人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课时练习

5.2.2　同角三角函数的基本关系

基础过关练

题组一　利用同角三角函数的基本关系求值

1.(2020福建南平高一下期末)已知α为第二象限角,且sin α=,则tan α= (　　)

A. B.- C.- D.

2.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.- B.- C. D.

3.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为 (　　)

A. B.- C. D.-

4.(2020辽宁省实验中学高一下期中)已知cos θ=,且θ为第四象限的角,则tan θ=　　　　. 

5.已知sin α+cos α=,则sin αcos α=　　　　. 

6.已知cos α=-,且tan α>0,则=　　　　. 

题组二　利用同角三角函数的基本关系化简或证明　　　　　　 　　　　　 　　　　　

7.(2020山西长治二中高一下期末)已知sin α+cos α=,则tan α+的值为 (　　)

A.-1 B.-2 C.  D.2　　　　　　 　　　　　 　　　　　

8.化简:= (　　)

A.tan  B.- C.1   D.-1

9.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 (　　)

A.   B.  C.1   D.

10.求证:=.

题组三　正、余弦齐次式的求值问题

11.(2021黑龙江哈尔滨六中高一上月考)已知tan α=-,则的值为 (　　)

A.-3 B.- C.- D.

12.(2020辽宁葫芦岛高一下期末)若=-,则tan α的值为 (　　)

A. B.- C. D.-

13.(2020广东湛江高一下期末)已知tan α=3,则sin2α-cos2α=　　　　. 

14.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=　　　　. 

15.已知tan α=,求下列各式的值:

(1)+;

(2);

(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α.

16.已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1,α∈-,-π.求:

(1)tan α;

(2).

能力提升练

题组一　利用同角三角函数的基本关系求值

1.(2021四川成都树德中学高一上段测,)α是第四象限角,tan α=-,则sin α= (　　)

A. B.- C. D.-

2.(2020河北石家庄二中高一上期末,)设tan 160°=k,则sin 160°= (　　)

A. B. C. D.

3.()已知0<α<,ln(1+cos α)=s,ln =t,则ln(sin α)= (　　)

A.s-t B.s+t

C.(s-t) D.(s+t)

4.(2021江苏扬中高级中学等八校高一上联考,)已知sin α+cos α=-.

(1)求sin αcos α的值;

(2)若<α<π,求-的值.

题组二　利用同角三角函数的基本关系化简或证明

5.(2020山东临沂外国语学校高一上期末,)若θ为第四象限角,则-可化简为(　　)

A.2tan θ B.- C.-2tan θ D.

6. (2020河南商丘一中高一下期末,)关于x的方程2x2+(+1)x+m=0的两个根为sin θ和

cos θ,则+=　　　　. 

7.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)求证:

(1)=;

(2)-2sin α+cos2αsin α=.

题组三　正、余弦齐次式的求值问题

8.()设tan α=3,则2sin2α-sin αcos α+1的值为 (　　)

A. B. C.2 D.-1

9.(2020天津一中高一上期末,)已知=5,则sin2α-sin αcos α的值是 (　　)

A. B.- C.-2 D.2

10.(2021江苏淮安六校联盟高一上第三次学情调查,)(1)若sin α=2cos α,求+cos2α的值;

(2)已知sin α+cos α=,α∈(0,π),求sin α-cos α的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由sin α=,可得cos α=±,

又α为第二象限角,所以cos α=-.

所以tan α==-.故选C.

2.B　∵sin α=,

∴cos2α=1-sin2α=1-=,

∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=-=-.

3.A　由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=.

∵θ是第三象限角,

∴sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=.

4.答案　-

解析　因为cos θ=,且θ为第四象限的角,

所以sin θ=-=-=-,

所以tan θ===-.

5.答案　-

解析　∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,

即1+2sin αcos α=,∴sin αcos α=-.

6.答案　-

解析　由cos α=-<0,tan α>0,知α是第三象限角,所以sin α=-,

故==-.

7.D　∵sin α+cos α=,

∴(sin α+cos α)2=2,∴sin αcos α=,

∴tan α+=+==2.

8.D　原式===-1.

9.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.

10.证明　证法一:

左边=

=

=

=

===右边,

∴原等式成立.

证法二:∵右边==,

左边==

=

=,

∴左边=右边,故原等式成立.

11.A　因为tan α=-,

所以===-3.

故选A.

12.D　因为==-,所以tan α=-.故选D.

13.答案　

解析　因为tan α=3,

所以sin2α-cos2α==

===.故答案为.

14.答案　10

解析　根据角α的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义,可以求得tan α=,所以====10.

15.解析　(1)+

=+,将tan α=代入,得原式=+=.

(2)==,将tan α=代入,得原式=.

(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α

=

=,将tan α=代入,得原式==.

16.解析　(1)2cos2α+3cos αsin α-3sin2α

=

==1,

即4tan2α-3tan α-1=0,

解得tan α=-或tan α=1.

∵α∈-,-π,

∴α为第二象限角,

∴tan α<0,∴tan α=-.

(2)∵tan α=-,

∴原式==

==.

能力提升练

1.D　∵cos2α===,且α是第四象限角,∴cos α=,

∴sin α=tan αcos α=-,故选D.

2.B　∵tan 160°==k,

∴sin 160°=kcos 160°.

又∵sin2160°+cos2160°=1,

∴(kcos 160°)2+cos2160°=1,

∴cos2160°=.

又160°角是第二象限角,∴cos 160°<0,

∴cos 160°=-,

∴sin 160°=kcos 160°=-.

故选B.

3.C　依题意得s-t=ln(1+cos α)+ln(1-cos α)=ln(1-cos2α)=ln(sin2α),

∵0<α<,∴sin α>0,

∴s-t=2ln(sin α),即ln(sin α)=(s-t),故选C.

4.解析　(1)由已知得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,

∴sin αcos α=-.

(2)-=,

∵(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,

又∵α∈,

∴cos α<0,sin α>0,

∴cos α-sin α<0,

∴cos α-sin α=-,

∴原式==.

5.D　∵θ为第四象限角,

∴sin θ<0,

∴-

=-

=-

=-

=

=

===.

故选D.

6.答案　-

解析　因为关于x的方程2x2+(+1)x+m=0的两个根为sin θ和cos θ,

所以sin θ+cos θ=-,

因此,+=+==sin θ+cos θ=-.

故答案为-.

7.证明　(1)左边==

===右边,

∴原等式成立.

(2)左边=(sin α-2sin αcos2α+cos4αsin α)

=(1-2cos2α+cos4α)

=

=

==右边,

∴原等式成立.

8.B　因为tan α=3,

所以2sin2α-sin αcos α+1

=

===.故选B.

9.A　由=5知=5,

∴tan α=2.

∴sin2α-sin αcos α=

=,

把tan α=2代入,得原式=.故选A.

10.解析　(1)由sin α=2cos α,

得tan α=2,

所以+cos2α=+=+=.

(2)sin α+cos α=,

两边平方,可得1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-,

因为α∈(0,π),

所以sin α>0,cos α<0,

所以sin α-cos α===.