2020-2021学年4.4 对数函数习题

这是一份2020-2021学年4.4 对数函数习题，共16页。试卷主要包含了函数f=lg的大致图象是，函数f=1-lnx的定义域是，若lg0等内容，欢迎下载使用。

4.4.2　对数函数的图象和性质
基础过关练
题组一　对数(型)函数的图象
1.(2020山西康杰中学高一上期中)为了得到函数f(x)=log2x的图象,只需将函数g(x)=log2x8的图象 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
2.在同一平面直角坐标系中,y=2x与y=log2(-x)的图象可能是 (　　)

3.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是 (　　)

题组二　对数函数的性质及其应用
4.(2020天津红桥高一上期末)函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 (　　)
A.(2,2) B.(2,3)
C.(1,0) D.(2,1)
5.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f(x)=1-lnx的定义域是 (　　)
A.(0,e) B.(0,e]
C.[e,+∞) D.(e,+∞)
6.已知a=log23-1,12b=5,c=log32,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c C.a 7.(2020北京平谷高一上期末)已知a,b∈R,那么“3a<3b”是“log13a>log13b”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间是　　　　. 
9.(2020湖南醴陵一中高一上期中)若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是　　　　. 
10.函数f(x)=loga(x+x2+2a2)是奇函数,则a=　　　　. 
11.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0



12.设函数f(x)=loga1-ax,其中0 (1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数;
(2)若f(x)>1,求x的取值范围.





13.已知函数f(x)=log21-x1+x.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)证明:函数f(x)在定义域上单调递减.









题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题
14.(2020广东东莞高一上期末)下列函数中,与函数f(x)=x+1(x∈R)的值域不相同的是(　　)
A.y=x(x∈R) B.y=x3(x∈R) C.y=ln x(x>0) D.y=ex(x∈R)
15.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为 (　　)
A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.R D.[2,+∞)
16.(2020北京通州高一上期末)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在[1,4]上的最大值与最小值的和是2,则a的值为　　　　. 
17.(2020天津河东高一上期末)已知x满足3≤3x≤9.
(1)求x的取值范围;
(2)求函数y=(log2x-1)(log2x+3)的值域.





18.已知函数f(x)=log2x.
(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;
(2)求y=log2(2x-1)在[2,14]上的最值.





题组四　反函数
19.(2020北京西城高一上阶段测试)函数y=1ax与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是 (　　)
A.ab=1 B.a+b=1 C.a=b D.a-b=1
20.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(a,a),则a的值为 (　　)
A.2 B.12 C.2或12 D.3
21.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f12的值为　　　　. 
能力提升练
题组一　对数函数的图象
1.(2020北京石景山高一上期末,)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是 (　　)
　　　 　　　　　 　　　　　
2.(2020河北承德高一上期末,)已知函数f(x)=ax-1+logbx-1(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则f(x)的图象过定点 (　　)
A.(0,1) B.(1,1) C.(1,0) D.(0,0)
3.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x||x|的图象是 (　　)

题组二　对数函数单调性的应用
4.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0,a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1) D.(-3,-1]
5.(2020福建厦门外国语学校高一上期中,)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为 (　　)
A.(0,+∞) B.0,12 C.(1,2) D.(-∞,0)
6.(多选)()若a>b>0,0 A.logcacb C.ac>bc D.logc(a+b)>0
7.(2020山东青岛二中高一上期末,)已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(1,1),对任意x1-1,则不等式f[log2(2x-1)]<2-log2(2x-1)的解集为 (　　)
A.(0,+∞) B.(log23,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,log23) D.(0,log23)
8.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知函数f(x)=|lg x|+2,若实数a,b满足b>a>0,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是　　　　. 
9.()已知函数f(x)=logax+m,00,a≠1)在定义域内单调递减,若|f(2m)|>f(a),求实数m的取值范围.





10.(2020安徽淮北第一中学高一月考,)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域;
(2)当a>1时,求关于x的不等式f(x) (3)当a=2时,若不等式f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.







题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题
11.(2020山东泰安高一上期末,)若函数f(x)=2x+2,x≤1,log2(x-1),x>1在(-∞,a]上的最大值为4,则a的取值范围为 (　　)
A.[0,17] B.(-∞,17] C.[1,17] D.[1,+∞)
12.()若函数f(x)=log2kx2+(2k-1)x+14的值域为R,则实数k的取值范围为　　　　. 
13.(2020河南周口高一上期末调研,)若函数f(x)=(2-a)x+2a,x<1,1+lnx,x≥1的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　. 
14.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)已知函数f(x)=13x,函数g(x)=log3x.
(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在实数m,n,使得函数y=2x+log3 f(x2)的定义域为[m,n],值域为[4m,4n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.




