2022届新教材高中数学人教A版不等式单元测试含答案13

2022届新教材人教A版 不 等式  单元测试

一、选择题

1、若，则下列不等式不能成立的是（）

A． B． C． D．

2、已知实数a，b满足，且则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

3、已知，，则（    ）．

A． B． C． D．

4、已知x，y＞0且x+4y=1，则的最小值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

5、若，则的最小值是（    ）

A．2 B．a C．3 D．4

6、若正实数，满足，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

7、已知实数，，满足，且，那么下列各式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

8、设M＝2a（a﹣2）+7，N＝（a﹣2）（a﹣3），则有（　　）

A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N

9、不等式的解集是，则不等式的解集是

A.     B.

C. 或    D. 或

10、设，在约束条件下，目标函数的最大值小于，则的取值范围为（   ）

A．   B．   C．   D．

11、若x＞1，则的最大值为（　　　　）

A． B． C． D．

12、已知点到和的距离相等，则的最小值为(    )

A．2 B．4 C． D．

二、填空题

13、若实数满足不等式组，则的最小值为__________．

14、若关于x的不等式，其解集中整数解恰好有3个，则实数a的取值范围是_   ．

15、已知，则的最小值是_______.

16、已知a，b为正实数，且，则ab的最小值为_________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为R，求实数的取值范围．

18、（本小题满分12分）（1）求证:无论为何值,关于的方程总有两个不等实根;

（2）定义区间的长度为.若不等式解的区间长度不超过,求的取值范围.

19、（本小题满分12分）已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为和2.

(1)求a，b的值；

(2)解不等式ax2＋bx－1>0.

20、（本小题满分12分）解下列不等式：

（1）；

（2）.

参考答案

1、答案D

解析，有，A正确；

因为，所以，B正确；

，C正确；

当时，，，不成立，D错误．

故选D.

2、答案A

解析利用换元法，令，从而利用x，y表示出a，b，代入到所求代数式中，利用基本不等式进行求解.

详解：解：令则，代入得，因为，所以，所以，由题意可得，所以（当且仅当，即时取等号），所，.

故选：A.

点睛

本题考查换元法及基本不等式的应用，考查化归与转化思想、运算求解能力，属于中档题.

解决本题的关键是令，表示出a，b，然后对代数式进行变形，用基本不等式求最值时，要注意必须满足“一正、二定、三相等”的条件.

3、答案C

解析计算出的取值范围，利用不等式的基本性质可得出正确选项.

详解：，，由不等式的性质可得，，且，，

，.

故选：C.

点睛

本题考查利用不等式的基本性质比较大小，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

4、答案B

解析由，展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值．

详解

且 ，

∴

当且仅当时，等号成立．

∴的最小值为9.

故选：B．

点睛

本题考查利用基本不等式求最值，关键是“1”的灵活运用，是基础题．

5、答案C

解析利用基本不等式化简求解即可．

详解

因为，所以，则，

当且仅当，即时取等号.

故选：C．

点睛

本题考查基本不等式的应用，函数的最值的求法，属于基础题．

6、答案C

解析

7、答案B

解析由题可得，，从而可判断正确，利用特殊值法可判断选项A，C，D，都是错误的，即可选出答案.

详解

因为，且，所以.

则，可得，即选项B正确；

取，

由，，，可知选项A，C，D都不正确.

故选：B.

点睛

本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.

8、答案A

解析利用差比较法，比较出的大小关系

详解

M﹣N＝（2a2﹣4a+7）﹣（a2﹣5a+6）

＝a2+a+1＝（a+）2+＞0，∴M＞N．

故选：A

点睛

本小题主要考查差比较法比较大小，属于基础题.

9、答案C

详解：因为的解集是，

所以的两根为，

则，解得，

则可化为，

即，

解得或，

即该不等式的解集为.

点睛：处理一元二次不等式问题时，往往利用“三个二次（一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式）”的关系进行求解，如本题中不等式的解集的端点值即为相应方程的根，也是相应函数的零点．

10、答案A

解析∵故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在 点，取得最大值其关系如图所示，即，解得，又∵解得.故选：A.

考点：简单线性规划的应用.

11、答案C

解析令，换元，将原式转化为的算式，结合基本不等式即可得到结果．

详解

解：令，则，，

原式，

当且仅当即时等号成立，

故选：．

点睛

本题考查了基本不等式的应用，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．

12、答案D

解析首先求得线段的垂直平分线的方程，由此求得的关系式，利用基本不等式求得的最小值.

详解

因为点到和的距离相等，

所以点在线段的垂直平分线上，且过AB的中点，，垂直平分线的斜率为，由点斜式得，

所以垂直平分线的方程为：即，

因为，且，

所以.

所以的最小值为，

故选：D.

点睛

本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查基本不等式求最值，属于中档题.

13、答案

解析画出不等式组表示的可行域知，的最小值为．

和 相交于一点A， ，目标函数最小时即截距最小时

由图像知在A点取得；故结果为14;

14、答案

解析因为不等式等价于，其中中的，且有，故，不等式的解集为，则一定有1，2，3为所求的整数解集。所以，解得a的范围为

考点：一元二次不等式解法

方法点睛将不等式展开整理为一元二次不等式的标准形式，由解集中整数解恰好有3个可知且（若则解集有无限个），结合二次函数及二次方程可求得解集为，由的范围可求得边界值的范围，从而确定整数解的值，得到右边界的取值范围，得到的取值

15、答案3

解析根据，将所求等式化为，由基本不等式，当a=b时取到最小，可得最小值。

详解：因为，所以，

所以（当且仅当时，等号成立）.

点睛

本题考查基本不等式，解题关键是构造不等式，并且要注意取最小值时等号能否成立。

16、答案9

解析转化条件为，解不等式得，即可得解.

详解：由题意得即，

转化为：解得或（舍去），

，当且仅当时等号成立.

故答案为：.

点睛

本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属于中档题.

17、答案（1）（2）．

详解

（1）当时，，

不等式即为，

解之得该不等式的解集为．

（2）由题意得的解集为R．

当时，该不等式的解集为，不符合题意，舍；

当时，不符合题意，舍；

当时，，解之得．

综上所述，实数的取值范围是．

点睛

本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．

解析

18、答案（1）证明见解析（2）

（2）由,结合韦达定理,可得到关于的不等式,可求出的取值范围.

详解

（1）证明:∵,

∴关于的方程总有两个不等实根.

（2）设方程的两根分别为,且,由韦达定理得,,

∴

=,

据题知,则,即,解得.

故的取值范围是.

点睛

在一元二次方程中,若,则方程有两个不相等的实根;若,则方程有两个相等的实根;若,则方程无实根.

解析

19、答案(1)a＝－2，b＝3.(2)

 (2)由二次不等式的解法，结合不等式与方程的关系即可得解.

详解

解：(1)因为方程ax2＋bx＋2＝0的两根为和2.

由根与系数的关系，得

解得a＝－2，b＝3.

(2)由（1）可知二次不等式ax2＋bx－1>0即为2x2－3x＋1<0，

所以，解得<x<1.

所以不等式ax2＋bx－1>0的解集为：.

点睛

本题考查了二次方程根与系数的关系及解二次不等式，重点考查了不等式与方程的关系及运算能力，属基础题.

解析

20、答案（1）；（2）

（2）分解因式，求解即可

详解

（1）等价为，则解集为R

（2）则，故不等式解集为

点睛

本题考查二次不等式的解集，是基础题

解析