数学人教A版 (2019)5.3 诱导公式精练

5.3　诱导公式

基础过关练　　　　　　 　　　　　 　　　　　

题组一　利用诱导公式解决给角求值问题

1.(2020辽宁阜新二中高一下期末)sin 的值为 (　　)

A.- B. C. D.-

2.若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是 (　　)

A.4 B.±4 C.-4 D.

3.(2020天津滨海新区高一上期末)tan 225°的值为　　　　. 

4.(2020山东潍坊一中高一下期中)已知函数f(x)=cos,x∈R,则f 的值为　　　　. 

5.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”连接). 

6.计算下列各式的值:

(1)cos+cos +cos+cos;

(2)sin 240°cos 330°+sin(-690°)cos(-660°).

题组二　利用诱导公式解决给值求值问题

7.(2020北京人大附中高一下阶段检测)已知sin α=,则cos= (　　)

A.- B. C.- D.

8.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于 (　　)

A.a  B.-a C.a2 D.

9.已知cosα+=-,则sin的值为 (　　)

A. B.- C. D.-

10.(2020浙江丽水高一下期末)已知cos θ=-(π<θ<2π),

则sin θ=　　　,tan(π-θ)=　　　. 

题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题

11.在△ABC中,cos(A+B)的值等于 (　　)

A.cos C B.-cos C C.sin C D.-sin C

12.(2020北京丰台高一上期末)= (　　)

A.tan α B.-tan α C.1  D.-1

13.(2020辽宁葫芦岛高一下期末)化简:=　　　　. 

14.化简:(1);

(2).

15.(2020北师大附中高一上期末)化简:+.

能力提升练

题组一　利用诱导公式解决给角求值问题

1.(2020安徽安庆一中高一上期末,)若点P(x,y)是330°角终边上异于原点的任意一点,则的值是              (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.-      C.-     D.

2.(2020河南信阳高一下期末,)估计cos 2 020°的大小属于区间 (　　)

A. B.   C. D.

3.(2020北京人大附中高一月考,)计算:

.

题组二　利用诱导公式解决给值求值问题

4.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,) 已知sin=,则sin= (　　)

A. B.- C.- D.

5.(2021黑龙江双鸭山一中高一上第二次月考,)已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°,则sin(37°+α)的值为              (　　)

A.      B.±       C.     D.-

6.()已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos= (　　)

A.- B.- C. D.

7.(2020河南郑州高一下期末,)已知sin=-,则sin2-sin的值为　　　. 

8.(2020山东临沂外国语学校高一上期末,)已知=.

(1)求tan α的值;

(2)求sin(π-α)sin的值.

题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题

9.(2020辽宁阜新二中高一下期末,)化简 的结果为 (　　)

A.-1 B.1 C. D.-

10.(多选)()下列与cos的值相等的是 (　　)

A.sin(π-θ) B.sin(π+θ)   C.cos D.cos

11.(多选)()下列化简正确的是 (　　)

A.=cos α

B.=tan α

C.=1

D.若θ∈,则=sin θ-cos θ

12.()求证:=.

13.(2020安徽合肥高一上期末,)已知f(α)=,其中α是第三象限角,且cos=,求f(α).

14.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)已知函数f(x)=+.

(1)化简f(x);

(2)若f(α)=,求sin αcos α的值.

15.(2020安徽安庆高一上期末,)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,-4).

(1)求sin α-cos α的值;

(2)求的值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　 sin =sin=-sin =-,故选A.

2.C　由题意,得tan 600°=,

则a=-4tan 600°=-4tan(3×180°+60°)

=-4tan 60°=-4,故选C.

3.答案　1

解析　tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°=1.

4.答案　1

解析　因为函数f(x)=cos,x∈R,

所以f=cos

=cos=cos =1,故答案为1.

5.答案　b>a>c

解析　∵a=-tan =-tan

=-tan =-,

b=cos=cos=,

c=-sin=-sin=-sin

=-,∴b>a>c.

6.解析　(1)原式=cos+cos +cosπ-+cosπ-=cos+cos-cos-cos=0.

(2)原式=sin(180°+60°)cos(360°-30°)+sin(-2×360°+30°)cos(-2×360°+60°)

=-sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°

=-×+×=-.

