北师大版4 整式的乘法教案

1.4  整式的乘法(二)

●教学目标

(一)教学知识点

1.经历探索单项式与多项式乘法的运算法则的过程，会进行简单的单项式与多项式的乘法运算.

2.理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化思想的作用.

(二)能力训练要求

1.发展有条理思考和语言表达能力.

2.培养学生转化的数学思想.

(三)情感与价值观要求

在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和勇气.

●教学重点

单项式与多项式相乘的乘法法则及应用.

●教学难点

灵活运用单项式与多项式相乘的乘法法则.

●教学方法

引导探索法.

●教具准备

投影片三张

第一张：议一议，记作(§1.4.2 A)

第二张：例题，记作(§1.4.2 B)

第三张：练习，记作(§1.4.2 C)

●教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］整式包括什么？

［生］单项式和多项式.

［师］整式的乘法，我们上一节课学习了其中的一部分——单项式与单项式相乘.你认为整式的乘法还应学习哪些内容呢？

［生］单项式与多项式相乘或多项式与多项式相乘.

［师］很好！我们这节课就接着来学习整式的乘法——单项式与多项式相乘.

Ⅱ.利用面积的不同表示方式或乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，探索单项式与多项式相乘的乘法法则

出示投影片(§1.4.2 A)——议一议

为支持北京申办奥运会，京京受画家的启发曾精心制作了两幅画，我们已欣赏过.宁宁也不甘落后，也作了一幅画，如图1－2：

(1)宁宁也作了一幅画，所用纸的大小与京京的相同，她在纸的左右两边各留了x米的空白，这幅画的画面面积是多少？

一方面，可以先表示出画面的长与宽，由此得到画面的面积为       ；

另一方面，也可以用纸的面积减去空白处的面积，由此得到画面的面积为       .

这两个结果表示同一画面的面积，所以       .

(2)如何进行单项式与多项式相乘的运算？

［师］从“议一议”可知求出宁宁画的画面面积有两种方法.一种是直接用画面的长和宽来求；一种是间接地把画面的面积转化为纸的面积减去空白处的面积.下面我们就用这两种方法分别求出画面的面积.

［生］根据题意可知画面的长为(mx－x－x)即(mx－x)米，宽为x米，所以画面的面积为x(mx－x)米2.

［生］纸的面积为x·mx=mx2米2，空白处的面积为2x·x=x2米2，所以画面的面积为(mx2－x2)米2.

［师］x(mx－x)与mx2－x2都表示画面的面积，它们是什么关系呢？

［生］它们应相等，即x(mx－x)=mx2－x2.

［师］观察上面的相等关系，等式左边是单项式x与多项式(mx－x)相乘，而右边就是它们相乘后的最后结果，你能用乘法分配律、同底数幂的乘法性质来说明上面等式成立的原因吗？

［生］乘法分配律a(b+c)=ab+ac.所以x(mx－x)就需用x去乘括号里的两项即mx和－x,再把它们的积相加，即x(mx－x)=x·(mx)+x·(－x)=mx2－x2.

［师］你能用上面的方法计算下面的式子吗？3xy(x2y－2xy+y2),并说明每一步的理由.

［生］3xy(x2y－2xy+y2)

=3xy·(x2y)+3xy·(－2xy)+3xy·y2——乘法分配律

=3x3y2－6x2y2+3xy3——单项式乘法的运算法则

［师］根据上面的分析，你能用语言来描述如何进行单项式与多项式相乘的运算吗？

［生］单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.

［生］其实，单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识.

［师］看来，同学们已领略到了数学的“韵律”这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想.我们在处理一些问题时经常用到它，例如新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等.

我们通过画面面积的不同表达方法和乘法分配律，得出了单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘 ，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，下面我们来看它的具体运用.

Ⅲ.练一练，明确单项式乘多项式每一步的算理，体会由单项式与多项式相乘向单项式与单项式相乘的转化

出示投影片(§1.4.2 B)

［例1］计算：

(1)2ab(5ab2+3a2b);

(2)(ab2－2ab)·ab;

(3)－6x(x－3y);

(4)－2a2(ab+b2).

解：(1)2ab(5ab2+3a2b)

=2ab·(5ab2)+2ab·(3a2b)——乘法分配律

=10a2b3+6a3b2——单项式与单项式相乘

(2)(ab2－2ab)·ab

=(ab2)·ab+(－2ab)·ab——乘法分配律

=a2b3－a2b2——单项式与单项式相乘

(3)－6x(x－3y)

=(－6x)·x+(－6x)·(－3y)——乘法分配律

=－6x2+18xy——单项式与单项式相乘

(4)－2a2(ab+b2)

=－2a2·(ab)+(－2a2)·b2——乘法分配律

=－a3b－2a2b2——单项式与单项式相乘

［师］通过上面的例题，我们已明白每一步的算理.单项式与多项式相乘根据前面的练习，你认为需注意些什么.

［生］单项式与多项式相乘时注意以下几点：

1.积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同.