题组四　对数函数的综合运用
15.()已知函数f(x)=ln(x+x2+1)+1,若实数a满足f(-a)=2,则f(a)等于 (　　)
A.1 B.0 C.-1 D.-2
16.(2020山东济南高一上期末,)已知函数f(x)=log32-x2+x,若f(a)+f(a-1)>0,则实数a的取值范围是 (　　)
A.-∞,12 B.-1,12 C.(-2,2) D.(-1,2)
17.(多选)(2020山东泰安高一上期末,) 若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
(i)对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
(ii)f(1)=1;
(iii)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),
就称f(x)为“A函数”.下列定义在[0,1]上的函数中,是“A函数”的有 (　　)
A.f(x)=log12(x+1) B.f(x)=log2(x+1) C.f(x)=x D.f(x)=2x-1
18.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为lnmα-m2,lnmβ-m2,求实数m的取值范围.





答案全解全析
基础过关练
1.A　g(x)=log2x8=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x) =log2x8的图象向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2x的图象,故选A.
2.B　因为y=2x的图象为过点(0,1)的递增的指数函数图象,故排除选项C,D;
y=log2(-x)的图象为过点(-1,0)的递减的对数型函数图象,故排除选项A,故选B.
解题模板　函数图象的辨识可从以下方面入手:根据函数的定义域,判断图象的左右位置,根据函数的值域,判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点,排除不符合要求的图象.
3.B　解法一:由题可知,当x>0时, f(x)=lg(x-1),其图象可由函数y=lg x的图象向右平移1个单位得到;当x<0时, f(x)=lg(-x-1)=lg[-(x+1)],其图象可由函数y=lg x的图象先关于y轴做翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B正确.故选B.
解法二:易知f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),又f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此C,D错误.
当x>0时, f(x)=lg(x-1),是(1,+∞)上的增函数,故选B.
4.A　由对数函数的性质可知,当x=2时, f(2)=2,故函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,2).故选A.
5.B　要使函数f(x)=1-lnx有意义,需满足1-lnx≥0,x>0,
解得0 因此函数的定义域为(0,e],故选B.
6.B　由12b=5,得b=log125=-log25,又a=log23-1=-log23,
所以-log25<-log23<0 7.B　由3a<3b⇒alog13b”;由log13a>log13b⇒0log13b”的必要不充分条件.故选B.
8.答案　(-∞,-1)
解析　由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,
因此函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),记为D.
设u=x2-2x-3,则y=log12u,易知y=log12u是定义域内的减函数,
又u=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1]∩D=(-∞,-1).
9.答案　(1,2)
解析　∵y=log0.5x是定义域内的减函数,
∴log0.5(m-1)>log0.5(3-m)⇔m-1>0,3-m>0,m-1<3-m,即m>1,m<3,m<2,
∴1 10.答案　22
解析　∵函数f(x)的定义域为R,且为奇函数,∴f(0)=0,即loga2a2=0,
∴2a2=1,又a>0,∴a=22.
经验证,当a=22时, f(x)为奇函数.
11.解析　不等式0 即0 由2-2x>0,x+1>0得-1 由0 因为x+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,解得-23 由-1 12.解析　(1)证明:任取x1,x2∈(a,+∞),不妨令0 又∵0f(x2),
∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.
(2)∵loga1-ax>1,且0 ∴0<1-ax ∵00,从而a ∴x的取值范围是a,a1-a.
13.解析　(1)要使函数f(x)=log21-x1+x有意义,需满足1-x1+x>0,
解得-1 (2)函数f(x)为奇函数.
证明:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),
都有f(-x)=log21+x1-x=-log21-x1+x=-f(x),
则函数f(x)为奇函数.
(3)证明:由(1)可知, f(x)的定义域为(-1,1),
任取x1,x2∈(-1,1),不妨设-1 则f(x1)-f(x2)=log21-x11+x1-log21-x21+x2
=log21-x11+x1×1+x21-x2
=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2,
又x10,
则有1+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2>1,
故f(x1)-f(x2)=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2>log21=0,
故函数f(x)在定义域上单调递减.
14.D　易知f(x)的值域为R.A,B,C选项中各函数的值域均为R,不符合题意;选项D中函数的值域为(0,+∞),与f(x)的值域不同,故选D.
15.B　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
∴f(x)=log2(x2-2x+3)≥log22=1,
因此,函数f(x)的值域是[1,+∞),
故选B.
16.答案　2
解析　①当a>1时, f(x)=logax在(0,+∞)上为增函数,
所以f(x)=logax在[1,4]上的最大值为loga4,最小值为loga1;
②当0 所以f(x)=logax在[1,4]上的最大值为loga1,最小值为loga4.
故有loga1+loga4=2,即loga4=2,
所以a=2,故答案为2.
17. 解析　 (1) ∵3≤3x≤9,
∴312≤3x≤32,
由于指数函数y=3x在R上单调递增,
∴12≤x≤2.
因此,x的取值范围是12,2.
(2)由(1)得12≤x≤2,∴-1≤log2x≤1.
令t=log2x,则y=(t-1)(t+3)=t2+2t-3,其中t∈[-1,1].
∵函数y=t2+2t-3的图象开口向上,且对称轴为直线t=-1,
∴函数y=t2+2t-3在t∈[-1,1]上单调递增,
∴当t=1时,y取得最大值,为0;当t=-1时,y取得最小值,为-4.
∴函数y=(log2x-1)(log2x+3)的值域为[-4,0].
18.解析　(1)∵f(x)=log2x为增函数,f(a)>f(2),
∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).
(2)∵2≤x≤14,
∴3≤2x-1≤27,
∴log23≤log2(2x-1)≤log227.
∴函数f(x)=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.
19.A　由函数y=1ax与y=logbx互为反函数得1a=b,化简得ab=1,故选A.
20.B　解法一:函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=logax(a>0,且a≠1),
故y=logax的图象过点(a,a),则a=logaa=12.
解法二:∵函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(a,a),∴函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(a,a),∴aa=a=a12,即a=12.
21.答案　-log32
解析　易得y=f(x)=log3x,
∴f12=log312=-log32.

