九年级上册数学期末专题复习题（19项专题）

这是一份九年级上册数学期末专题复习题（19项专题），共58页。试卷主要包含了利用配方法解下列方程，代数式x2－4x＋5的最小值是，求证等内容，欢迎下载使用。
类比归纳专题：配方法的应用
——体会利用配方法解决特定问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　配方法解方程
1．一元二次方程x2－2x－1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝1＋，x2＝－1－
C．x1＝1＋，x2＝1－
D．x1＝－1＋，x2＝－1－
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为＝
D．3x2－4x－2＝0化为＝
3．利用配方法解下列方程：
(1)(2016·淄博中考)x2＋4x－1＝0；



(2)(x＋4)(x＋2)＝2；




(3)4x2－8x－1＝0；



(4)3x2＋4x－1＝0.




类型二　配方法求最值或证明
4．代数式x2－4x＋5的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．5
5．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（ ）
A．有最大值13 B．有最小值－3
C．有最大值37 D．有最小值1
6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．





7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.







类型三　完全平方式中的配方
8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．±2
9．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．－9或11 B．－7或8
C．－8或9 D．－6或7
类型四　利用配方构成非负数求值
10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（ ）
A．3 B．－1 C．2 D．－2
11．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．













答案：



类比归纳专题：一元二次方程的解法
——学会选择最优的解法



类型一　一元二次方程的一般解法
　　方法点拨： 形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.
1.用合适的方法解下列方程：
（1）－＝0；

（2）x2－6x＋7＝0；




（3）x2－x＋＝0；



（4）3x（2x＋1）＝4x＋2.





*类型二　一元二次方程的特殊解法
一、十字相乘法
　　方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.
　　　　　　　　　　
第1种拆法：4x－x＝3x（正确），
第2种拆法：2x－2x＝0（错误），
所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，即x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.
2. 解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.
3.用十字相乘法解下列一元二次方程：
（1）x2－5x－6＝0；
（2）x2＋9x－36＝0.


二、换元法
　　方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.
4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝_______.
5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7.











1.解：（1）移项，得＝，
两边开平方，得x－＝±，
即x－＝或x－＝－，
∴x1＝3，x2＝2；

（2）移项，得x2－6x＝－7，
配方，得x2－6x＋9＝－7＋9，即（x－3）2＝2，
两边开平方，得x－3＝±，
∴x1＝3＋，x2＝3－；

（3）原方程可化为8x2－4x＋1＝0.
∵a＝8，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝（－4）2－4×8×1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝x2＝；
|（4）原方程可变形为（2x＋1）（3x－2）
＝0，
∴2x＋1＝0或3x－2＝0，
∴x1＝－，x2＝.
2. x－1＝0或x＋3＝0.
3.解：（1）原方程可变形为（x－6）（x＋1）
＝0，
∴x－6＝0或x＋1＝0，
∴x1＝6，x2＝－1；
（2） 原方程可变形为（x＋12）（x－3）
＝0，
∴x＋12＝0或x－3＝0，
∴x1＝－12，x2＝3.
4. －或1
5. 解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为t（t
＋6）＝7，
∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.
当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，x2＋5x＝0，
x（x＋5）＝0，
∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；
当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x
＋8＝0，
∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程
无实数根.
∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.
易错易混专题：一元二次方程中的易错问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a≠0”
1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为______.【易错1】
2．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．－1 B．1
C．1或－1 D．－1或0
3．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.
(1)求m的值；
(2)求方程的解．



类型二　利用判别式求字母取值范围时，忽略“a≠0”及“中的a≥0”
4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m≥
C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2
5．已知关于x的一元二次方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
6．若m是非负整数，且关于x的方程(m－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．







类型三　利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”
7．(2016·朝阳中考)关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，且x＋x＝1，则k的值为_______.【易错2】
8．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．【易错2】










类型四　与三角形结合时忘记取舍
9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．17
C．17或19 D．19
10．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．




考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合

类型一　一元二次方程与三角形、四边形
的综合
1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
2．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9
C．13 D．12或9
3．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．12 C．16或12 D．24
4．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（ ）
A．9 B．10
C．9或10 D．8或10
5．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．
6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】
7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】








类型二　一元二次方程与一次函数的
综合
8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（ ）

9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．

类型三　一元二次方程与二次根式的
综合
12．(达州中考)方程(m－2)x2－x＋＝0有两个实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m＞ B．m≤且m≠2
C．m≥3 D．m≤3且m≠2
13．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．


答案：



12. B 13.

解题技巧专题：抛物线中与
系数a，b，c有关的问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　由某一函数的图象确定其他函数图象的位置
1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

第1题图 第2题图
　　　
2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（ ）

3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（ ）


第3题图 第4题图

4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（ ）

类型二　由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值
5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（ ）
A．a＞0
B．c＜0
C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
D．当x＜1时，y随x的增大而减小

第5题图 第7题图
6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（ ）
A．b≥ B．b≥1或b≤－1
C．b≥2 D．1≤b≤2
7．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．(2016·天水中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－.其中正确结论的序号是____________.
　　　　


