人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时作业

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时作业，共14页。试卷主要包含了下列各式与tan α相等的是，化简下列各式，在△ABC中,求证等内容，欢迎下载使用。

5.5.2　简单的三角恒等变换
基础过关练
题组一　三角函数式的求值问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.已知cos α=15,α∈3π2,2π,则sin α2等于 (　　)
A.105 B.-105 C.265 D.255
2.cos20°cos35°1-sin20°= (　　)
A.1 B.2 C.2 D.3
3.cos 23°-cos 67°+22sin 4°cos 26°= (　　)
A.-22 B.22 C.-32 D.32
4.已知sinα2-cosα2=-55,450°<α<540°,则tanα2的值为　　　　. 
5.(2020云南昆明高一下期中)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=45,sin β=1213,求cosα-β2与tanα-β2的值.







题组二　三角函数式的化简与证明问题
6.(多选)下列各式与tan α相等的是 (　　)
A.1-cos2α1+cos2α
B.sinα1+cosα
C.1+cos(π+2α)2·1cosα(α∈(0,π))
D.1-cos2αsin2α
7.化简(1+sinα+cosα)sinα2-cosα22+2cosα=　　　　(其中180°<α<360°). 
8.化简下列各式:
(1)cosA+cos(120°+B)+cos(120°-B)sinB+sin(120°+A)-sin(120°-A);
(2)sinA+2sin3A+sin5Asin3A+2sin5A+sin7A.




9.在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4cosA2cosB2·cosC2.




题组三　三角恒等变换的综合应用
10.(2020河南郑州高一下期末)下列函数是偶函数且最小正周期为π4的是 (　　)
A.y=cos24x-sin24x B.y=sin 4x
C.y=sin 2x+cos 2x D.y=cos 2x
11.(2020湖北武汉高一上期中)函数y=12sin 2x+sin2x的值域是 (　　)
A.-12,32 B.-32,12
C.-22+12,22+12 D.-22-12,22-12
12.已知函数f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1.
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的取值集合;
(2)若α∈π4,π2,且f(α)=45,求cos 2α的值.






能力提升练
题组一　三角函数式的求值问题　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2020吉林通化梅河口五中高三月考,)已知sinα-2cosαsinα+cosα=2,则sin 2α= (　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.917 B.-917 C.817 D.-817
2.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)已知α为第三象限角,
且sin α+cos α=2m,sin 2α=m2,则m的值为 (　　)
A.33 B.-33 C.-13 D.-23
3.()计算:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°= (　　)
A.12 B.22 C.32 D.1
4.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)设α∈0,π3,已知6sin α+2cos α=3.
(1)求tanα+π6的值;
(2)求cos2α+7π12的值.





5.(2020河南开封五县高一下期末联考,)已知角α∈(0,π)且3cos 2α-8cos α=5.
(1)求sinπ4+α的值;
(2)先化简1+sin2α2cos2α+sin2α,再求值.






6.(2020山东滨州高一上期末,)在①tan α=43,②7sin 2α=2sin α,③cosα2=277这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解决问题.
已知α∈0,π2,β∈0,π2,cos(α+β)=-13,　　　,求cos β. 








题组二　三角函数式的化简与证明问题
7.(2019甘肃武威第十八中学单元检测,)若π2<θ<π,则1-sinθ-12(1-cosθ)= (　　)
A.2sinθ2-cosθ2 B.cosθ2-2sinθ2
C.cosθ2 D.-cosθ2
8.(2020山东烟台高一上期末,)某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°+cos215°-3sin 15°sin 15°;
cos280°+cos2(-50°)-3sin 80°sin(-50°);
cos2170°+cos2(-140°)-3sin 170°sin(-140°).
(1)求出这个常数;
(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.






