数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数练习

4.4　对数函数

4.4.1　对数函数的概念

基础过关练

题组一　对数函数的概念及其应用

1.给出下列函数:

①y=x2;②y=log3(x-1);③y=log(x+1)x;④y=logπx.

其中是对数函数的有 (　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.已知函数f(x)=loga(x+2),若其图象过点(6,3),则f(2)的值为 (　　)

A.-2 B.2 C. D.-

3.(2020山东济南历城二中高一上期末)若函数f(x)=则f(f(10))= (　　)

A.lg 101 B.2 C.1 D.0

4.(多选)(2021河北石家庄正定一中高一上期中)若f(x)满足对定义域内任意的x1,x2,都有f(x1)+f(x2)=f(x1·x2),且当0<x<1时, f(x)>0,则称f(x)为“好函数”,则下列函数不是“好函数”的是              (　　)

A. f(x)=2x B. f(x)=

C. f(x)=x D. f(x)=log2x

5.已知函数f(x)=且f(a)=3,则f(6-a)=　　　　. 

6.已知对数函数y=f(x)的图象过点(4,2),求f 及f(2lg 2).

题组二　与对数函数有关的定义域问题

7.(2020山东济南高一上期末)函数y=lg(x2-2x-3)的定义域为 (　　)

A.(-1,3) B.(-3,1)

C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

8.(2021河北张家口一中高一上期中)函数y=log(2x-1)的定义域是 (　　)

A.∪(1,+∞) B.∪(1,+∞)

C. D.

9.求下列函数的定义域:

(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,且a≠1);

(2)y=log2(16-4x).

10.已知函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围.

11.(2020山东菏泽高一上期末)设全集U=R,函数f(x)=+lg(a+3-x)的定义域为集合A,集合B=.命题p:若　　　,则A∩B≠⌀. 

从①a=-5,②a=-3,③a=2这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中,使命题p为真命题,说明理由,并求A∩(∁UB).             

答案全解全析

基础过关练

1.A　①②中,因为对数的真数不是只含有自变量x,所以不是对数函数;③中,因为对数的底数不是常数,所以不是对数函数;④是对数函数.

2.B　将点(6,3)代入f(x)=loga(x+2)中,得3=loga(6+2)=loga8,即a3=8,∴a=2,

∴f(x)=log2(x+2),∴f(2)=log2(2+2)=2.

3.B　因为10>1,所以f(10)=lg 10=1,所以f(f(10))=f(1)=12+1=2,故选B.

4.AB　对于A,对定义域R内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=+, f(x1·x2)=,

f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),故A中的函数不是“好函数”;对于B,对定义域R内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=+, f(x1·x2)=, f(x1)+f(x2)≠f(x1·x2),故B中函数不是“好函数”;对于C,对于定义域{x|x>0}内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=x1+x2=(x1x2)=f(x1·x2),故C中函数是“好函数”;对于D,对于定义域{x|x>0}内任意的x1,x2, f(x1)+f(x2)=log2x1+log2x2=log2(x1x2)=f(x1·x2),故D中函数是“好函数”.故选AB.

5.答案　-

解析　当x≤1时, f(x)=2x-1-2≤21-1-2=-1,故a>1,则f(a)=log2(a+1)=3,

∴a+1=8,得a=7,∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-,故答案为-.

6.解析　设f(x)=logax(a>0,且a≠1),将(4,2)代入,得2=loga4,解得a=2.

所以f(x)=log2x.

因此f=log2=-1,

f(2lg 2)=log22lg 2=lg 2.

7.D　依题意得,x2-2x-3>0,即(x-3)(x+1)>0,解得x>3或x<-1.

故选D.

8.A　要使函数y=log(2x-1)有意义,

必须满足∴

因此<x<1或x>1.

∴函数的定义域为∪(1,+∞),故选A.

9.解析　(1)由题意得解得-3<x<3.

∴函数的定义域是{x|-3<x<3}.

(2)由16-4x>0,得4x<16=42.

由指数函数的单调性得x<2.

∴函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}.

10.解析　因为y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,

所以x2+2x+a>0恒成立,

所以Δ=4-4a<0,

所以a>1.

故实数a的取值范围是(1,+∞).

11.解析　要使函数f(x)有意义,

只需解得a≤x<a+3,

即A=[a,a+3).

由≤2x≤32,

得-2≤x≤5,即B=[-2,5].

选择第②个条件:

当a=-3时,A=[-3,0),

∴A∩B=[-2,0),满足条件.

∵∁UB=(-∞,-2)∪(5,+∞),

∴A∩(∁UB)=[-3,-2).

选择第③个条件:

当a=2时,A=[2,5),

∴A∩B=[2,5),满足条件.

∵∁UB=(-∞,-2)∪(5,+∞),

∴A∩(∁UB)=⌀.

易错警示　求定义域问题的关键是列不等式(组),列不等式(组)的依据:一是分式的分母不为零;二是偶次方根的被开方数非负;三是对数的真数为正.解题时防止因错列、漏列不等式而导致解题错误.先选条件填空再解题类问题,要注意所选条件需满足题意,如本题中A∩B≠⌀,防止选错条件导致无效解题.