7.A　cos=-sin α=-.故选A.

8.A　cos 64.7°=cos(90°-25.3°)=sin 25.3°=a.

9.A　∵cos=-,

∴sin=sin

=-cos=,故选A.

10.答案　-;-

解析　因为cos θ=-(π<θ<2π),所以π<θ<,

因此sin θ<0,所以sin θ=-=-.

tan(π-θ)=-tan θ=-=-.

故答案为-;-.

11.B　由于A+B+C=π,所以A+B=π-C.

所以cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C.

故选B.

12.C　==1.故选C.

13.答案　cos α

解析　原式==cos α.故答案为cos α.

14.解析　(1)

===-cos2α.

(2)

==-cos α.

15.解析　原式=+=-sin α+sin α=0.

能力提升练

1.C　依题意得=tan 330°,又tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=-,∴ =-,故选C.

2.B　cos 2 020°=cos(5×360°+220°)=cos 220°=cos(180°+40°)=-cos 40°,

由于30°<40°<45°,

在坐标系中作出单位圆和30°、40°、45°角的终边(图略),由终边与单位圆交点的横坐标知<cos 40°<,

所以-<-cos 40°<-,

即-<cos 2 020°<-,

故选B.

3.解析　由诱导公式可得tan 150°=tan(180°-30°)=-tan 30°=-,

cos(-210°)=cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-,

sin(-420°)=-sin 420°=-sin(360°+60°)=-sin 60°=-,

sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-,

cos(-600°)=cos 600°=cos(3×180°+60°)=-cos 60°=-,

∴原式===-.

4.D　∵sin=,∴sin=sin=sin=.

解题模板　形如“已知θ+α的三角函数值,求±θ+β的三角函数值”的给值求值问题的关键是找到θ+α与±θ+β的数量关系,根据两者之间的数量关系选取公式,从而达到求值的目的,如本题中+=π.

5.D　因为-270°<α<-90°,

所以143°<53°-α<323°,

又sin(53°-α)=>0,

所以143°<53°-α<180°,

所以sin(37°+α)=sin[90°-(53°-α)]

=cos(53°-α)=-

=-=-.故选D.

6.A　∵3sin2α=8cos α,∴sin2α+=1,整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,

解得sin2α=或sin2α=-8(舍去).

又∵α是第四象限角,

∴sin α=-,

∴cos=cos

=-cos=sin α=-.

7.答案　

解析　设+x=θ,则sin θ=-,

所以sin2-sin

=sin2-sin(π-θ)

=cos2θ-sin θ

=1-sin2θ-sin θ

=1--=,

故答案为.

8.解析　(1)由=,得

=,解得tan α=2.

(2)sin(π-α)sin

=sin α(-cos α)

=-

=-,

由(1)可知,tan α=2,

所以-=-=-,

即sin(π-α)sin=-.

9.D　==-=-,

故选D.

10.BD　因为cos=-cos=-sin θ,

sin(π-θ)=sin θ,sin(π+θ)=-sin θ,

cos=sin θ,cos=-sin θ,

所以B,D项与cos的值相等.

11.AD　A正确,==cos α;B错误,==-tan α;

C错误,

==-1;

D正确,

=

=

=|sin θ-cos θ|,

∵θ∈,∴sin θ>0,cos θ<0,故=sin θ-cos θ.故选AD.

12.证明　右边=

=

=

=

===左边,

所以原等式成立.

13.解析　f(α)

=

=

=-tan α,

由cos=得sin α=-,

因为α是第三象限角,

所以cos α=-=-=-,

故tan α==,所以f(α)=-.

14.解析　(1)f(x)

=+

=+

=-sin x·+sin x=sin x-cos x.

(2)因为f(α)=,即sin α-cos α=,所以(sin α-cos α)2=,

整理得sin2α-2sin αcos α+cos2α=,

即2sin αcos α=,即sin αcos α=.

15.解析　(1)由已知可得r==5,

根据三角函数的定义知sin α=-,

cos α=,

所以sin α-cos α=--=-.

(2)解法一:

=

=

===.

解法二:由(1)可得tan α=-,

所以

=

==

===.