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2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置第2课时导学案
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这是一份2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置第2课时导学案，共13页。学案主要包含了圆的方程的实际应用，直线与圆的方程的实际应用等内容，欢迎下载使用。
导语
当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度向西偏北45°方向移动．已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？
一、圆的方程的实际应用
例1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
答案 2eq \r(51)
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝eq \r(51)，
所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2eq \r(51)(m)．
延伸探究 某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)．
设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r，
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2，
把P，B两点的坐标代入圆的方程，
得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(102＋b2＝r2，,02＋b－42＝r2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10.5，,r＝14.5.))
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
反思感悟 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
跟踪训练1 一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，
则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得h＝4eq \r(0.77)≈3.5 m.
二、直线与圆的方程的实际应用
例2 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40eq \r(2)千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
解 (1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，))
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)该船初始位置为点D，
则D(－20，－20eq \r(3))，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20eq \r(3)＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10,30)，半径r＝10eq \r(10)，
由于圆心C到直线l的距离d＝eq \f(|10－30＋20－20\r(3)|,\r(12＋12))＝10eq \r(6)<10eq \r(10)，
故该船有触礁的危险．
反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
跟踪训练2 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45eq \r(2) m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)( )
A．100eq \r(2) B．100eq \r(3)
C．150eq \r(2) D．150eq \r(3)
答案 A
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时eq \f(|100k－10|,\r(k2＋1))＝45eq \r(2)，
解得k＝1，此时求得小路长度为100eq \r(2) m.
1．知识清单：
(1)直线与圆的方程的应用．
(2)坐标法的应用．
2．方法归纳：数学建模、坐标法．
3．常见误区：不能正确进行数学建模．
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
答案 D
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(3π,2) D．π
答案 D
解析 由图知，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的eq \f(1,4)，
即eq \f(1,4)×π×22＝π.
3．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
答案 eq \f(7\r(2),2)－2
解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，
即eq \f(|2＋3＋2|,\r(12＋－12))－2＝eq \f(7\r(2),2)－2.
4．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它________(填“会”“不会”)受到台风的影响.
答案 不会
解析 如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度．则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响．
课时对点练
1．如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为( )
A．15米B．13米
C．9米D．6.5米
答案 B
解析 如图，设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
即r2＝(r－4)2＋62，
解得r＝eq \f(13,2)，
所以拱桥的直径为13米．
2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．6eq \r(2)－2 B．8 C．4eq \r(6) D．10
答案 B
解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为eq \r(5＋12＋7＋12)＝10.
∴所求最短路程为10－2＝8.
3.如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．(0，π]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2－\f(π,2))) D．(0,2－π]
答案 C
解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，
此时四边形ABO2O1为矩形，
且Smax＝2×1－eq \f(1,2)·eq \f(π,2)·12×2＝2－eq \f(π,2).
4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为( )
A．6 km B．(4eq \r(2)－1)km
C．(4eq \r(2)＋1)km D．4 km
答案 B
解析 以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
则圆O的方程为x2＋y2＝1，
因为点B(8,0)，C(0,8)，
所以直线BC的方程为x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为eq \f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq \r(2)－1)km.
5．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( )
A．3－eq \r(2) B．3＋eq \r(2)
C．3－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(3－\r(2),2)
答案 A
解析 lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝eq \f(|3|,\r(2))＝eq \f(3,\r(2))，
所以AB边上的高的最小值为eq \f(3,\r(2))－1.
所以Smin＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(2))－1))＝3－eq \r(2).
6．(多选)从点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是( )
A．若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5eq \r(2)－1
D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，1))
答案 BCD
解析 点A(－3,3)关于x轴的对称点为A′(－3，－3)．圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由相切知eq \f(|2k－2＋3k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)或k＝eq \f(3,4).
∴反射光线方程为y＋3＝eq \f(4,3)(x＋3)或y＋3＝eq \f(3,4)(x＋3)．
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误．
又A′(－3，－3)，C(2,2)的方程为y＝x，故B正确；
因为|A′C|＝eq \r(2＋32＋2＋32)＝5eq \r(2)，所以直线的最短路程为5eq \r(2)－1，故C正确．
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))，所以被挡住的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，1))，故D正确．
7．某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m)
答案 1.22
解析 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100＋b2＝r2，,4－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10.5，,r＝14.5.))
∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，
令x＝4.5，得y≈3.28，
故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞．
8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
答案 1
解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，
所以时间为1 h.
9．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为(a,0)，C点坐标为(0，b)，则CD所在直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝3，,\f(\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f(b,v).))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝3.75.))
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40,0)，B(0,30)，
圆O的方程为x2＋y2＝252.
