2021年浙江省金华市东阳市中考数学模拟试卷 解析版

这是一份2021年浙江省金华市东阳市中考数学模拟试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如果向东走2km，记作+2km，那么﹣3km表示（ ）
A．向东走3kmB．向南走3kmC．向西走3kmD．向北走3km
2．（3分）义东高速公路东阳段是今年省重点建设项目，路线全长33.4km，按双向六车道高速公路标准设计，总投资100.8亿元．其中数据100.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．100.8×108B．10.8×109C．1.008×109D．1.008×1010
3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣m+n）（m+n）＝m2﹣n2B．
C．（m+1）2＝m2+1D．（﹣2m）3＝﹣6m3
5．（3分）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．3＝﹣y﹣5B．3（y一1）＝y（1﹣y）﹣5
C．3＝y﹣5（1﹣y）D．3＝﹣y﹣5（1﹣y）
6．（3分）今年是建党100周年，15名同学参加党史知识竞赛，成绩如表所示：
这些同学党史知识竞赛成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．85分，85分B．90分，85 分
C．87.5分，85分D．90分，90分
7．（3分）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D均在格点上，AB与CD之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．
8．（3分）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
9．（3分）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ）
A．BD⊥ACB．AD＝ABC．∠ADB＝60°D．AD＝DB
10．（3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，点D在边AC上，则AD：BE的值（ ）
A．.：1B．：1C．5：3D．不能确定
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣4x＝ ．
12．（4分）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中一个红球两个白球，从中任意摸出一个球记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球都是白球的概率为 ．
13．（4分）如图，圆锥的底面半径OB＝6，高OC＝8，则圆锥的侧面积等于 •
14．（4分）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝ ．
15．（4分）如图，二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝ ．
16．（4分）将一个较短直角边AB＝1的直角三角形纸片沿斜边上的高线AD分割成两个小的直角三角形（如图1），将得到的两个直角三角形按图2叠放（A′D′在DC边上），当A′与点D重合时，图3中两个阴影部分的面积相等．
（1）图3中有 个等腰三角形．
（2）记两个直角三角形重叠部分的面积为S，则S的取值范围是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：﹣4cs45°+|﹣2|．
18．（6分）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．
19．（6分）如图△ABC是直三棱柱立柜横截面，立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形，腰长为1.5m，小刚和小强要将这个立柜搬过宽为1.2m的通道（l1∥l2，l1、l2之间的距离为1.2m），
（1）小刚计算了△ABC中AB边上高为 m，就知道立柜能搬过这个通道．
（2）小强发现，柜子稍作倾斜，只要满足0≤tanα＜m都能通过，求m的值．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．
21．（8分）已知：如图，平行四边形OABC的边OC在x轴上，∠OAB＝120°，点B为（8，2），抛物线y＝ax2+bx经过点A，B，点P为平行四边形OABC的对称中心．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）平移抛物线，能否使平移后的抛物线同时经过点P，点C？若能，请写出平移方式，并说明理由．
22．（10分）五一假期，某旅行团32人在秦王宫景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人．
（1）求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去清明上河图景区游玩．清明上河图景区的门票价格为160元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童．
①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1400元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？求所有满足条件的方案．
23．（10分）已知：如图，Rt△ABC在第一象限内，AB＝2，AC＝4，AB∥x轴，点A的坐标为（a，3），点M（m，n）是Rt△ABC内（含边界）一动点，双曲线y＝（x＞0）经过点M，k的最大值与最小值之差记作p．
