高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时学案设计，共9页。学案主要包含了用列举法表示集合，用描述法表示集合，集合表示法的综合应用等内容，欢迎下载使用。


知识点一 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点二 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
思考 (1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
答案 (1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2){x∈R|x－2<3}，即{x∈R|x<5}．
1．方程x2＝4的解集用列举法表示为________．
答案 {－2,2}
解析 由x2＝4得x＝±2，
故用列举法可表示为{－2,2}．
2．设A＝{x∈N|1≤x<6}，用“∈”或“∉”填空：
6________A；5________A；0________A；3________A.
答案 ∉ ∈ ∉ ∈
3．在集合{a,3}中，实数a________3.(填“＝”或“≠”)
答案 ≠
解析 由集合中元素的互异性可知填≠.
4．集合A＝{x∈Z|－2答案 4
解析 因为A＝{x∈Z|－2所以x的取值为－1,0,1,2，共4个．
一、用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2))的解集D.
解 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，
所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3，
所以C＝{－1,3}．
(4)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
所以方程组的解集D＝{(3,1)}．
(学生)
反思感悟 用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合：
(1)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(2)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
(3)由所有正整数构成的集合．
解 (1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(2)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
(3)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}．
二、用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3<1的解组成的集合A；
(2)被3除余2的正整数的集合B；
(3)C＝{2,4,6,8,10}；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
解 (1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
(学生)
反思感悟 利用描述法表示集合的关注点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)不等式3x＋4≥2x的所有解；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．
解 (1)可以表示成{x∈R|1(2)可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．
(3)可以表示成{(x，y)|x±y＝0}．
三、集合表示法的综合应用
例3 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．
解 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－eq \f(1,2)，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
延伸探究
1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解 A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解 A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．
由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；
当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，且a≠0，
即a<1且a≠0.
∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．
3．在本例条件下，若1∈A，则a为何值？
解 ∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
4．在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 ∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，
得x＝－eq \f(1,3)或x＝1，
即方程ax2＋2x＋1＝0存在两个根－eq \f(1,3)和1，
此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))，与A＝{1}矛盾．
故不存在实数a，使A＝{1}．
反思感悟 根据已知的集合求参数的关注点
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
跟踪训练3 已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解 ①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
1．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案 B
解析 ∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，
∴x＝1,2,3,4.
2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
答案 C
解析 该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}．
3．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________________．
答案 {－1,0,1,2} {x∈Z|－2解析 大于－2小于3的整数为－1,0,1,2，所以用列举法表示为{－1,0,1,2}，用描述法表示为{x∈Z|－24．用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．
答案 {x|x<3}
解析 解不等式可得x<3，所以用描述法可表示为{x|x<3}．
5．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
答案 {－1,4}
解析 ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．
1．知识清单：
(1)用列举法和描述法表示集合．
(2)两种表示法的综合应用．
2．方法归纳：等价转化、分类讨论．
3．常见误区：点集与数集的区别．
1．(多选)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是( )
A．0∈A B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A
答案 ABC
解析 ∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A，故D不成立，其余都成立．
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
答案 B
解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．
3．下列集合中恰有2个元素的集合是( )
A．{x2－x＝0} B．{y|y2－y＝0}
C．{x|y＝x2－x} D．{y|y＝x2－x}
答案 B
解析 选项A中的集合只有一个元素为x2－x＝0；
选项B中集合{y|y2－y＝0}的代表元素是y，
则集合{y|y2－y＝0}是方程y2－y＝0根的集合，
即{y|y2－y＝0}＝{0,1}；
选项C，D中的集合中都有无数个元素．
4．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
答案 B
解析 {x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．
5．若集合A＝{－1,2}，B＝{0,1}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 ∵集合A＝{－1,2}，B＝{0,1}，集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}，
∴当x＝－1时，y＝0或1，可得z＝－1或0，
当x＝2时，y＝0或1，可得z＝2或3，
∴集合z的元素有－1,0,2,3，共4个元素．
6．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m<5}，用列举法表示为________．
答案 {－1,1,3,5}
解析 集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m<5，则满足条件的x值：m＝1，x＝－1；m＝2，x＝1；m＝3，x＝3；m＝4，x＝5.则集合为{－1,1,3,5}．
7．能被2整除的正整数的集合用描述法可表示为________．
答案 {x|x＝2n，n∈N*}
解析 正整数中所有的偶数均能被2整除．
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
答案 {1,3}
解析 由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3，,x－2y＝4))的解集．
解 (1){0，－1}．
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．
(3){x|x>8}．
(4){1,2,3,4,5,6}．
(5)解集用描述法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3，,x－2y＝4))))))，
解集用列举法表示为{(2，－1)}．
10．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,10－x)∈N))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(9,10－x)∈N))x∈N))，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合．
解 对于集合A，因为x∈N，eq \f(9,10－x)∈N，所以当x＝1时，eq \f(9,10－x)＝1；当x＝7时，eq \f(9,10－x)＝3；当x＝9时，eq \f(9,10－x)＝9.所以A＝{1,7,9}，B＝{1,3,9}．
所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1,9}．
11．(多选)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
答案 ABC
解析 集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的，ABC都正确．
12．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为( )
A．4 B．5 C．19 D．20
答案 C
解析 由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，共5个元素．同样当a＝2,3时，集合P*Q的元素个数都为5，当a＝4时，集合P*Q中元素为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，共4个．因此P*Q中元素的个数为19.
13．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2,3)<0))))，则集合A－B＝________.
答案 {x|x≥2}
解析 A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)))))，B＝{x|x<2}，
A－B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)且x≥2))))＝{x|x≥2}．
14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
答案 不是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2)))
解析 由于2的倒数eq \f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则eq \f(1,a)∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝eq \f(1,a)，即a＝±1，故可取的集合有eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，\f(1,2)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，3，\f(1,3)))等．
15．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
答案 6
解析 依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
解 (1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.