易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围
——类比各形式，突破给定范围求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　没有限定自变量的范围求最值
1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为_______.
2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法11】（ ）
A．3 B．2 C．1 D．－1
3．已知函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．








类型二　限定自变量的取值范围求最值
4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（ ）
A．4和－3 B．－3和－4
C．5和－4 D．－1和－4


5．二次函数y＝－x2＋x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）
A．3.125 B．4 C．2 D．0
6．已知0≤x≤，则函数y＝x2＋x＋1（ ）
A．有最小值，但无最大值
B．有最小值，有最大值1
C．有最小值1，有最大值
D．无最小值，也无最大值
类型三　限定自变量的取值范围求函数值的范围
7．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤1
8．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（ ）
A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜3
9．二次函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a－1时，函数值C

A．y＜0
B．0＜y＜m
C．y＞m
D．y＝m

类型四　已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值
10．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．9
11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为（ ）
A．3 B．－1
C．4 D．4或－1

12．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5

13．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－，则∠A＝_______度．
14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．




































































答案：



难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　二次函数与三角形的综合
一、全等三角形的存在性问题
1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．







二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题
2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．











类型二　二次函数与平行四边形的综合

3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


4．如图，抛物线y＝x2＋x－与x轴相交于A，B两点，顶点为P.
(1)求点A，B的坐标；
(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．










类型三　二次函数与矩形、菱形、正方形的综合

5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.

第5题图 第6题图
6．如图，抛物线y＝ax2－x－与x轴正半轴交于点A(3，0)．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.则a＝，点E的坐标是_________________．
7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．





8．(2016·百色中考)正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．
(1)建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O，P，A三点的坐标；
②求抛物线l的解析式；
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．
























答案：



























拔高专题 抛物线中的压轴题
一、基本模型构建
常见模型



思考
在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
在射线BD上可以找出一点组成三角形，可得△ABC、△BEC、△CBD为等腰三角形。

二、拔高精讲精练
探究点一：因动点产生的平行四边形的问题
例1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。

解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
将A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
解得，所以此函数解析式为：y=x2+x−4；
（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，m2+m−4），
∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=×4×（-m2-m+4）+×4×（-m）-×4×4=-m2-2m+8-2m-8
=-m2-4m=-（m+2）2+4，∵-4＜m＜0，当m=-2时，S有最大值为：S=-4+8=4．答：m=-2时S有最大值S=4．
（3）设P（x，x2+x-4）．
当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）．由PQ=OB，得|-x-（x2+x-4）|=4，
解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
由此可得Q（-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2 ，2+2 ）或（4，-4）．


【变式训练】（2015•贵阳）如图，经过点C（0，-4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-2，0），B两点．
（1）a ＞ 0，b2-4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）a＞0，b2-4ac＞0；（2）∵直线x=2是对称轴，A（-2，0），∴B（6，0），
∵点C（0，-4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=，b=-，c=-4，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-4；
（3）存在，理由为：
（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，
过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，
∵抛物线y=x2-x-4关于直线x=2对称，∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，
又∵OC=4，∴E的纵坐标为-4，∴存在点E（4，-4）；
（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是
平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，
∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，
又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，
∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，∴4=x2-x-4，
解得：x1=2+2，x2=2-2，
∴点E′的坐标为（2+2，4），同理可得点E″的坐标为（2-2，4）。
【教师总结】因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型：
（1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构成平行四边形。①确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等；②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线。
探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题
例2: （2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，，解得：b=-4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；
（2）令y=0，则x2-4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3

2
，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC-OC=3-3
∴P1（0，3+3），P2（0，3-3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3，
∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3-3）或（0，-3）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2-t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2-t）×2t=-t2+2t=-（t-1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，-2）时△MNB面积最大，最大面积是1。

【变式训练】（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=-x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．
（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；
（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）将A点坐标代入y1，得-16+13+c=0．解得c=3，
二次函数y1的解析式为y=-x2+x+3，B点坐标为（0，3）；
（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，
∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；
（3）直线AB的解析式为y=-x+3，AB的中点为（2，），
AB的垂直平分线为y=x-，当x=0时，y=-，P1（0，-），
当y=0时，x=，P2（，0），
综上所述：P1（0，-），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形。
【教师总结】这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.
易错专题：抛物线的变换