（1）当a＝2时，
①k取到最大值时，点M在 （填“△ABC内部”或“BC边上”）．
②求p值．
（2）求p与a之间的函数关系式及a的取值范围．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G在直线BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于BG于点F．设．
（1）若点G在线段BC上．
①求证：AE＝BF．
②DE：BF能否等于，若能，求出此时k的值，若不能，请说明理由．
（2）连接DF，当△BFG与△DEF相似时，求k的值．
2021年浙江省金华市东阳市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如果向东走2km，记作+2km，那么﹣3km表示（ ）
A．向东走3kmB．向南走3kmC．向西走3kmD．向北走3km
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可．
【解答】解：如果向东走2km表示+2km，那么﹣3km表示向西走3km．
故选：C．
2．（3分）义东高速公路东阳段是今年省重点建设项目，路线全长33.4km，按双向六车道高速公路标准设计，总投资100.8亿元．其中数据100.8亿用科学记数法表示为（ ）
A．100.8×108B．10.8×109C．1.008×109D．1.008×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：100.8亿＝10080000000＝1.008×1010．
故选：D．
3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；
B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；
C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；
D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣m+n）（m+n）＝m2﹣n2B．
C．（m+1）2＝m2+1D．（﹣2m）3＝﹣6m3
【分析】利用平方差公式，分式的加减法，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方对每个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵（﹣m+n）（m+n）＝n2﹣m2，
∴A选项不正确；
∵＝，
∴B选项正确；
∵（m+1）2＝m2+2m+1，
∴C选项不正确；
∵（﹣2m）3＝﹣8m3，
∴D选项不正确；
故选：B．
5．（3分）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．3＝﹣y﹣5B．3（y一1）＝y（1﹣y）﹣5
C．3＝y﹣5（1﹣y）D．3＝﹣y﹣5（1﹣y）
【分析】分式方程去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：解分式方程＝﹣5，
去分母得：3＝﹣y﹣5（1﹣y）．
故选：D．
6．（3分）今年是建党100周年，15名同学参加党史知识竞赛，成绩如表所示：
这些同学党史知识竞赛成绩的中位数与众数分别是（ ）
A．85分，85分B．90分，85 分
C．87.5分，85分D．90分，90分
【分析】根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【解答】解：85分出现了4次，出现的次数最多，
则众数是85分；
把15名同学参加党史知识竞赛的成绩从小到大排列，最中间的排在第8位的是90分，
则中位数是90分．
故选：B．
7．（3分）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D均在格点上，AB与CD之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】由勾股定理得AB长，通过网格求出四边形ABDC的面积，再进一步再进一步证出四边形ABDC是平行四边形，根据面积公式求出h．
【解答】解：四边形ABDC的面积：4×4﹣2××2×4＝8，
AB＝＝2，
由网格的图可知AB＝CD，BD＝CA，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB•h＝8，
∴h＝，
故选：C．
8．（3分）设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m＝（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝mx中，
可得：m＝±2，
因为y的值随x值的增大而减小，
所以m＝﹣2，
故选：B．
9．（3分）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ）
A．BD⊥ACB．AD＝ABC．∠ADB＝60°D．AD＝DB
【分析】动手操作后很容易得到答案．
【解答】解：动手操作展开后可发现这是一个正八边形，则△ABD是其中的八分之一块．
∴△ABD是等腰△，
∴AD＝AB．
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，点D在边AC上，则AD：BE的值（ ）
A．.：1B．：1C．5：3D．不能确定
【分析】连接OA、OD，由已知可以推出，推出△DOA∽△EOB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值．
【解答】解：连接OA、OD，如图，
∵△ABC，△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，
∴AO⊥BC，DO⊥EF，
∴∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，
