人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时导学案，共14页。学案主要包含了双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质求标准方程，求双曲线的离心率等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
一、双曲线的几何性质
问题1 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的几何性质．
提示 1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1可得eq \f(x2,a2)＝1＋eq \f(y2,b2)≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式eq \f(x2,a2)≥1，y∈R，
所以x≥a 或x≤－a; y∈R.
2．对称性
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长．
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．
方程为x2－y2＝m(m≠0)．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝eq \f(b,a)eq \r(x2－a2)，
它与y＝eq \f(b,a)x的位置关系：在y＝eq \f(b,a)x的下方．
它与y＝eq \f(b,a)x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
5．离心率
(1)定义：e＝eq \f(c,a).
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)，说明越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
知识梳理
注意点：
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(2)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
例1 (教材P124例3改编)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
解 将9y2－4x2＝－36化为标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，
即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝eq \r(13).
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－eq \r(13)，0)，F2(eq \r(13)，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，
渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(2,3)x.
延伸探究 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝eq \r(m)，
虚半轴长b＝eq \r(n)，c＝eq \r(m＋n)，
焦点坐标为(eq \r(m＋n)，0)，(－eq \r(m＋n)，0)，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m＋n),\r(m))＝ eq \r(1＋\f(n,m))，
顶点坐标为(－eq \r(m)，0)，(eq \r(m)，0)，
所以渐近线方程为y＝±eq \f(\r(n),\r(m)) x，即y＝±eq \f(\r(mn),m)x.
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1 求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为
eq \f(y2,42)－eq \f(x2,52)＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5；
c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(42＋52)＝eq \r(41)，
焦点坐标是(0，－eq \r(41))，(0，eq \r(41))；
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(41),4)；渐近线方程为y＝±eq \f(4,5)x.
二、由双曲线的几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为eq \f(5,3)，且经过点M(－3,2eq \r(3))；
(2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)．
解 (1)设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
∵e＝eq \f(5,3)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(9,a2)－\f(12,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.))
∴所求的双曲线方程为eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).①
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1.②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).③
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq \f(5,3)；
(2)过点(2,0)，与双曲线eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1的离心率相等．
解 (1)设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由题意知2b＝8，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，
从而b＝4，c＝eq \f(5,3)a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，
可设其方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝eq \f(1,16)，
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
可设其方程为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝λ(λ>0)，
将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－eq \f(1,4)<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
三、求双曲线的离心率
例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(5,2) D.eq \r(5)
答案 C
解析 由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝eq \f(|－5a|,\r(b2＋－a2))＝eq \f(5a,c)，则eq \f(5a,c)＝2，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,2).
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3 已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，那么y＝±eq \f(b2,a).
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以eq \f(b2,a)＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2－2×eq \f(c,a)－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋eq \r(2).
1．知识清单：
(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8eq \r(2)
B．虚轴长为4
C．焦距为6
D．离心率为eq \f(3\r(2),4)
答案 ABD
解析 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为eq \f(x2,32)－eq \f(y2,4)＝1，可得a＝4eq \r(2)，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8eq \r(2)，虚轴长为4，焦距为12，离心率为eq \f(3\r(2),4).
2．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A．6 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
答案 A
解析 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)×16＝8，故选A.
4．中心在坐标原点，离心率为eq \f(5,3)的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \f(3,4)x
解析 ∵eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，
∴eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(25,9)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(16,9)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，
∴eq \f(a,b)＝eq \f(3,4).
又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x.
课时对点练
1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A.eq \f(3\r(14),14) B.eq \f(3\r(2),4)
C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
答案 C
解析 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1
答案 D
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
3．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
答案 B
解析 ∵e＝eq \r(3)，
∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)，即eq \f(a2＋b2,a2)＝3，
∴b2＝2a2，∴双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2a2)＝1，
∴渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
4．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 由双曲线的几何性质可得，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(3,a)x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±eq \f(3,2)x，故a＝2.
5．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，则下列结论正确的是 ( )
A．C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
答案 AD
解析 双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，A正确；离心率为e＝eq \f(5,3)，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝eq \f(4×5,\r(42＋32))＝4，C不正确；
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
6．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(5,3) D．5
答案 B
解析 e＝eq \f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝eq \f(5,6－4)＝eq \f(5,2).
7．双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
答案 eq \r(3)
解析 双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝eq \r(3)x，
因此焦点到渐近线的距离d＝eq \f(2\r(3),\r(3＋1))＝eq \r(3).
8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
答案 eq \f(y2,36)－eq \f(x2,12)＝1
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4eq \r(3))，(0，－4eq \r(3))，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4eq \r(3)，e′＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为eq \f(y2,36)－eq \f(x2,12)＝1.
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.
(2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
即eq \f(x2,\f(λ,4))－eq \f(y2,\f(λ,9))＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ>0时，eq \f(λ,4)＝9，λ＝36，
双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1；
当λ<0时，eq \f(－λ,9)＝9，λ＝－81，
双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,\f(81,4))＝1.
故所求双曲线的标准方程为
eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,\f(81,4))＝1.
10．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(0解 直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有eq \f(|b·0＋a·0－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c，
所以ab＝eq \f(\r(3),4)c2，两边平方，得a2b2＝eq \f(3,16)c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝eq \f(4,3).
又b>a，所以e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)＝1
答案 A
解析 由题意，点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x上，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2b.
又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求双曲线方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1.
12．若双曲线与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
答案 D
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4eq \r(3))，所以λ<0，且－2λ＝(4eq \r(3))2，得λ＝－24.故选D.
13．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，设左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，在C的右支上存在一点P，使得以F1F2，F2P为邻边的平行四边形为菱形，且直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切，则该双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(\r(3)＋1,2) C.eq \r(3) D．2
答案 B
解析 由题意得|PF2|＝|F1F2|＝2c，设直线PF1与圆(x－c)2＋y2＝c2相切于点T，
则PF1⊥TF2，|TF2|＝c，
在Rt△F1TF2中，∠TF2F1＝60°⇒|PF1|＝2eq \r(3)c，
则由双曲线的定义可得|PF2|＝|PF1|－2a＝2eq \r(3)c－2a，
所以2c＝2eq \r(3)c－2a，解得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
14．已知F为双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(eq \r(13)，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______.
答案 32
解析 根据题意，双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的左焦点F(－eq \r(13)，0)，
所以点A(eq \r(13)，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点．虚轴长为6，
所以|PQ|＝12.双曲线图象如图．
|PF|－|AP|＝2a＝4，①
|QF|－|QA|＝2a＝4，②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，
∴周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
15．(多选)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F1(2eq \r(6)，0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为( )
A.eq \r(3) B．2 C.eq \r(5) D．3
答案 ABC
解析 由右焦点为F1(2eq \r(6)，0)，点A的坐标为(0,1)，|AF1|＝eq \r(24＋1)＝5，
△APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得|PA|＋|PF1|的最小值不小于9，
又F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，|PA|＋|PF1|＝|PA|＋|PF2|＋2a ，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值5＋2a，
所以5＋2a≥9，即a≥2，
因为c＝2eq \r(6)，可得e＝eq \f(c,a)≤eq \r(6).
16．已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当eq \f(|PF1|2,|PF2|)取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
解 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以eq \f(|PF1|2,|PF2|)＝eq \f(2a＋|PF2|2,|PF2|)＝eq \f(4a2,|PF2|)＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当eq \f(4a2,|PF2|)＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c⇒e＝eq \f(c,a)≤3，所以e∈(1,3]．焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)