类型一　抛物线的平移
1．(临沂中考)要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是【易错1】(　　)
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
2．(义乌中考)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋6x＋5
C．y＝x2＋4x＋4 D．y＝x2＋8x＋17

类型二　抛物线的对称
3．抛物线y＝ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是(　　)


A．(，0) B．(1，0)
C．(2，0) D．(3，0)
4．已知二次函数y＝2x2＋9x＋34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2时的函数值与(　　)
A．x＝1时的函数值相等
B．x＝0时的函数值相等
C．x＝时的函数值相等
D．x＝－时的函数值相等
5．已知二次函数y＝2x2－12x＋5，则该函数图象关于x轴对称的图象的关系式为________________．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________(用含a的式子表示)．

第6题图 第8题图
7．(资阳中考)已知抛物线p：y＝ax2＋bx＋c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2＋2x＋1和y＝2x＋2，则这条抛物线的解析式为________________．
8．(湖州中考)如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一交点分别为M、N.如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是________________和________________．



答案：

3.

4.

5.


6.

7.

8.

解题技巧专题：巧用旋转进行计算
——体会旋转中常见解题技巧
　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（ ）
A．32° B．64° C．77° D．87°

第1题图 第2题图　　　
2．(2016·株洲中考)如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°


3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于__________度．
类型二　利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度
4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点 A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D.若AC＝6，则AD的长为【方法13】（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3

第4题图 第5题图
5．(2016·黔西南州中考)如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA交A1D1于点F.若AB＝1，BC＝，则AF的长度为（ ）
A．2－ B.
C. D.－1
6．(2016·巴彦淖尔中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，求AE的长．











类型三　利用旋转计算面积
7．如图，将正方形纸片ABCD绕着点A按逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′.若AB＝2cm，则图中阴影部分的面积为【方法13】（ ）
A．6cm2 B．(12－6)cm2
C．3cm2 D．4cm2

第7题图 第8题图
8． 如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．





































































答案：


拔高专题：旋转变化中的压轴题
一、基本模型构建
常见模型



思考
上图中，△AE′B旋转到AED的位置，可得△AE′E为 等腰 三角形。如果四边形ABCD是矩形或正方形，则三角形AE′E为等腰直角三角形。
上图中，△ABC旋转到△ADE的位置，可以得到∠EAC= ∠DAB ，如果∠B=60°，所以△ADB为 等边 三角形.
二、拔高精讲精练
探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换
例1：（2015•盘锦中考）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系： BE=CD ；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；
（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，，
∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；

②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°，
∴角α的度数是45°或225°．
等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强
【变式训练】1. 如图①，在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB与EC交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图②，Rt△ABC不动，将Rt△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM的形状，并证明你的结论．

（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
在△ACF和△DCH中，，∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；
（2）四边形ACDM是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°，
∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM，
∴四边形ACDM是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．
【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。
探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换
例2:根据图形回答问题：

（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）
（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．
（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．
解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．

（2）FM⊥ME，FM=ME，连接GN和DE， 在△DME和△GMN中，，
∴△DME≌△GMN（AAS），∴DM=MN，DE=NG，∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，
∴△NFE是等腰直角三角形，
∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）

（3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN．（EC与DM的交点标为P，FC与DM交点标为Q）
在△DME和△GMN中，，∴△DME≌△GMN．∴DE=NG，∠EDM=∠NGM，
∴EC=NG，∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG=180°-（90°-∠MDE）-（90°-∠FGM）=∠EDM+∠FGM，∵∠NGM+∠FGM=∠NGF，∴∠ECF=∠NGF，∵EC=DE=NG，
在△ECF和△NGF中，，∴△ECF≌△NGF，∴EF=NF，∠EFC=∠NFG，
∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°，∴△EFN是等腰直角三角形，∴FM⊥EM，并且FM=EM。
【变式训练】2. 两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．
（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE，即∠ADE=∠GDC，在△AED与△GCD中，，
∴△AED≌△GCD（SAS）；
（2）如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，
∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．
【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决.
类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度
——全面突破，形成解题思维模式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
1．(2016·自贡中考)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°

第1题图 第2题图
2．(2016·济宁中考)如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）

A．40° B．30° C．20° D．15°
3．(2016·毕节中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B的度数为（ ）

A．100° B．72° C．64° D．36°

第3题图 第4题图
　　　　　
4．(2016·青海中考)如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝________.
类型二　构造圆内接四边形转化角
5．如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠CBD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）

A．55° B．70° C．110° D．140°

第5题图 第6题图
6．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（ ）
A．68° B．88°
C．90° D．112°
7． 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝______.