∴，
∵∠DOE＝∠AOB＝90°，
∴∠DOE﹣∠EOA＝∠AOB﹣∠EOA，
即∠DOA＝∠EOB，
∴△DOA∽△EOB，
∴AD：BE＝AO：OB＝DO：EO＝：1．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
12．（4分）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中一个红球两个白球，从中任意摸出一个球记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球都是白球的概率为 ．
【分析】根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都是白球的情况个数，即可求出所求的概率大小．
【解答】解：根据题意画出相应的树状图如下：
一共有9种情况，两次摸到白球的有4种情况，
∴两次摸出都是白球的概率是，
故答案为：．
13．（4分）如图，圆锥的底面半径OB＝6，高OC＝8，则圆锥的侧面积等于 60π •
【分析】首先根据底面半径OB＝6，高OC＝8，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【解答】解：∵它的底面半径OB＝6，高OC＝8．
∴BC＝＝10，
∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl＝π×6×10＝60π．
故答案为：60π．
14．（4分）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝ 2 ．
【分析】利用基本作图得到∠AOF＝90°，再根据角平分线的定义得到∠EOF＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先求出OF，再求出OA的长．
【解答】解：由作法得AD⊥ON于F，
∴∠AOF＝90°，
∵OP平分∠MON，
∴∠EOF＝∠MON＝×60°＝30°，
在Rt△OEF中，OF＝EF＝，
在Rt△AOF中，∠AOF＝60°，
∴OA＝2OF＝2．
故答案为2．
15．（4分）如图，二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则m＝ 2 ．
【分析】求得A的坐标，即可求得OA＝m；由于四边形ABOC是正方形，那么△AOB必为等腰直角三角形，即可得到C（m，m），代入y＝﹣x2+m即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+m（m＞0），
∴A（0，m），
∵四边形ABOC是正方形，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴C（m，m），
∵二次函数y＝﹣x2+m（m＞0）的图象经过点C，
∴m＝﹣m2+m，即m2﹣m＝0，
∴m1＝2，m2＝0（舍去）；
故答案为2．
16．（4分）将一个较短直角边AB＝1的直角三角形纸片沿斜边上的高线AD分割成两个小的直角三角形（如图1），将得到的两个直角三角形按图2叠放（A′D′在DC边上），当A′与点D重合时，图3中两个阴影部分的面积相等．
（1）图3中有 3 个等腰三角形．
（2）记两个直角三角形重叠部分的面积为S，则S的取值范围是 ≤S≤ ．
【分析】（1）由题意易得∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD，则有∠BA'D'＝∠C，AD//BD'，然后根据角的等量关系及等腰三角形的判定可进行求解；
（2）由（1）可得：∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD，则有△BAD∽ACD，设AD＝h，则有BD＝，由题意可得当A'与点D重合时，重合面积最大，当点D'与C重合时，重合面积最小，进而分类求解即可得出答案．
【解答】解：（1）当A'与点D重合时，设AC与BD、BD'分别相交于点O、F，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
同理可得∠B＝∠DAC，
∵∠BA'D'＝∠BAD，
∴△COD是等腰三角形，
∵∠ADC＝∠BD'D＝90°，
∴AD//BD
∴∠A＝∠BFA＝∠B＝∠ADO，
∴△AOD和△BOF都为等腰三角形，
∴图3中有3个等腰三角形；
故答案为：3．
（2）由（1）可得：∠B＝∠DAC，∠C＝∠BAD，
∴△BAD∽△ACD，
设AD＝h，则有BD＝，
∴CD＝h•tan∠DAC＝h•tan∠B，
①当A′与点D重合时，作OE⊥CD，如图所示：
∵OD＝OC，
∴DE＝CE，AD∥OE，
∴OE＝AD＝h，
∵阴影部分的面积相等，
∴S△BOF+S四边形DD′FO＝S△D′FC+S四边形DD′FO，
∴S△BOF＝S△D′FC，
∴A′D'•BD′＝AD•h，
∵A′D′＝AD＝h，BD＝BD'＝，
∴，
∴tan∠B＝，
∵AB＝1，
则在Rt△ABD中，，
∴h＝，BD＝h＝，
∴CD′＝CD﹣AD′＝（）h＝（），
∴FD′＝＝＝（），
∴S＝S△A′D′B﹣S△CFD′＝A′D'•BD′﹣CD'•FD′＝（）；
②当点D′与点C重合时，过点O作OM⊥BC于点M，如图所示：
∵∠B＝∠OCB，
∴BM＝CM＝BD′＝，
∴OM＝BM•tan∠B＝，
∴S＝S△A′D′B﹣S△BOC＝A′D'•BD′﹣BD'•OM＝，
由上可知，S的取值范围是≤S≤．
故答案为：≤S≤．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：﹣4cs45°+|﹣2|．
【分析】先化简二次根式，负整数指数幂，绝对值，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣4×+2
＝2﹣2﹣2+2
＝0．
18．（6分）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．