2.运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和的形式.

［例2］计算：6mn2(2－mn4)+(－mn3)2.

分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.

解：原式=6mn2×2+6mn2·(－mn4)+m2n6

=12mn2－2m2n6+m2n6

=12mn2－m2n6

［例3］已知ab2=－6,求－ab(a2b5－ab3－b)的值.

分析：求－ab(a2b5－ab3－b)的值，根据题的已知条件需将ab2的值整体代入.因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.

解：－ab(a2b5－ab3－b)

=(－ab)·(a2b5)+(－ab)(－ab3)+(－ab)(－b)

=－a3b6+a2b4+ab2

=(－ab2)3+(ab2)2+ab2

当ab2=－6时

原式=(－ab2)3+(ab2)2+ab2

=［－(－6)］3+(－6)2+(－6)

=216+36－6

=246

Ⅳ.课时小结

［师］这节课我们学习了单项式与多项式的乘法，大家一定有不少体会.你能告诉大家吗？

［生］这节课我最大的收获是进一步体验到了转化的思想：单项式与多项式相乘，根据乘方分配律可以转化成单项式与单项式相乘；而上节课我们学习的单项式与单项式相乘，根据乘法交换律和结合律又可转化成同底数幂乘法的运算，……

［师］同学们可回顾一下我们学过的知识，哪些地方也曾用过转化的思想.

［生］我们学习有理数运算的时候，就曾用过，例如有理数乘法法则就是利用同号得正，异号得负确定符号后，再把绝对值相乘，而任何数的绝对值都是非负数，因此有理数的乘法运算就是在确定符号后转化成0和正整数、正分数的运算.

［师］转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想，在将来的学习中，他会成为我们的得力助手.

Ⅴ.课后作业

1.课本习题1.7第1、2题.

2.回顾转化思想在以前数学学习过程中的应用.

Ⅵ.活动与探究

已知A=987654321×123456789,

B=987654322×123456788.

试比较A、B的大小.

［过程］这么复杂的数字通过计算比较它们的大小，非常繁杂.我们观察就可发现A和B的因数是有关系的，如果借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便.

［结果］设a=987654321,

a+1=987654322;

b=123456788,

b+1=123456789,则

A=a(b+1)=ab+a;

B=(a+1)b=ab+b.

而根据假设可知a>b,所以A>B.

●板书设计

§1.4.2  整式的乘法(二)

——单项式与多项式的乘法

一、议一议

1.用不同的方法表示画面的面积.

一方面，画面面积为x(mx－x)米2；

一方面，画面面积为(mx2－x2)米2.

所以x(mx－x)=mx2－x2

2.用乘法分配律等说明上式成立

x(mx－x)

=x·(mx)+x·(－x)——乘法分配律

=mx2－x2——单项式与单项式相乘

综上所述，可得

单项式与多项式相乘单项式与单项式相乘再把积相加

二、练一练

例1.(由师生共同分析完成)

例2.(由师生共同分析完成)

例3.(由师生共同分析完成)

●备课资料

一、参考练习

1.选择题

(1)12(xmy)n－10(xny)m的结果是(其中m、n为正整数)(    )

A.2xm－yn        B.2xn－ym

C.2xmyn         D.12xmnyn－10xmnym

(2)下列计算中正确的是(    )

A.3b2·2b3=6b6

B.(2×104)×(－6×102)=－1.2×106

C.5x2y·(－2xy2)2=20x4y5

D.(am+1)2·(－a)2m=－a4m+2(m为正整数)

(3)2x2y·(－3xy+y3)的计算结果是(    )

A.2x2y4－6x3y2+x2y

B.－x2y+2x2y4

C.2x2y4+x2y－6x3y2

D.－6x3y2+2x2y4

(4)下列算式中，不正确的是(    )

A.(xn－2xn－1+1)·(－2xy)=－2xn+1y+4xny－2xy

B.(xn)n－1=x2n－1

C.xn(xn－2x－y)=x2n－2xn+1－xny

D.当n为任意自然数时，(－a2)2n=a4n

2.计算

(1)(－4xy3)·(－xy)+(－3xy2)2

(2)［2(x+y)3］·［5(x+y)k+2］2·［4(x+y)1－k］2

(3)(2xyz2)2·(－xy2z)+(－xyz)3·(5yz)·(－3z)

(4)(x3y2+x2y3+1)·(－3xy2)2·(－4xy)

(5)(x2+2xy+y2)·(xy)n

(6)－an+1b·(an－1bn－2anbn－1)

3.求证：对于任意自然数n,代数式n(n+7)－n(n－5)+6的值都能被6整除.

答案：1.(1)D  (2)C  (3)C  (4)B

2.(1)13x2y4  (2)800(x+y)9

(3)11x3y4z5

(4)－36x6y7－36x5y8－36x3y5

(5)xn+2yn+2xn+1yn+1+xnyn+2

(6)－a2nbn+1+2a2n+1bn+1+an+1b

3.(略)