类型三　利用直径构造直角三角形转化角
8．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于【方法15】（ ）

A．33° B．57° C．67° D．66°

第8题图 第9题图


9．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数是_______.
10．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD为圆O的直径，AE⊥BC于E.求证：∠BAD＝∠EAC.【方法15】







类型四　利用特殊数量关系构造特殊角转化角
11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°

第11题图 第12题图　　　　
12．(2017·莒县模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r＝5，AC＝5，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°




























































答案：



类比归纳专题：切线证明的常用方法
——弄清不同条件下的证明方式，体会异同
　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　有切点，连半径，证垂直
一、利用角度转换证垂直
1．(2016·大连中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.求证：DE与⊙O相切．











2．(2016·广安中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F.若AB＝BF，求证：AB是⊙O的切线．









二、利用勾股定理的逆定理证垂直
3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝.求证：BC是⊙O的切线．







4．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．














类型二　无切点，作垂直，证半径
5．(2016·南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．【方法16②】















答案：







解题技巧专题：圆中辅助线的作法
——形成思维定式，快速解题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　遇弦加弦心距或半径
1．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11

第1题图 第2题图
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为________cm.

第3题图 第4题图
　　　
4．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm.
类型二　遇直径添加直径所对的圆周角
5．(2016·玉林中考)如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°

第5题图 第6题图
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（ ）
A．16 B．4 C. D.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若∠B＝70°，求的度数；
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．














类型三　遇切线连接圆心和切点
8．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C. D.

第8题图　 第9题图
9．如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠BAO＝60°，弦BC∥OA，则的长为_________(结果保留π)．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为_______．











答案：



解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积
——全面掌握核心方法，以不变应万变
　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　直接利用规则图形的和差求面积
1．(2016·安顺中考)如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是________(结果保留π)．

第1题图 第2题图

2．如图，长方形ABCD的长BC为3cm，宽AB为2cm，点E，F是边AD的三等分点，点G，H是边BC的三等分点．现分别以B，G两点为圆心，以2cm长为半径画弧AH和弧EC，则阴影部分的面积为_______cm2.
3．(2016·烟台中考)如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为_______cm2.【方法18】

第3题图 第4题图
　　　
类型二　割补法
4．(2016·深圳中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π－4 B．4π－8
C．2π－8 D．4π－4
5．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A．4π－2 B．2π－2
C．4π－4 D．2π－4

第5题图 第6题图
类型三　等积法
一、轴对称、旋转
6．(2016·重庆中考)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是______．【方法18】
7．如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点．若⊙O过A，C两点，则图中阴影部分的面积之和为________.

第7题图 第8题图
　　　
8．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.＋ B．π－
C.＋ D.－

二、同底等高的三角形等积替换
9．(2016·襄阳中考)如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．

第9题图 　第10题图
10．如图，P是半径为2的⊙O外一点，PB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，且BC＝2，则图中阴影部分的面积为________．【方法18】
类型四　折叠问题中求面积
11．(2016·德州中考)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
　　　










答案：



8.D

考点综合专题：圆与其他知识的综合
　　　　　　　　　　　　　　　　　　


类型一　圆与平面直角坐标系
1．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，－)，点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.
(1)求⊙M的半径；
(2)求证：BD平分∠ABO；
(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．






















类型二　圆与四边形的综合
2．(2016·江西中考)如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点(不与A，C重合)，过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D.
(1)求证：DC＝DP；
(2)若∠CAB＝30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．























类型三　圆与函数的综合
3．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为____________.
　　　
4．(2016·巴中中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N，劣弧的长为π，直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B.
(1)求证：直线AB与⊙O相切；
(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用π表示)．




























































答案：



拔高专题 圆中的最值问题
一、基本模型构建
常见模型

图(1) 图（2）

思考
图（1）两点之间线段 最短 ；
图（2）垂线段 最短 。
.在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
二、拔高精讲精练
探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题
例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，
∴A′B=3．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。
探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值

解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 ，
∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ==2．

【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值．

解：（1）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
∴AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4．

【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。
拔高专题 抛物线与圆的综合
一、基本模型构建
常见模型

思考
圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点 坐标 ，根据交点可求三角形的 边长 ，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。
二、拔高精讲精练
探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题
例1: （2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0） ，B （8，0） ，C （0，4） ；
（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，
∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=（x-5）2+k，得：k=-，∴E（5，-），
∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA2=32+（）2=，∵MA2+EA2=52+=，ME2=，
∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；
（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：
由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合， ∴P（5，4）；
②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，
∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，
点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．