能力提升练
1.D　选项A中两条曲线都不是函数y=xa(x≥0)的图象;选项B中,y=xa(x≥0)中a>1,y=logax(x>0)中00)中a>1,不符合;选项D中,y=xa(x≥0)中00)中0 2.C　当x=1时, f(x)=f(1)=a0+logb1-1=1+0-1=0,
∴f(x)的图象过定点(1,0).故选C.
解题模板　解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a0=1,logb1=0,由此确定定点.
3.B　当x>0时,y=xln|x||x|=ln x,排除C,D;
当x<0时,y=xln|x||x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.
4.D　由f(0)<0得loga3<0,因此0 由-x2-2x+3>0得x2+2x-3<0,
解得-3 因此函数f(x)的定义域为(-3,1).
设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,当x∈[-1,1)时,u=-x2-2x+3单调递减,而0 ∴f(x)的单调递减区间为(-3,-1],故选D.
5.B　设y=log3u,u=1-ax.
由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,∴-a<0,即a>0.
由1-ax>0得ax<1,又a>0,∴x<1a,
即f(x)的定义域为-∞,1a,
∴(-∞,2]⊆-∞,1a⇒2<1a,结合a>0,得0 因此a的取值范围是0,12,故选B.
易错警示　求含对数函数的复合函数的单调性时,既要考虑到内、外两层函数的单调性,还要考虑到函数的定义域,即单调区间是函数定义域的子集,要防止因忽略定义域导致解题错误.
6.AC　选项A中,因为0b>0得logca 选项B中,因为0b>0,得ca 选项C中,因为a>b>0,01,所以ac>bc,故C正确;
选项D中,取c=12,a+b=2,则logc(a+b)=log122=-1<0,故D错误.故选AC.
7.D　由对任意x1-1,
可得[f(x1)+x1]-[f(x2)+x2]x1-x2>0,
令R(x)=f(x)+x,
则函数R(x)=f(x)+x在R上是增函数.
不等式f [log2(2x-1)]<2-log2(2x-1),
即f [log2(2x-1)]+log2(2x-1)<2=f(1)+1,
即log2(2x-1)<1,所以0<2x-1<2,
即0 故选D.
解题模板　解决含有未知函数的不等式,往往要构造函数,运用单调性解题,构造函数时要充分考虑题中的条件f(x1)-f(x2)x1-x2>-1,平时要积累构造函数的经验.
8.答案　(3,+∞)
解析　f(x)的图象如图所示,

因为f(a)=f(b),所以结合图象可得0 设g(a)=a+2a(0 因为g(a)在(0,1)上为减函数,所以g(a)>g(1)=3,即a+2a>3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞).
9.解析　由函数f(x)在定义域内单调递减,
可知0 由m≥1得2m≥2,故f(2m)=-2m+2,
由0 ∴|f(2m)|>f(a)⇔|-2m+2|>m+1,又m≥1,
∴2m-2>m+1,解得m>3,
故m的取值范围是(3,+∞).
10.解析　(1)当a=12时, f(x)=log1212x-1,故12x-1>0,解得x<0,
故函数f(x)的定义域为(-∞,0).
(2)由题意知, f(x)=loga(ax-1)(a>1),其定义域为(0,+∞),易知f(x)为(0,+∞)上的增函数,
由f(x)0,x<1,∴不等式的解集为(0,1).
(3)设g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log22x-12x+1,x∈[1,3],
设t=2x-12x+1=1-22x+1,易知t=1-22x+1为增函数,又y=log2t为定义域内的增函数,所以g(x)在[1,3]上单调递增,故g(x)min=g(1)=log213.
∵f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,
∴m 即m∈-∞,log213.
11.C　易知f1(x)=2x+2在(-∞,1]上单调递增, f2(x)=log2(x-1)在(1,+∞)上单调递增.作出f(x)的大致图象,如图所示.

