北师大版八年级上册1 探索勾股定理教学设计

1.1 探索勾股定理（2）

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2.掌握勾股定理和他的简单应用

学习重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理

学习难点：用面积法证勾股定理

教法及学法指导：

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流。并利用教具与多媒体进行教学。

在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体。

课前准备：

制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作.

教学过程:

一、创设情境，导入新课

［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2；完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？

［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边．例如（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2，所以平方差公式是成立的．

［生］还可以用拼图的方法来推出．例如：（a+b）2=a2+2ab+b2．我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为（a+b）的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为（a+b）2；又可以表示为a2+2ab+b2．所以（a+b）2=a2+2ab+b2．

［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观．上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理．同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确．因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系．

二、性质探究

1．拼一拼

（1）在一张硬纸板上画4个如下图所示全等的直角三角形．并把它们剪下来．

（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？

（对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来．鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系（a+b）2=a2+2ab+b2的拼图推证方法说明勾股定理）．

［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形．观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是（a+b）．要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可．

大正方形面积可以表示为：（a+b）2，又可以表示为：ab×4+（b－a）．

对比这两种表示方法，可得出c2=ab×4+（b－a）．化简、整理得c2=a2+b2．因此我们得到了勾股定理．

［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为b－a，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c2，又可以表示为ab×4+（b－a）2．对比两种表示方法可得c2=ab×4+（b－a）2．化简得c2=a2+b2．同样得到了勾股定理．

［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献．在后面的课题学习中，我们还要继续研究它．

在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了．有人做过统计，说有五百余种．1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．

［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？

［师］是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思想体操，并

且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．

［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？

［师］可以．如下图所示．这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．

［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．

［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．

［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为（a+b）·（a+b），又可以表示为ab×2+c2．对比两种表示方法可得（a+b）·（a+b）= ab×2+c2．化简，可得a2+b2=c2．

［师］很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．

2．议一议

［师］前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系．那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？

［师］上图中的△ABC和△A′B′C是什么三角形？

［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形．

［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形．谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子．

［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积．

a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2．

［师］锐角三角形A′B′C′中，如何呢？

［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积．由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积．在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2．

［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2+b2=c2（其中a、b是直角边，c为斜边）这样的关系．

［生］老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2+b2＜c2；在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2．它们恒成立吗？

［师］这位同学很善于思考，的确如此．同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小．

三、性质的应用

1.例题精讲

我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？

（学生自己画图完成，全班交流）

2.巩固提高

（1）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

（2）在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？

［师生共析］

1．分析：根据题意，可以画出下图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．

解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5000米，AC=4800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即50002=BC2+48002，所以BC=1400米．

2分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的．

解：根据题意，得到下图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．

所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36．6AC=27，AC=4．5．所以这里的水深为4．5分米．

评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．

四、收获园地

师：这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题

生：畅谈自己的收获！

五、达标检测

如下图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？

六、作业

   1．课本P11，习题1．2．    1 、2

2．收集关于勾股定理的证明方法．

七、板书设计

八、教学反思

学生基本理解，对实际问题理解不透，很多学生不能通过读题把图形画出来，今后应多加强此方面的训练。