【分析】先移项得到（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3﹣2x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣2．
19．（6分）如图△ABC是直三棱柱立柜横截面，立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形，腰长为1.5m，小刚和小强要将这个立柜搬过宽为1.2m的通道（l1∥l2，l1、l2之间的距离为1.2m），
（1）小刚计算了△ABC中AB边上高为 m，就知道立柜能搬过这个通道．
（2）小强发现，柜子稍作倾斜，只要满足0≤tanα＜m都能通过，求m的值．
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解；
（2）过点B作BE⊥l2于点E，由（1）及题意可得当BE＝1.2m时，tanα即为最大，即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝BC＝1.5m，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝m，
∴CD＝AB＝m，
故答案为．
（2）过点B作BE⊥l2于点E，如图所示：
由（1）可得AB＝m，
∵tanα＝，
∴要满足0≤tanα＜m，则当BE＝1.2m时，tanα的值为最大，
∴在Rt△AEB中，AE＝＝，
∴tanα＝，
∴m的值为．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1＝∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠3＝∠B，
∵∠B＝∠1，
∴∠1＝∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，
∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）设圆O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC＝BCtanB＝4，
根据勾股定理得：AB＝＝4，
∴OA＝4﹣r，
在Rt△ACD中，tan∠1＝tanB＝，
∴CD＝ACtan∠1＝2，
根据勾股定理得：AD2＝AC2+CD2＝16+4＝20，
在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，即（4﹣r）2＝r2+20，
解得：r＝．
21．（8分）已知：如图，平行四边形OABC的边OC在x轴上，∠OAB＝120°，点B为（8，2），抛物线y＝ax2+bx经过点A，B，点P为平行四边形OABC的对称中心．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）平移抛物线，能否使平移后的抛物线同时经过点P，点C？若能，请写出平移方式，并说明理由．
【分析】（1）作BD⊥x轴于D，根据平行四边形的性质以及解直角三角形求得CD＝2，即可得到AB＝OC＝6，从而求得A（2，2），然后根据待定系数法即可求得；
（2）求得平移后的抛物线解析式，根据两个抛物线的顶点即可得到平移的方式．
【解答】解：（1）作BD⊥x轴于D，
∵平行四边形OABC的边OC在x轴上，∠OAB＝120°，
∴∠BCO＝∠OAB＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴＝tan60°＝，
∵B为（8，2），
∴OD＝8，BD＝2，
∴CD＝2，
∴OC＝8﹣2＝6，
∴AB＝OC＝6，
∴A（2，2），
∵抛物线y＝ax2+bx经过点A，B，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x；
（2）∵点B为（8，2），点P为平行四边形OABC的对称中心．
∴P（4，），
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
把P、C的坐标代入得，
解得，
∴平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+，
∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣5）2+，
∴平移方式为：向左平移2个单位，向下平移2个单位．
22．（10分）五一假期，某旅行团32人在秦王宫景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人．
（1）求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？
（2）因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去清明上河图景区游玩．清明上河图景区的门票价格为160元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童．
①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？
②若剩余经费只有1400元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？求所有满足条件的方案．
【分析】（1）设该旅行团中成人有x人，儿童有y人，根据“成人和儿童共32人，且成人比儿童多12人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①利用购买门票的总费用＝门票价格×带队的成人人数+门票价格×50%×（儿童人数﹣带队的成人人数），即可求出结论；
②设由成人m人带队，根据“带队成人人数不少于儿童人数的一半，且购票总费用不超过1400元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各方案．
