辽宁省六校协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学含答案
展开2021-2022学年度(上)高二年级省六校协作体期中考试
数学试卷
考试时间:120分钟 满分150分
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出
的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知=(1,k,-2),=(2k,2,4),若⊥,则实数k的值为
A.-2 B.-1 C.2 D.1
2.直线l1:2x+y-1=0与直线l2:4x+2y+3+a(2x+y-1)=0(实数a为参数)的位置关系是
A.l1与l2相交 B.l1与l2平行
C.l1与l2重合 D.l1与l2的位置关系与a的取值有关
3.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=
A.2 B.1 C. D.4
4.方程=1的对应曲线图形是
5.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是
A.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面ABD
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
6.方程x2-xcosθ+sinθ=0的两个不等实根为m,n,那么过点A(m2,m),B(n2,n)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是
A.相交 B.相切或相交 C.相切 D.与θ的大小有关
7.已知双曲线C:与直线y=kx交于A,B两点,点P为C上一动点,记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,C的左、右焦点分别为F1,F2。若k1k2=,且C的焦点到渐近线的距离为1,则
A.a=4
B.C的离心率为
C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为2
D.若△PF1F2的面积为2,则△PF1F2为钝角三角形
8.设F1、F2是椭圆mx2+y2=m(0<m<1)的左、右焦点,P是椭圆上任意一点,若的最小值是,则m的值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。
9.已知直线l:(t+2)x+(t-1)y+3=0,则下述正确的是
A.直线l的斜率可以等于0 B.直线l的斜率一直存在
C.直线t=-0.5时直线的倾斜角为 D.点P(1,3)到直线l的最大距离为2
10.如图,菱形ABCD边长为2,∠BAD=60°,E为边AB的中点。将△ADE沿DE折起,使A到A',且平面ADE⊥平面BCDE,连接AB,AC。则下列结论中正确的是
A.BD⊥A'C B.四面体A'CDE的外接球表面积为8
C.BC与A'D所成角的余弦值为 D.直线A'B与平面A'CD所成角的正弦值为
11.在平面直角坐标系xoy中,已知点P(x0,y0)和曲线C:x2+my2=1,则对于直线l:x0x+my0y=1下列说法正确的是
A.若x0=,y0=,m=1,则直线l与曲线C没有交点
B.若x0=,y0=1,m=-1,则直线l与曲线C有二个交点
C.若x0=,y0=,m=则直线l与曲线C有一个交点
D.直线l与曲线C的位置关系和P在哪里无关
12.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是
A.离心率的取值范围为(0,) B.当离心率为时,|QF1|+|QP|的最大值为4+
C.存在点Q使得=0 D.的最小值为1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知点P(1,1)和圆C:x2+y2-2mx+4y+m+6=0,若过点P作圆C的切线有两条,则实数m的取值范围是 。
14.对任意的实数,求点P(-2,2)到直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0的距离d的取值范围为 。
15.如图,在直角△ABC中,C=,BC=20,AB=40。现将其放置在平面α的上面,其中点A,B在平面α的同一侧,点C∈平面α,BC与平面α所成的角为,则点A到平面α的最大距离是 。
16.设P是椭圆+y2=上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,则的最大值为 。
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.已知动点C与两个定点A(0,0),B(3,0)的距离之比为。
(1)求动点C的轨迹方程T。
(2)若△ABC边BC的中点为D,求动点D的轨迹方程T。
18.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱A1B1上,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,AA1=AB=AC=2。
(1)证明:DF⊥AE;
(2)当D为A1B1的中点时,求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值。
19.已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0。
(1)若过点P(1,0)的直线l与圆C相交所得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)若Q是直线l':3x+4y+6=0上的动点,QA,QB是圆C的两条切线,A,B是切点,求四边形QACB面积的最小值。
20.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,AA1=AB,E为BB1的延长线上一点,D1E⊥平面D1AC,设AB=2。
(1)求二面角E-AC-D1的大小。
(2)在线段D1E上是否存在一点P,使A1P//平面EAC?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
21.2021年9月下旬,中国海军为应对台湾海峡的局势,派出3艘舰艇在台湾附近某海域进行实弹演习。某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点),如下图A,B,C,且OA=OB=OC=3,假想敌舰艇在某处发出信号,A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早(注:信号传播速度为v0),C处舰艇保持静默。
(1)建立适当的坐标系,并求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程;
(2)在A,B两处舰艇对假想敌舰攻击后,C处敌舰派出无人机到假想敌舰处观察攻击效果,则无人机飞行的距离最少是多少?
