴于A，B两点（B点在A点的右边），交y轴于点C，且OC＝3OB，图象的顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）在图象上是否存在点E，使直线AE与直线AD所夹锐角为45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．


2018-2019学年湖北省十堰市丹江口市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、有五个角，但有旋转，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C、即是轴对称图形，又是中心对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：C．
【点评】注意区别轴对称图形与中心对称图形的概念．
【链接】轴对称的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．【分析】根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别，
∴绿球数量大于红球数量，其摸球具有随机性，
∴摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性，
故选：D．
【点评】此题考查了可能性的大小的知识，哪种球的数量大，摸到这种球的可能性就大．
3．【分析】首先根据反比例函数的定义确定m的值，然后根据其比例系数确定其图象的位置即可．
【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣1）xm是反比例函数，
∴m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣2＜0，
∴其图象位于二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义及反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的定义确定m的值，难度不大．
4．【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【解答】解：由题意，得
a＝﹣5，b＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．【分析】直接根据“左加右减”的法则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
6．【分析】先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝50°，
∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BCD＝∠DAB＝40°．
故选：C．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
7．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出两三角形的相似比，再利用对应高的比也等于相似比进而得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∵AB＝2m，CD＝6m，
∴，
∵点P到CD的距离是2.7m，设AB离地面的距离为：xm，
∴，
解得：x＝1.8，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用相似三角形的性质分析是解题关键．
8．【分析】首先根据三角形面积求出CM的长，进而得出直线AB与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，交DE于点N，
∴CM×AB＝AC×BC，
∴CM＝＝4.8，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∴CN＝MN＝CM，
∴MN＝2.4，
∵以DE为直径的圆半径为2.5，
∴r＝2.5＞2.4，
∴以DE为直径的圆与AB的位置关系是：相交．
故选：B．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
9．【分析】由3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0可以将（m，3），（n，3）看成直线y1＝3与抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）两交点，画出大致图象即可以判断
【解答】解：
如图抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点（a，0），（b，0），抛物线与直线y1＝3的交点为（m，3）（n，3）由图象可知m＜a＜b＜n，
故选：A．

【点评】此题考查的是一元二次方程转化为二次函数与x轴的交点问题，在此题中关键在于能够对3﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0拆分成直线y1＝3与抛物线y2＝（x﹣a）（x﹣b），再通过大致图象即可解题，这也给我提供了一种解决此类问题的技巧．
10．【分析】先利用直线平移概率得到直线y＝向右平移3个单位后所得直线解析式y＝x﹣，再利用反比例函数图象上点的坐标特征设B（，t），则A（，2t），把它们分别代入两直线解析式中，然后解关于k、t的方程组即可．
【解答】解：直线y＝向右平移3个单位后所得直线解析式为y＝（x﹣3），即y＝x﹣，
设B（，t），则A（，2t），
把A（，2t）代入y＝x得2t＝•，即k＝t2，
把B（，t）代入y＝x﹣得t＝•﹣，则k＝，
所以t2＝，解得t1＝0（舍去），t2＝，
所以k＝×（）2＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
二、填空题（本题6小题，每题3分，共18分）
11．【分析】先求出小石子落在不规则区域的概率，然后设不规则区域的面积为s，利用概率公式列出方程求得其面积即可．
【解答】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.2附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为0.2，
∵正方形的边长为5m，
∴面积为25m2，
设不规则区域的面积为s，
则＝0.2，
解得：s＝5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
12．【分析】苹果落到地面，即h的值为0，代入函数解析式求得t的值即可解决问题．
【解答】解：把h＝0代入函数解析式h＝125﹣5t2得，
125﹣5t2＝0，
解得t1＝5，t2＝﹣5（不合题意，舍去）；
答：5秒钟后苹果落到地面．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解答时注意结合图象解答．
13．【分析】根据旋转的性质确定出点P的位置，再写出坐标即可．
【解答】解：旋转中心P的位置如图所示，∴点P的坐标为（0，1）．