【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=-（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．
（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；
（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

（1）解：∵y=-（x2-7x+6）=-（x2-7x）-3=-（x-）2+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-（x-）2+，顶点M的坐标是（，）；
（2）解：∵y=-（x2-7x+6），∴当y=0时，-（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==3．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴，解得，∴直线BC的解析式为：y=x-3，令x=，得y=×-3=-，∴R点坐标为（，-）；
（3）证明：设点P坐标为（x，-x2+x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即（x-）2+（-x2+x-3）2=（）2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（，），N（，0），∴PM2=（2-）2+（2-）2=，PN2=（2-）2+22==，
MN2=（）2=，∴PM2+PN2=MN2，∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．

【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．
探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题
例2:（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．
（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标。

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（-2，0），D（-8，0）代入得：，
解得．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x2+x+4；
（2）∵y=x2+x+4=（x+5）2-，∴E（-5，-），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，直线CE与y轴交于点G，则，解得：，∴y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，∴G（0，），
如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OB-OG=4-=，CG===，∴BG=CG，AB=AC，
在△ABG与△ACG中，，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG，∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切；
（3）存在点F，使△BDF面积最大， 如图2连接BD，BF，DF，设F（t，t2+t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则，解得．∴直线BD的解析式为y=x+4，
∴点N的坐标为（t，t+4），∴FN=t+4-（t2+t+4）=-t2-2t，∴S△DBF=S△DNF+S△BNF=OD•FN=×8×（-t2-2t）=-t2-8t=-（t+4）2+16，∴当t=-4时，S△BDF最大，最大值是16，当t=-4时，t2+t+4=-2，∴F（-4，-2）．

【变式训练】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D．已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）．
（1）求此抛物线的表达式与点D的坐标；
（2）若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值。

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-4；∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、BC，由勾股定理得：AC=，BC=．∵AC2+BC2=AB2=100，∴∠ACB=90°，∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，∴D（0，4）；
（2）解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），∴，解得， ∴直线BD解析式为：y=-x+4．设M（x，x2-x-4），如答图2-1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-x+4）．∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8．∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE-xD）+ME（xB-xE）=ME（xB-xD）=4ME，∴S△BDM=4（-x2+x+8）=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；
解法二：如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．设M（m，m2-m-4），∵S△OBD=OB•OD==16，S梯形OBMN=（MN+OB）•ON=（m+8）[-（m2-m-4）]=-m（m2-m-4）-4（m2-m-4），
S△MND=MN•DN=m[4-（m2-m-4）]=2m-m（m2-m-4），∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN-S△MND=16-m（m2-m-4）-4（m2-m-4）-2m+m（m2-m-4）=16-4（m2-m-4）-2m=-m2+4m+32=-（m-2）2+36；∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．

【教师总结】本题考查了待定系数法求解析式，在解答此类问题时要注意构造出辅助线，利用圆的有关性质、勾股定理、三角形面积的求法等综合求解.
易错专题：概率与放回、不放回问题
——体会异同、避免出错
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1.有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，画出了如下图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是【易错6】（ ）

A.随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球
B.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球
C.随机摸出1个球后放回，再随机摸出3个球
D.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出3个球
2.（2016·天门中考）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6.随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.
3.在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取的摸球方法分别是：
小明：随机摸出一个小球记下标号，然后放回，再随机摸出一个小球，记下标号；
小强：随机摸出一个小球记下标号，不放回，再随机摸出一个小球，记下标号.
（1）用画树状图（或列表法）分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
（2）分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率.






4.（2016·通辽中考）一个不透明的口袋中装有4个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于.
（1）口袋中有2个红球；
（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或画树状图法求两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率.




5.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“大”“雅”“丹”“棱”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为多少？
（2）乙从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记下汉字，求乙取出的两个球上的汉字恰能组成“大雅”或“丹棱”的概率.













答案：
1. A 2.
3.解：（1）画树状图如下：

（2）小明：P（两次摸球的标号之和等于5）＝＝；小强：P（两次摸球的标号之和等于5）＝＝.

4.解：列表如下：

红1
红2
白1
白2
红1
——
（红1，红2）
（红1，白1）
（红1，白2）
红2
（红2，红1）
——
（红2，白1）
（红2，白2）
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
——
（白1，白2）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，白1）
——
总共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球中一个是红球和一个是白球的结果有8种，则P（两次摸到的球中一个是红球和一个是白球）＝＝.
5.解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“丹”的概率为；
（2）画树状图如下：

总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能组成“大雅”或“丹棱”的结果有4种，所以P（恰能组成“大雅”或“丹棱”）＝＝.