人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课堂检测

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

基础过关练

题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题

1.cos 的值为 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B. C. D.

2.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C= (　　)

A. B.- C. D.-

3.(2020山东潍坊诸城高一下期中)已知A,B为锐角,cos A=,cos B=,则cos(A+B)= (　　)

A. B.- C.- D.

4.(2020辽宁辽阳高一下期末)已知点P(1,3)是角α终边上的一点,则tan=　　　　. 

5.已知cos θ=,则sin的值为　　　,sin的值为　　　　. 

6.(2020辽宁阜新第二高级中学高一下期末)求值:

(1)sin ;(2)tan 105°.

7.已知α,β均为锐角,sin α=,cos(α+β)=.

(1)求cos的值;

(2)求sin β的值.

题组二　利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题

8.(2020辽宁省实验中学高一下期中)已知α,β∈,若tan α,tan β是方程x2-4x+5=0的两实根,则α+β=              (　　)

A.-或 B.-   

C.    D.

9.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β=　　　　. 

10.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ等于　　　　. 

11.设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为　　　　. 

题组三　利用两角和与差的三角函数公式进行化简

12.(2020福建厦门高一下期末)化简sin 15°cos 5°-cos 15°sin 5°的结果为 (　　)

A.sin 10° B.cos 10°

C.sin 20° D.cos 20°

13.已知α+β=,则(1+tan α)·(1+tan β)= (　　)

A.-1    B.-2

C.2      D.3

14.函数f(x)=sin+sin,则f(x) (　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.是非奇非偶函数

15.“在△ABC中,cos Acos B=　　　　+sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角.则实数a,b,c的大小关系是　　　　　.(用“<”连接) 

能力提升练

题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题

1.(2020山东聊城高一下期末质量检测,)角α的终边与单位圆的交点坐标为,将α的终边绕原点顺时针旋转后得到角β,则cos(α+β)=              (　　)

A. B. C. D.0

2.(2020辽宁锦州高一下期末,)定义运算:=ad-bc.已知α,β都是锐角,

且cos α=,=-,则cos β= (　　)

A. B.  C. D.

3.(2020安徽黄山高一下期末,)已知α是第二象限角,且sin α=,tan(α+β)=-3,

则tan β=　　　　. 

4.(2020浙江温州九校联盟高一上期末,)已知cos=,且α∈,则sin=　　　,sin α=　　　. 

5.(2020山西大同一中高一期末,)已知sin=,-<α<,求:

(1)cos的值;

(2)cos α的值.

题组二　利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题

6. (2020天津一中高一上期末,)已知0<β<α<,点P(1,4)为角α终边上一点,

且sin αsin+cos αcos=,则角β= (　　)

A. B. C. D.

7.(2020浙江丽水高一下期末,)已知α∈,β∈,sin β=-,且cos(α-β)=,则α的值为(　　)

A. B. C. D.

8.(2020河南林州一中高一上期末,)已知tan(α-β)=-7,cos α=-,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求:

(1)tan β的值;

(2)α+β的值.

9.()在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点.

(1)求cos(α+β)的值;

(2)若α∈,β∈,求2α-β的值.

题组三　两角和与差的三角函数公式的综合应用

10.(多选)()在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则下列各式正确的是 (　　)

A.A+B=2C B.tan(A+B)=-

C.tan A=tan B D.cos B=sin A

11.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)在△ABC中,若2sin Asin B=1+cos C,则该三角形的形状一定是　　　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.C　cos =cos=cos cos -sin sin =×-×=.

2.A　因为cos B=且B为三角形的内角,所以sin B=.又A=,

所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin cos B+cos sin B=×+×=.

3.C　∵A,B为锐角,cos A=,cos B=,

∴sin A==,sin B==,

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=-.故选C.

4.答案　-2

解析　根据题意知,tan α==3,

则tan===-2.

5.答案　;

解析　因为cos θ=,

所以sin θ==,

所以sin=sin θcos+cos θsin

=×=,

sin=sin θcos-cos θsin

=×-×=.

6.解析　(1)sin =sin=sin ·cos +cos sin =×+×=.

(2)tan 105°=tan(60°+45°)

===-2-.

7.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,

∴cos α==,

∴cos=cos αcos +sin αsin=×+×=.

(2)∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π),

∵cos(α+β)=,

∴sin(α+β)==,

∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.

8.C　因为tan α,tan β是方程x2-4x+5=0的两实根,所以tan α+tan β=4,

tan α·tan β=5,所以tan α,tan β均为正数,又α,β∈,所以α,β∈,

所以α+β∈(0,π).

所以tan(α+β)===-.又α+β∈(0,π),所以α+β=.