由图可知, f(1)=4, f(17)=4,所以a的取值范围为[1,17].
12.答案　0,14∪[1,+∞)
解析　设u=kx2+(2k-1)x+14的值域为A,y=log2u的定义域为B,则B=(0,+∞).
当k=0时,u=-x+14,A=R,则A∩B=(0,+∞),函数f(x)的值域为R,符合题意;
当k≠0时,依题意得k>0,B⊆A,因此(2k-1)2-4×k×14≥0,解得k≤14或k≥1,
此时k的取值范围是0,14∪[1,+∞).
综上所述,实数k的取值范围为0,14∪[1,+∞).
13.答案　[-1,2)
解析　当x≥1时,ln x≥0,从而1+ln x≥1.
设x<1时,y=(2-a)x+2a的值域为B,则(-∞,1)⊆B.
因此2-a>0,(2-a)×1+2a≥1,解得-1≤a<2.
故a的取值范围是[-1,2).
14.解析　(1)由题意知mx2+2x+m>0对任意实数x恒成立,
当m=0时显然不满足,
∴m>0,Δ=22-4m2<0,∴m>1.
∴实数m的取值范围为(1,+∞).
(2)当x∈[-1,1]时, f(x)∈13,3.
令f(x)=tt∈13,3,
则y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,
∴h(a)=28-6a9,a<13,3-a2,13≤a≤3,12-6a,a>3.
(3)存在.
∵y=2x+log3 f(x2)=2x+log313x2=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴4n≤1,
∴n≤14,
∴函数在[m,n]上单调递增,
∴2m-m2=4m,2n-n2=4n.
又∵m 15.B　设g(x)=ln(x+x2+1),易知其定义域为R,且g(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
因为f(-a)=g(-a)+1=2,所以g(-a)=1,从而g(a)=-1,
所以f(a)=g(a)+1=-1+1=0,故选B.
16.B　由题可知f(x)=log32-x2+x的定义域满足2-x2+x>0⇒(x-2)(2+x)<0,解得-2 又f(x)+f(-x)=log32-x2+x·2+x2-x=log31=0,故f(x)为奇函数.
又f(x)=log32-x2+x=log3-1+42+x,且y=-1+42+x在(-2,2)上为减函数,故f(x)为减函数.
f(a)+f(a-1)>0,即f(a)>-f(a-1)=f(1-a),
所以-2 所以a∈-1,12.故选B.
17.CD　选项A中, f(1)=log12(1+1)=-1,故f(x)=log12(x+1)不是“A函数”.选项B中,若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1)+f(x2)=log2(x1+1)+log2(x2+1)=log2(x1x2+x1+x2+1)≥log2(x1+x2+1)=f(x1+x2),不满足(iii),故f(x)=log2(x+1)不是“A函数”.选项C中,f(x)显然满足(i)(ii),又f(x1+x2)=x1+x2=f(x1)+f(x2),所以f(x)=x是“A函数”.选项D中, f(x)显然满足(i)(ii),因为f(x1+x2)=2x1+x2-1, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2-2,所以f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1),又x1,x2∈[0,1],所以2x1-1≥0,2x2-1≥0,从而f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),因此, f(x)=2x-1是“A函数”.故选CD.
18.解析　(1)因为函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
即lnkx-1x+1+ln-kx-1-x+1=ln(kx-1)(-kx-1)(x+1)(-x+1)=ln1-k2x21-x2=0对定义域内任意x恒成立,所以k2=1,即k=±1,
显然k≠-1,所以k=1.
经验证,k=1符合题意.
(2)f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上均为增函数.
证明:由(1)知f(x)=lnx-1x+1,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1 f(x1)-f(x2)=lnx1-1x1+1-lnx2-1x2+1=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1),
因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,且(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)·(x2+1)>0,
所以0<(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<1,
所以f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<0,
即f(x1) 同理, f(x)在(-∞,-1)上为增函数.
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数,
又因为函数f(x)在[α,β]上的值域为lnmα-m2,lnmβ-m2,
所以m>0,且lnα-1α+1=lnmα-m2,lnβ-1β+1=lnmβ-m2,
所以α-1α+1=mα-m2,β-1β+1=mβ-m2,
即α,β是方程x-1x+1=mx-m2的两个不等实根,
问题等价于方程mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,
令h(x)=mx2-1-m2x+1-m2,x∈(1,+∞),易知h(x)为二次函数,其图象的对称轴为直线x=12m-14,
则m>0,12m-14>1,Δ=-1-m22-4m1-m2>0,ℎ(1)=m>0,
即m>0,02或m<29,解得0