故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质是解题的关键．
14．【分析】如果设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得△AOC的面积＝6，△COB的面积＝，从而求出结果．
【解答】解：延长AB交x轴于点C，
根据反比例函数k的几何意义可知：△AOC的面积＝，△COB的面积＝，
∴△AOB的面积为，
∴，
得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
15．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：圆锥形的烟囱冒的侧面积＝•80π•50＝2000π（cm2）．
故答案为2000π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．【分析】连接BD，根据切线的性质可知∠BDE＝90°，所以△BDE是直角三角形，由于BD＝3，根据勾股定理当BE最小时，DE的值最小，根据垂线段最短，即当BE⊥AC时，DE最小，在Rt△ABE中利用等腰直角三角形的性质易得BE＝AB＝5，所以DE的最小值为4．
【解答】解：连接BE、BD，
∵DE是⊙B的切线，
∴BD⊥DE，
∴DE＝，
∵BD＝3cm，
∴当BE最小时，DE的值最小，
据垂线段最短，即当BE⊥AC时，DE最小，
此时，在Rt△ABE中，AB＝5cm，∠BAC＝45°，
∴BE＝AB＝5，
∴DE＝＝4，
即DE长的最小值为4cm，
故答案为4．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含45度的直角三角形三边的关系．
三、解答题（本大题共9题，满分72分）
17．【分析】直接利用待定系数法求出反比例函数的解析式得出答案．
【解答】解：依题意可设，（k≠0），
则有，
解得：k＝3，
∴，
当y＝6时，，
解得，x＝．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键．
18．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OC．

∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
19．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和“两次取的球标号相同”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和“两次取出的球标号和为奇数”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为4，
所以“两次取的球标号相同”的概率＝＝；

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和为奇数的结果数为8，
所以“两次取出的球标号和为奇数”的概率＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．【分析】（1）把A坐标代入y1＝﹣x+2求得m，确定出A坐标，再代入反比例函数y＝的求得k便可；
（2）求出B点坐标，再根据图象写出x的取值范围；
（3）求出C点坐标，再求△AOC和△BOC的面积便可．
【解答】解：（1）A（﹣1，m）代入y1＝﹣x+2得m＝1+2＝3，∴A（﹣1，3），
将A点坐标（﹣1，3）代入，得，解得，k＝﹣3
∴反比例函数的解析式为；

（2）易得，n＝3，∴B（3，﹣1）
∴当y1＞y时，x＜﹣1或0＜x＜3；

（3）易得，AB与x轴交点C（2，0），OC＝2，
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求反比函数解析式，用函数图象求不等式的解析，求三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键，求三角形的面积要正确分割．
21．【分析】（1）由二次函数的图象与x轴交于不同的两点，可得判别式△＞0，然后由△＝﹣4k+8，即可求得实数k的取值范围；
（2）令y＝0，求关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0的解，即为点A、B的横坐标，再根据AB＝2求得k的值即可．
【解答】解：（1）由题意可得：△＝（﹣2）2 ﹣4（k﹣1）＝﹣4k+8＞0，
解得，k＜2；
（2）令y＝0，x2﹣2x+k﹣1＝0，则x1，x2是方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两根，
∴AB＝，
＝，
解得k＝1．
【点评】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，判别式与根与系数的关系．
22．【分析】（1）根据题意，可出销售量y＝200+20（110﹣x），
（2）设每月利润为W元，销售的利润＝销售量×（售价﹣成本），即可列出W＝（x﹣80）（﹣20x+2400）利用配方法求出顶点式即可求解．
【解答】解：依题意得
（1）y＝200+20（110﹣x）＝﹣20x+2400
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣20x+2400
（2）设每月利润为W元，
W＝（x﹣80）（﹣20x+2400）
＝﹣20（x﹣100）2+8000
∵﹣20＜0，∴x＝100时，W最大值＝8000
∴每件售价定为100元时，每月的销售利润最大，最大利润8000元．
【点评】此题考查的是二次函数的应用，通常会考查到最值问题，这此只要列出二次函数根据顶点式即可以确定最值，但此时要注意取值是否满足自变量的取值范围．
23．【分析】（1）连接OC，如图，由弧BC＝弧CF得到∠BAC＝∠FAC，加上∠OCA＝∠OAC．则∠OCA＝∠FAC，所以OC∥AE，从而得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）利用勾股定理计算出AD＝5，然后再证得△OCD∽△AED，得出，则，解得结果即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C为弧BF的中点，
∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：由勾股定理得AD＝5，
∵∠OCD＝∠AEC＝90°，
∠D＝∠D，
∴△OCD∽△AED，
∴，
即，
解得r＝，
∴⊙O的半径长为．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
24．【分析】（1）方法一：如图1中，直接证明△ABC≌△AEG即可解决问题；
方法二：如图2中，如图，延长AM至点H，使AM＝MH，连接BH．证明△EAG≌△ABH即可解决问题．
（2）如图3中，结论不变．证明方法类似方法二．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】（1）证明：方法一：如图1中，