直线AB的方程为eq \f(x,40)＋eq \f(y,30)＝1，
即3x＋4y－120＝0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d＝eq \f(|－120|,5)＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，
则t＝eq \f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．
11．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝eq \f(4,3)x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( )
A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒
答案 AD
解析 设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为eq \f(|m＋4|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2))＝eq \f(3,2)，
得m＝－eq \f(3,2)或m＝－eq \f(13,2)，
所以该圆运动的时间为eq \f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),0.5)＝6(秒)或eq \f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2))),0.5)＝16(秒)．
12．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为( )
A．(12eq \r(6)－24)m B．(12eq \r(6)＋24)m
C．(24－12eq \r(6))m D．不确定
答案 A
解析 如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(182－18D＋F＝0，,182＋18D＋F＝0，,62＋6E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝0，,E＝48，,F＝－324.))
故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，
结合图形解得y＝－24＋12eq \r(6).
故支柱A2P2的长为(12eq \r(6)－24)m.
13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．(精确到0.01 m，eq \r(51)≈7.141)
答案 3.97
解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2.
将P(0,2)，D(4,0)的坐标代入以上方程，
解得b＝－3，r＝5，
故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，
将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，
解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，
则|EN|≈4＋0.571＝4.571，
从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97 (m)．
14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．
答案 x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为(x，y)，
则|PO|＝eq \r(x2＋y2).
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
∴|PO|＝eq \r(2)|OM|＝eq \r(2)，
∴eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，即x2＋y2＝2.
15．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( )
A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米
答案 B
解析 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5(负值舍去)．
16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝eq \f(4,3).
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解 (1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0,60)，C(170,0)，
直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－eq \f(4,3).
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝eq \f(3,4).
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝eq \f(b－0,a－170)＝－eq \f(4,3)，①
kAB＝eq \f(b－60,a－0)＝eq \f(3,4)，②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以|BC|＝eq \r(170－802＋0－1202)＝150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，|OM|＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为y＝－eq \f(4,3)(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r＝eq \f(|3d－680|,\r(42＋32))＝eq \f(680－3d,5).
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r－d≥80，,r－60－d≥80，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－60－d≥80，))
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝eq \f(680－3d,5)最大，即圆的面积最大．
所以当|OM|＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
导语
当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度向西偏北45°方向移动．已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？
一、圆的方程的实际应用
例1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m.
答案 2eq \r(51)
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝eq \r(51)，
所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2eq \r(51)(m)．
延伸探究 某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
解 建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上．依题意，有B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)．
设圆心C的坐标为(0，b)，圆的半径为r，
设这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2，
把P，B两点的坐标代入圆的方程，
得到方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(102＋b2＝r2，,02＋b－42＝r2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10.5，,r＝14.5.))
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3<3.1，
所以该船可以从桥下通过．
反思感悟 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
跟踪训练1 一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，
则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62，
把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得h＝4eq \r(0.77)≈3.5 m.
二、直线与圆的方程的实际应用
例2 如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40eq \r(2)千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
解 (1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，))
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
(2)该船初始位置为点D，
则D(－20，－20eq \r(3))，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20eq \r(3)＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10,30)，半径r＝10eq \r(10)，
由于圆心C到直线l的距离d＝eq \f(|10－30＋20－20\r(3)|,\r(12＋12))＝10eq \r(6)<10eq \r(10)，
故该船有触礁的危险．
反思感悟 解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
跟踪训练2 如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45eq \r(2) m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)( )
A．100eq \r(2) B．100eq \r(3)
C．150eq \r(2) D．150eq \r(3)
答案 A
解析 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时eq \f(|100k－10|,\r(k2＋1))＝45eq \r(2)，
解得k＝1，此时求得小路长度为100eq \r(2) m.
1．知识清单：
(1)直线与圆的方程的应用．
(2)坐标法的应用．
2．方法归纳：数学建模、坐标法．
3．常见误区：不能正确进行数学建模．
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是( )
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
答案 D
2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(3π,2) D．π
答案 D
解析 由图知，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的eq \f(1,4)，
即eq \f(1,4)×π×22＝π.
3．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
答案 eq \f(7\r(2),2)－2
解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，
即eq \f(|2＋3＋2|,\r(12＋－12))－2＝eq \f(7\r(2),2)－2.
4．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它________(填“会”“不会”)受到台风的影响.
答案 不会
解析 如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度．则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响．
课时对点练
1．如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为( )
A．15米B．13米
C．9米D．6.5米
答案 B
解析 如图，设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
即r2＝(r－4)2＋62，
解得r＝eq \f(13,2)，
所以拱桥的直径为13米．
2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．6eq \r(2)－2 B．8 C．4eq \r(6) D．10
答案 B
解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)的距离为eq \r(5＋12＋7＋12)＝10.
∴所求最短路程为10－2＝8.