22.设实数k≠0,椭圆D:的右焦点为F,过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N,点O是坐标原点,直线ON交直线x=3于点M。
(1)若点P的横坐标为1,求点Q的横坐标;
(2)求证:MF⊥PQ;(3)求的最大值。
2021—2022学年度(上)高二年级省六校协作体期中考试答案
一、单项选择题:
1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.D 8. B
二、多项选择题:
9.AC 10.BCD 11.ABC 12.BD
三、填空题:
13. 14.[0,4) 15.30 16.8
四、解答题:
17.(1);(2)
设,由,则点的轨迹方程为………………………………………………………………5分.
由,则点的轨迹方程为,(或).
设,则,将代入
可得:,化简得:,(或).…………………………………………………………………10分(不抠点减2分)
18.(1)证明见解析;(2).
(1)证明:在直三棱柱中,有,
又,,平面,又平面,.
,,
如图,分别以AC,,AB所在直线为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
设,则,,
,.………………………………………………6分
(2)当D为的中点时,,,,
设平面DEF的法向量为,则,即令得,,
易知平面ABC的法向量为,所以,
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.………………………………6分
19.(1)或;(2).
圆的方程化为标准式为:
(1)当斜率不存在时,代入圆方程得,弦长为,满足条件; …2分
当斜率存在时,设,即,圆心到直线的距离
解得:, ……………………………………………………………………………… 4分
,
所以直线方程为或………………………………………………6分
(2)当时,四边形面积取得最小值,……………………………………………………………8分
.…………………………………………………12分
20.(1);(2)存在,.
(1)连接,交于点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,设,则,,.
∵平面,∴,,∴,∴,即,
∴,,
设平面的法向量为,由,得,令,则,
又平面的一个法向量为,
∴,由图知二面角的平面角为锐角,
∴二面角的平面角的大小为;……………………………………………6分
(2)假设在线段上存在点满足题意,设,
得,
∵,,∴,
∴∵平面,∴,∴,∴,
∴存在点使平面,此时.……………………………………………12分
21.(1);(2)
解:建立以所在的直线为轴,的中垂线为轴,建立直角坐标系,
(1)设假想敌舰的位置,由题意可知,
由圆锥曲线的定义可知,该曲线是以,为焦点,4为实轴长的双曲线的左支,
即,,,,
点的轨迹方程为:……………4分
(2)设方程上一点,由题意知, 即:………………………………………6分
故==
=,………………………………………10分
当时,.……………………………………………………12分
22.(1);(2)证明见解析;(3).
(1)因为点P的横坐标为1,由得P的坐标为或.F的坐标为.
当P的坐标为时,直线PQ:,即,
代入椭圆方程,,即,得Q的横坐标为.
当P的坐标为时,同样得Q的横坐标为.因此,点Q的横坐标为;………………………………………………………………………………………………………4分
(2)联立方程组,其解为,.
消去y,得,即.
由,所以N的横坐标为,
得N的纵坐标为,得N的坐标为.………6分
所以直线ON的斜率为,方程为,与直线交于点.
故直线FM的斜率为,于是,因此;…………………..…8分
(3)
.
令,由,得,
…………………….……10分
又,得.
即,所以的取值范围为,最大值为.……………12分
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