高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案

5．5.2　简单的三角恒等变换

学习目标　1.能用二倍角公式推导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．

知识点一　半角公式

sin ＝±，

cos ＝±，

tan ＝±＝＝.

知识点二　辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).

1．cos ＝.(　×　)

2．对任意α∈R，sin ＝cos α都不成立．(　×　)

3．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos ＝.(　√　)

4．对任意α∈R都有sin α＋cos α＝2sin.(　√　)

一、半角公式的应用

例1　已知θ∈且sin θ＝，求sin ，cos ，tan 的值．

解　∵θ∈，且sin θ＝.

∴cos θ＝－，∈，

∴sin ＝－＝－，

cos ＝－＝－，∴tan ＝＝2.

(学生留)

反思感悟　利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．

跟踪训练1　已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于(　　)

A．2－   B．2＋

C.－2   D．±(－2)

答案　C

解析　方法一　∵sin α＝，cos α＝，

∴tan ＝＝－2.

方法二　因为sin α＝>0，cos α＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，

所以tan >0，

故tan ＝＝＝－2.

二、三角恒等式的证明

例2　求证：＋＝.

证明　方法一　左边＝＋

＝＋＝＝＝右边．

所以原式成立．

方法二　左边＝

＝＝＝＝右边．

所以原式成立．

反思感悟　三角恒等式证明的常用方法

(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．

(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．

(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．

(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．

(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．

跟踪训练2　求证：

＝.

证明　左边＝

＝＝

＝＝＝＝右边．

所以原等式成立．

三、三角恒等变换的综合问题

例3　(1)已知f(x)＝sin x＋2cos x，则f(x)的最大值为________．

答案　

解析　f(x)＝sin x＋2cos x

＝＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝2，∴f(x)max＝.

(2)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.

①求ω的值；

②讨论f(x)在区间上的单调性．

解　①f(x)＝4cos ωx·sin

＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx

＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋

＝2sin＋.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，

从而有＝π，故ω＝1.

②由①知，f(x)＝2sin＋.

若0≤x≤，则≤2x＋≤.

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；

当<2x＋≤，即<x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

反思感悟　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解　(1)由已知，有f(x)＝－

＝－cos 2x

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)因为f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，

且f ＝－，f ＝－，f ＝，

所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.

三角函数的实际应用

典例　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m.

(1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

(2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？

解　 (1)连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.

因为A，D关于原点对称，

所以AD＝2OA＝40cos θ.

设矩形ABCD的面积为S，则

S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.

因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，

即θ＝时，Smax＝400(m2)．

此时AO＝DO＝10(m)．

故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

(2)由(1)知AB＝20sin θ，

AD＝40cos θ，

∴AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin，

又θ∈，

∴θ＋∈，

当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40，

此时AO＝DO＝10，

即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远．

[素养提升]　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．

1．已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　)

A.   B．－

C.   D.

答案　A

解析　∵α∈，

∴∈，sin＝＝.

2．下列各式与tan α相等的是(　　)

A.    B.

C.   D.

答案　D

解析　＝＝＝tan α.

3．函数y＝－sin x＋cos x在上的值域是________．

答案　[0，]

解析　y＝－sin x＋cos x＝2sin.

又∵－≤x≤，

∴0≤－x≤.

∴0≤y≤.

4．已知sin －cos ＝－，<α<π，则tan ＝________.

答案　2

解析　∵2＝，

∴1－sin α＝，∴sin α＝.

又∵<α<π，∴cos α＝－.

∴tan ＝＝＝2.

5．化简：＝________.

答案　1

解析　原式＝＝＝1.

1．知识清单：

(1)半角公式．

(2)辅助角公式．

(3)三角恒等变换的综合问题．

(4)三角函数在实际问题中的应用．

2．方法归纳：转化与化归．

3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．

1．设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 等于(　　)

A.   B.

C．－    D．－

答案　D

解析　∵5π<θ<6π，∴<<，

∴sin ＝－＝－.

2．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)

A．c<b<a  B．a<b<c  C．a<c<b  D．b<c<a

答案　C

解析　由题意可知，a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，而当0°<x<90°时，y＝sin x单调递增，∴a<c<b，故选C.

3.的值为(　　)

A．1  B.  C.  D．2

答案　C

解析　原式＝

＝

＝＝.

4．(多选)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的最大值为2

B．f(x)的最小正周期为π

C．f(x)关于x＝－对称

D．f(x)在上单调递增

答案　BCD

解析　∵f(x)＝sin 2x＋

＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin＋.

∴f(x)max＝＋＝，最小正周期T＝＝π.

当x＝－时，sin＝－1，∴x＝－为对称轴．

当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增，综上有BCD正确，A不正确．

5．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于(　　)

A．4  B．－6  C．－4  D．－3

答案　C

解析　f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a

＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a

＝2sin＋a＋1.

当x∈时，2x＋∈，

∴f(x)min＝2·＋a＋1＝－4.∴a＝－4.

6．已知180°<α<270°且sin(α＋270°)＝，则sin ＝________，tan ＝________.

答案　　－3

解析　∵sin(α＋270°)＝－cos α＝，

∴cos α＝－，又90°<<135°，

∴sin ＝＝＝，

tan ＝－＝－＝－3.

7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.

答案　－

解析　因为3sin x－cos x

＝2＝2sin，

因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.

8．化简：··＝________.

答案　tan

解析　原式＝··＝·＝·＝＝tan .

9．求证：sin2x＋cos 2x＝sin.

证明　左边＝sin2x＋cos 2x

＝sin2x·＋cos 2x

＝sin2x·＋cos 2x

＝sin 2x＋cos 2x＝sin＝右边，原等式得证．

10．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

解　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2

＝sin＋1－cos

＝2＋1

＝2sin＋1

＝2sin＋1，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，

有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，

∴所求x的集合为.

11．化简2＋2sin2得(　　)

A．2＋sin α   B．2＋sin

C．2   D．2＋sin

答案　C

解析　原式＝1＋2sin cos ＋1－cos

＝2＋sin α－cos＝2＋sin α－sin α＝2.

12．已知函数f(x)＝sin x＋acos x，当x＝时，f(x)取得最大值，则a的值为(　　)

A．－  B．－1  C．1  D.

答案　C

解析　∵f(x)＝sin x＋acos x＝sin(x＋φ)，

∴f(x)max＝，依题意f ＝＋a＝，解得a＝1.

13．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos 的值为________．

答案　

解析　因为θ∈(π，2π)，所以∈，

所以sin ＝＝，

cos ＝－＝－，

所以sin ＋cos ＝.

14．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝________.

答案　－1

解析　原式＝·cos 10°·

＝·cos 10°·

＝·cos 10°·

＝－·

＝－1.

15.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝________.

答案　

解析　由题意5cos θ－5sin θ＝1，θ∈.

所以cos θ－sin θ＝.

又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.

所以cos θ＋sin θ＝.

所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.

16.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．

解　如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α，OM＝＝DM＝CN＝sin α，

所以MN＝ON－OM＝cos α－sin α，

即AB＝cos α－sin α，

而BC＝2CN＝2sin α，

故S矩形ABCD＝AB·BC＝·2sin α

＝2sin αcos α－2sin2α

＝sin 2α－(1－cos 2α)

＝sin 2α＋cos 2α－

＝2－

＝2sin－.

因为0<α<，

所以0<2α<，<2α＋<.

故当2α＋＝，

即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，

此时S矩形ABCD＝2－.