3.如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．(0，π]
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2－\f(π,2))) D．(0,2－π]
答案 C
解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值，
此时四边形ABO2O1为矩形，
且Smax＝2×1－eq \f(1,2)·eq \f(π,2)·12×2＝2－eq \f(π,2).
4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，则DE的最短距离为( )
A．6 km B．(4eq \r(2)－1)km
C．(4eq \r(2)＋1)km D．4 km
答案 B
解析 以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
则圆O的方程为x2＋y2＝1，
因为点B(8,0)，C(0,8)，
所以直线BC的方程为x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为eq \f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq \r(2)－1)km.
5．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2,0)，B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( )
A．3－eq \r(2) B．3＋eq \r(2)
C．3－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(3－\r(2),2)
答案 A
解析 lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝eq \f(|3|,\r(2))＝eq \f(3,\r(2))，
所以AB边上的高的最小值为eq \f(3,\r(2))－1.
所以Smin＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(2))－1))＝3－eq \r(2).
6．(多选)从点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是( )
A．若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5eq \r(2)－1
D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，1))
答案 BCD
解析 点A(－3,3)关于x轴的对称点为A′(－3，－3)．圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由相切知eq \f(|2k－2＋3k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝eq \f(4,3)或k＝eq \f(3,4).
∴反射光线方程为y＋3＝eq \f(4,3)(x＋3)或y＋3＝eq \f(3,4)(x＋3)．
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误．
又A′(－3，－3)，C(2,2)的方程为y＝x，故B正确；
因为|A′C|＝eq \r(2＋32＋2＋32)＝5eq \r(2)，所以直线的最短路程为5eq \r(2)－1，故C正确．
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0))，所以被挡住的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，1))，故D正确．
7．某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m)
答案 1.22
解析 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(100＋b2＝r2，,4－b2＝r2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10.5，,r＝14.5.))
∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，
令x＝4.5，得y≈3.28，
故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞．
8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
答案 1
解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，
所以时间为1 h.
9．设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？
解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．
设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为(a,0)，C点坐标为(0，b)，则CD所在直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝3，,\f(\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f(b,v).))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝3.75.))
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇．
10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40,0)，B(0,30)，
圆O的方程为x2＋y2＝252.
直线AB的方程为eq \f(x,40)＋eq \f(y,30)＝1，
即3x＋4y－120＝0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d＝eq \f(|－120|,5)＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，
则t＝eq \f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．
11．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝eq \f(4,3)x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为( )
A．6秒 B．8秒 C．10秒 D．16秒
答案 AD
解析 设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为eq \f(|m＋4|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2))＝eq \f(3,2)，
得m＝－eq \f(3,2)或m＝－eq \f(13,2)，
所以该圆运动的时间为eq \f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),0.5)＝6(秒)或eq \f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2))),0.5)＝16(秒)．
12．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为( )
A．(12eq \r(6)－24)m B．(12eq \r(6)＋24)m
C．(24－12eq \r(6))m D．不确定
答案 A
解析 如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为A，B，P在此圆上，故有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(182－18D＋F＝0，,182＋18D＋F＝0，,62＋6E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝0，,E＝48，,F＝－324.))
故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.
将点P2的横坐标x＝6代入上式，
结合图形解得y＝－24＋12eq \r(6).
故支柱A2P2的长为(12eq \r(6)－24)m.
13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．(精确到0.01 m，eq \r(51)≈7.141)
答案 3.97
解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy，
设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2.
将P(0,2)，D(4,0)的坐标代入以上方程，
解得b＝－3，r＝5，
故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，
将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，
解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，
则|EN|≈4＋0.571＝4.571，
从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97 (m)．
14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．
答案 x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为(x，y)，
则|PO|＝eq \r(x2＋y2).
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
∴|PO|＝eq \r(2)|OM|＝eq \r(2)，
∴eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，即x2＋y2＝2.
15．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( )
A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米
答案 B
解析 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5(负值舍去)．
16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝eq \f(4,3).
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解 (1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0,60)，C(170,0)，
直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－eq \f(4,3).
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB＝eq \f(3,4).
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC＝eq \f(b－0,a－170)＝－eq \f(4,3)，①
kAB＝eq \f(b－60,a－0)＝eq \f(3,4)，②
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以|BC|＝eq \r(170－802＋0－1202)＝150.
因此新桥BC的长为150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，|OM|＝d m(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为y＝－eq \f(4,3)(x－170)，
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r＝eq \f(|3d－680|,\r(42＋32))＝eq \f(680－3d,5).
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r－d≥80，,r－60－d≥80，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－60－d≥80，))
解得10≤d≤35.
故当d＝10时，r＝eq \f(680－3d,5)最大，即圆的面积最大．
所以当|OM|＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
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