题组三　三角恒等变换的综合应用
9.(2020山东潍坊诸城高一下期中,)已知当x=x0时,函数f(x)=sin x+2cos x取得最大值,则sin x0= (　　)
A.55 B.21515 C.255 D.15
10.(2020河南新乡一中高一下期末,)已知-5cos(x+φ)=sin x+2cos x对x∈R恒成立,
则cos 2φ= (　　)
A.-25 B.25 C.-35 D.35
11.()在△ABC中,若sin Asin B=cos2C2,则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
12.(多选)()已知函数f(x)=cos 2x-23sin xcos x,则下列结论中正确的是 (　　)
A.存在x1,x2,当x1-x2=π时,f(x1)=f(x2)成立
B.f(x)在区间-π6,π3上单调递增
C.函数f(x)的图象关于点π12,0对称
D.函数f(x)的图象关于直线x=5π12对称
13.(2020福建福州八县(市、区)一中高一上期末联考,)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16,求cos(α-β)的值.









14.(2020北京人大附中高一下期中,)在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边的两个角α,β的终边分别与单位圆O交于点M,N,已知M,N关于原点对称.
(1)若点M的坐标为13,223,求cos α,cos β的值;
(2)当α∈[0,π]时,求3sin α+sinπ2+β的最大值.











15.()已知f(x)=-12+sin5x22sinx2,x∈(0,π).
(1)将f(x)表示成cos x的多项式;
(2)求f(x)的最小值.