故选C.

9.答案　

解析　∵α,β为锐角,sin α=,cos β=,

∴0<α+β<π,cos α=,sin β=.

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

=×-×=-.

又∵0<α+β<π,∴α+β=.

易错警示　已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用角的范围对角进行选择,另一方面要由角的范围选择所求值的名称,如本题中已知锐角α,β,则0<α+β<π,因此求α+β的余弦值较好.

10.答案　

解析　由题图易知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,γ=,∴α+β∈(0,π),tan(α+β)==1,

∴α+β=,所以α+β+γ=.

11.答案　

解析　∵<α<π,<β<π且sin α=,cos β=-,

∴π<α+β<2π,cos α=-,sin β=,

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-×-×=-=.

∵π<α+β<2π,

∴α+β=.

12.A　 sin 15°cos 5°-cos 15°sin 5°=sin(15°-5°)=sin 10°.故选A.

13.C　∵α+β=,∴tan(α+β)=1,

∴tan α+tan β=1-tan α·tan β,

∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan α·tan β

=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.

14.A　∵f(x)=sin+sin=sin x+cos x+sin x-cos x=sin x,

且f(x)的定义域为R,

∴f(x)为奇函数.

15.答案　b<a<c

解析　由题意得,横线处的实数等于cos(A+B),即cos(π-C),故当C是直角时,a=cos(π-C)=cos =0;当C是锐角时,-1<b=cos(π-C)<0;当C是钝角时,0<c=cos(π-C)<1.故b<a<c.

能力提升练

1.A　由角α的终边经过点,

得sin α=,cos α=,

因为角β的终边是由角α的终边绕原点顺时针旋转得到的,

所以sin β=sin=sin αcos -cos αsin =×-×=,

cos β=cos=cos αcos +sin α·sin =×+×=,

所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,故选A.

2.B　因为α,β都是锐角,所以0<β<,-<-α<0,-<β-α<,

因为=-,

所以sin αcos β-cos αsin β=-,

即sin(α-β)=-,所以sin(β-α)=,所以0<β-α<,所以cos(β-α)===,

因为cos α=,所以sin α===,

所以cos β=cos[(β-α)+α]=cos(β-α)cos α-sin(β-α)sin α

=×-×=.故选B.

3.答案　-

解析　由α是第二象限角,且sin α=,得cos α=-,tan α=-,

由tan(α+β)=-3,得=-3,代入tan α=-,得tan β=-.

4.答案　-;-

解析　由-<α<得-<α-<0,

所以sin=-=-,

所以sin α=sin

=sincos+cossin

=-.

5.解析　(1)cos=cosα+-

=sin=.

(2)∵-<α<,

∴0<α+<,

∵sin=,

∴cos==,

∴cos α=cos=cosα+·cos+sinsin=.

6.D　由题意知|OP|=7(O为坐标原点),

∴sin α=,cos α=.

由sin αsin+cos αcos+β=,得sin αcos β-cos αsin β=,

∴sin(α-β)=.

∵0<β<α<,∴0<α-β<,

∴cos(α-β)==,

∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.

∵0<β<,∴β=,故选D.

7.B　因为β∈,sin β=-,

所以cos β=.

因为α∈,β∈,

所以α-β∈(0,π),

因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=,

所以sin α=sin(α-β+β)

=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β

=×+×=,

因为α∈,所以α=,故选B.

8.解析　(1)因为cos α=-,α∈(0,π),

所以sin α==,

因此tan α==-2,

故tan β=tan[α-(α-β)]

==.

(2)易知tan(α+β)=

==-1.

因为cos α=-<0,α∈(0,π),所以α∈,因为tan β=>0,β∈(0,π),所以β∈,

从而α+β∈,因此α+β=.

9.解析　(1)由A,B-,,得cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,

则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.

(2)由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos α·cos α-sin αsin α=-,sin 2α=sin αcos α+cos αsin α=.

∵cos 2α<0,α∈,∴2α∈.∵β∈,∴2α-β∈.

∴sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β

=×-×=-,

∴2α-β=-.

10.CD　∵C=120°,∴A+B=60°,

∴2(A+B)=C,即A+B=C,

∴tan(A+B)===tan 60°=,故tan Atan B=,

又tan A+tan B=,

∴tan A=tan B=,∴A=B=30°,

∴cos B=sin A.

综上,A,B均错误,C,D均正确.故选CD.

11.答案　等腰三角形

解析　∵1+cos C=1-cos(A+B)=1-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B,

∴sin Asin B+cos Acos B=1,即cos(A-B)=1,∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B,

∴△ABC一定为等腰三角形.