【解答】解：（1）设该旅行团中成人有x人，儿童有y人，
依题意得：，
解得：．
答：该旅行团中成人有22人，儿童有10人．
（2）①160×8+160×50%×（10﹣8）
＝160×8+160×50%×2
＝1280+160
＝1440（元）．
答：若由成人8人带队，则所需门票的总费用是1440元．
②设由成人m人带队，
依题意得：，
解得：5≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种方案，
方案1：由成人5人带队；
方案2：由成人6人带队；
方案3：由成人7人带队．
23．（10分）已知：如图，Rt△ABC在第一象限内，AB＝2，AC＝4，AB∥x轴，点A的坐标为（a，3），点M（m，n）是Rt△ABC内（含边界）一动点，双曲线y＝（x＞0）经过点M，k的最大值与最小值之差记作p．
（1）当a＝2时，
①k取到最大值时，点M在 BC边上 （填“△ABC内部”或“BC边上”）．
②求p值．
（2）求p与a之间的函数关系式及a的取值范围．
【分析】（1）①先求出BC的函数解析式，然后根据当BC 与相切时，k取到最大值，可以求出切点，从而确定M的位置；
②当过A时，k最小，求出k的最小值，即可求出p；
（2）先求出BC的函数解析式，然后求出BC 与相切时切点的横坐标，根据切点位置分类讨论，当切点在BC的延长线上时，反比例函数过C时，k最大，当切点在BC边上时，k最大，然后求出相应的p的表达式即可．
【解答】解：（1）①当a＝2时，B（4，3），C（2，7），
设直线BC的解析式为：y＝dx+b，
把B（4，3），C（2，7）代入y＝dx+b得：
∴d＝﹣2，b＝11
∴y＝﹣2x+11，
当BC与相切时，k最大，
得：有唯一解；
∴2x2﹣11x+k＝0中Δ＝0，
∴Δ＝（﹣11）2﹣8k＝0
∴，
此时，，
∵，
∴切点在BC边上，
∴点M在BC边上，
故答案为：BC边上；
②当经过点A时，k最小，
∴k＝6，
∴；
（2）设直线BC的解析式为：y＝dx+b，把B（a+2，3），C（a，7）代入y＝kx+b，得
解得：d＝﹣2，b＝7+2a，
∴y＝﹣2x+2a+7，
令，
整理得：2x2﹣（2a+7）x+k＝0，
令Δ＝（2a+7）2﹣8k＝0，
∴
＝，
此时，
当时，
即时，切点在边BC上，
，kmin＝3a，
∴，
当时，即时，
切点在BC延长线上，
此时时，k最大，kmax＝7a，
∴p＝7a﹣3a＝4a，
综上所述．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点G在直线BC上，连接AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于BG于点F．设．
（1）若点G在线段BC上．
①求证：AE＝BF．
②DE：BF能否等于，若能，求出此时k的值，若不能，请说明理由．
（2）连接DF，当△BFG与△DEF相似时，求k的值．
【分析】（1）①根据AAS证明△ADE≌△BAF可得结论．
②能．证明∠BAG＝30°，可得结论．
（2）分三种情形：当点G在线段BC上时，如图2中，当点G在BC的延长线上时，如图3中，当点G在CB的延长线上时，如图4中，分别利用相似三角形的性质或全等三角形的性质构建方程求解即可．
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠DEA＝∠AFB＝90°，
∴∠DAE+∠ADE＝90°，∠DAE+∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF．
②解：能．
理由：∵BF＝AE，＝＝，
∴tan∠DAE＝，
∴∠DAE＝60°，
∴∠BAG＝90°﹣60°＝30°，
∴k＝tan∠BAG＝＝．
（2）解：当点G在线段BC上时，如图2中，
当△BFG∽△DEF时，只有∠BGF＝∠DFE，
∵∠BGF＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠DFE，
∵DE⊥AF，DE＝DE，
∴∠DEA＝∠DEF＝90°
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AE＝EF，
∴k＝＝＝＝．
当点G在BC的延长线上时，如图3中，
由△BFG∽△DEF时，只有∠BGF＝∠FDE，
∴△BFG∽△DEA∽△FED，
∴＝＝tan∠DAE＝tan∠AGB＝＝，
设EF＝x，DE＝kx，则AE＝k2x，
∵AE＝AF+EF，
∴k2x＝x+kx，
解得k＝或（负根舍弃）．
当点G在CB的延长线上时，如图4中，
当△BFG∽△DEF时，只有∠BGF＝∠DFE，
∵BF⊥AG，DE⊥AG，AB＝AD，∠FBA＝∠EAD，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∴＝tan∠BAF＝tan∠ADE，
∵△AED∽△DEF，
∴＝＝tan∠ADE＝k，
设DE＝x．则AE＝kx，EF＝，
∵EF＝AF+AE，
∴＝kx+x，
解得k＝或（（负根舍弃），
综上所述，满足条件的k的值为或或．
成绩（分）
75
80
85
90
95
100
人数
1
2
4
3
3
2
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80
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90
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人数
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2
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3
3
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