∵四边形ABDE，四边形ACFG均为正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，
且AB＝AE，AC＝AG，
在△ABC和△AEG中，
，
∴△ABC≌△AEG（SAS），
∴BC＝EG，∠CBA＝∠AEG，
又∵M是AB的中点，
∴AM＝BM＝BC，
∴AM＝EG，
∠M BA＝∠MAB＝∠AEN，
∴∠ANE＝180°﹣（∠NEA+∠EAN）＝180°﹣（∠BAM+∠EAN）＝180°﹣（180°﹣90°）＝90°，
∴AM⊥EG．

方法二：如图，延长AM至点H，使AM＝MH，连接BH．

在△ACM和△HBM中，
，
△ACM≌△HBM（SAS），
∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，
∴AC∥BH，
∴∠HBA＝∠CAB＝90°
∵四边形ABDE，四边形ACFG均为正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°＝∠BAC＝∠EAG，
且AB＝AE，AC＝AG，
∴BH＝AG，
在△EAG和△ABH中，
，
∴△EAG≌△ABH（SAS），
∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，
∴∠ANE＝180°﹣（∠NEA+∠EAN）＝180°﹣（∠HAB+∠EAN）＝180°﹣（180°﹣90°）＝90°，
∴AM⊥EG，
∵∠BAC＝90°，AM为BC中点，
∴AM＝BC，
∴AM＝EG．


（2）如图3中，结论不变．

理由：在△ACM和△HBM中，
，
△ACM≌△HBM（SAS），
∴BH＝AC，∠BHM＝∠CAM，
∴AC∥BH，
∴∠HBA+∠CAB＝90°，
∵四边形ABDE，四边形ACFG均为正方形，
∴∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAC+∠EAG＝180°，
∴∠ABH＝∠EAG，
且AB＝AE，AC＝AG，
∴BH＝AG，
在△EAG和△ABH中，
，
△EAG≌△ABH（SAS），
∴EG＝BC，∠NEA＝∠HAB，
∴∠ANE＝180°﹣（∠NEA+∠EAN）＝180°﹣（∠HAB+∠EAN）＝180°﹣（180°﹣90°）＝90°，
∴AM⊥EG，
∵∠BAC＝90°，AM为BC中点，
∴AM＝BC，
∴AM＝EG．

（3）①如图4﹣1中，当点F在BC的延长线上时，作CH⊥AM于H．

易证：△ANG≌△CHA，可得AN＝CH，
在Rt△ACM中，∵AC＝4，CM＝3，
∴AM＝＝5，
∵•AM•CH＝•AC•CM，
∴CH＝，
∴AN＝CH＝．

②如图4﹣2中，当点F在线段BC上时，同法可得AN＝CH＝

综上所述，AN的值为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常压轴题．
25．【分析】（1）由条件可知，C（0，﹣3），根据OC＝3OB，可得B（1，0），将点B的坐标代入抛物线即可得出抛物线的解析式；
（2）证明△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，根据S△ACD＝即可得出△ACD的面积；
（3）①在y轴上取点F（0，﹣1），证明△AOF∽△ACD，可得∠OAF＝∠CAD，即∠EAD＝∠OAC＝45°，求得直线AF的解析式，再与抛物线联立即可得出点E的坐标；
②过点A作直线AF的垂线AG，可证明直线AG也符合题意，求出直线AG的解析式，再与抛物线联立即可得出点 E的坐标．
【解答】解：（1）由条件可知，C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵OC＝3OB，
∴OB＝1，
∴B（1，0），
则有a+2a﹣3＝0，解得，a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）易得A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∵AC＝3，CD＝，AD＝2，
∴AD 2＝CD 2+AC 2，
∴∠ACD＝90°，
S△ACD＝×＝3；
（3）存在，
①如图1，在y轴上取点F（0，﹣1），
∵OF：CD＝OA：AC＝1：，∠AOF＝∠ACD＝90°，
∴△AOF∽△ACD，
∴∠OAF＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∴∠EAD＝45°；
作直线AF交抛物线于点E，易得直线AF的解析式为，
由解得，或（舍去），
∴E（，），
②如图1，过点A作直线AF的垂线AG，
∵∠FAD＝45°，
∴∠KAD＝90°﹣45°＝45°，即直线AG也符合题意，
设直线AG的解析式为：y＝3x+m，
A（﹣3，0）代入，得m＝9，
∴直线AG的解析式为：y＝3x+9，
与抛物线联立，同理可求得点E（4，21），
综上所述，存在满足条件的直线AE，点E的坐标为（，）或（4，21）．

【点评】本题考用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，解决（3）问的关键是先作出符合条件的直线AE，再与抛物线联立解交点．