答案全解全析
基础过关练
1.A　∵α∈3π2,2π,∴α2∈3π4,π,
∴sin α2=1-cosα2=105.
2.C　 原式=cos210°-sin210°cos35°(cos10°-sin10°)=cos10°+sin10°cos35°=2cos35°cos35°=2.
3.B　cos 23°-cos 67°+22sin 4°cos 26°
=2sin 45°sin 22°+2(sin 30°-sin 22°)
=2sin 22°+22-2sin 22°=22.
4.答案　2
解析　由题意得sinα2-cosα22=15,即1-sin α=15,∴sin α=45.
∵450°<α<540°,∴cos α=-35,
∴tanα2=1-cosαsinα=1--3545=2.
5.解析　因为α为钝角,β为锐角,sin α=45,sin β=1213,所以cos α=-35,cos β=513.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-35×513+45×1213=3365.
因为π2<α<π,且0<β<π2,所以0<α-β<π.
解法一:由0<α-β<π可得0<α-β2<π2,
所以cosα-β2=1+cos(α-β)2=1+33652
=76565,sinα-β2=1-cos2α-β2=46565.
所以tanα-β2=sinα-β2cosα-β2=47.
解法二:同解法一,求得cos α-β2=76565.
由0<α-β<π,cos(α-β)=3365,得
sin(α-β)=1-cos2(α-β)=5665.
所以tanα-β2=sin(α-β)1+cos(α-β)=56651+3365=47.
6.CD　A不符合,1-cos2α1+cos2α=2sin2α2cos2α=tan2α=|tan α|;B不符合,sinα1+cosα=2sinα2cosα22cos2α2=tanα2;C符合,因为α∈(0,π),所以原式=1-cos2α2·1cosα=sinαcosα=tan α;D符合,1-cos2αsin2α=2sin2α2sinαcosα=tan α.故选CD.
7.答案　cos α
解析　原式=2cos2α2+2sinα2cosα2sinα2-cosα24cos2α2
=2cosα2cosα2+sinα2sinα2-cosα22cosα2
=cosα2sin2α2-cos2α2cosα2
=-cosα2cosαcosα2.
因为180°<α<360°,所以90°<α2<180°,
所以cosα2<0,所以原式=cos α.
8.解析　(1)原式=cosA+2cos120°cosBsinB+2cos120°sinA
=cosA-cosBsinB-sinA=-2sinA+B2sinA-B22cosA+B2sinB-A2=tanA+B2.
(2)原式=(sinA+sin5A)+2sin3A(sin3A+sin7A)+2sin5A
=2sin3Acos2A+2sin3A2sin5Acos2A+2sin5A
=2sin3A(cos2A+1)2sin5A(cos2A+1)=sin3Asin5A.
9.证明　由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B),即C2=90°-A+B2,
∴cosC2=cos90°-A+B2=sinA+B2.
∴sin A+sin B+sin C
=2sinA+B2·cosA-B2+sin(A+B)
=2sinA+B2·cosA-B2+2sinA+B2·cosA+B2
=2sinA+B2cosA-B2+cosA+B2
=2cosC2·2cosA2·cos-B2
=4cosA2cosB2cosC2,
即sin A+sin B+sin C=4cosA2cosB2·cosC2.
10. A　选项A中,易知函数y=cos24x-sin24x=cos 8x是偶函数,最小正周期为2π8=π4,故正确;选项B中,易知函数y=sin 4x是奇函数,最小正周期为2π4=π2,故错误;选项C中,易知函数y=sin 2x+
cos 2x=2sin2x+π4是非奇非偶函数,最小正周期为2π2=π,故错误;选项D中,易知函数y=cos 2x是偶函数,最小正周期为2π2=π,故错误.故选A.
11.C　y=12sin 2x+sin2x=12sin 2x+1-cos2x2=12+22sin2x-π4,
∴函数的值域为12-22,12+22.
12.解析　(1)f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1
=sin 2xcosπ6-cos 2xsinπ6+cos 2x
=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+π6.
所以当2x+π6=2kπ+π2,k∈Z,即x=kπ+π6,k∈Z时, f(x)max=1,
相应的x的取值集合为xx=kπ+π6,k∈Z.
(2)由(1)知f(α)=sin2α+π6=45.
由π4<α<π2,得2π3<2α+π6<7π6,
所以cos2α+π6=-35.
因此cos 2α=cos2α+π6-π6
=cos2α+π6cosπ6+sin2α+π6·sinπ6=-35×32+45×12=-33+410.
能力提升练
1.D　由sinα-2cosαsinα+cosα=2,可得tanα-2tanα+1=2,即tan α=-4,
所以sin 2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=-817.
2.B　依题意得sin 2α=2sin αcos α=m2,
又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+m2=4m2,∴m2=13.
由α是第三象限角知,sin α+cos α=2m<0,
∴m=-33,故选B.
解题模板　利用sin α+cos α与sin αcos α的关系列等式,解方程求m的值,解题时要运用角的范围确定m的符号,防止符号错误导致结论错误.
3.C　sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°
=2sin 30°cos 10°+2cos 70°sin(-10°)
=cos 10°-2cos(60°+10°)sin 10°
=cos 10°-212cos10°-32sin10°sin 10°
=cos 10°-12sin 20°+32(1-cos 20°)
=32-12sin20°+32cos20°+cos 10°
=32-(sin 30°sin 20°+cos 30°cos 20°)+cos 10°
=32-cos(30°-20°)+cos 10°
=32-cos 10°+cos 10°=32.
4.解析　(1)因为6sin α+2cos α=3,
所以sinα+π6=64.
因为α∈0,π3,所以α+π6∈π6,π2,所以cosα+π6=104.
所以tanα+π6=155.
(2)cos2α+π3=2cos2α+π6-1
=2×1042-1=14.
因为α∈0,π3,所以2α+π3∈π3,π,所以sin2α+π3=154,
所以cos2α+7π12=cos2α+π3+π4
=cos2α+π3cosπ4-sin2α+π3·
sinπ4=14×22-154×22=2-308.
5.解析　(1)∵3cos 2α-8cos α=3(2cos2α-1)-8cos α=5,
∴3cos2α-4cos α-4=0,
∴cos α=-23(cos α=2舍去),
∵α∈(0,π),∴sin α=1-cos2α=53,
∴sinπ4+α=22(sin α+cos α)=22×53-23=10-226 .
(2)1+sin2α2cos2α+sin2α=(sinα+cosα)22cos2α+2sinαcosα
=(sinα+cosα)22cosα(cosα+sinα)
=sinα+cosα2cosα=12tan α+12.
由(1)知tan α=sinαcosα=-52,
∴1+sin2α2cos2α+sin2α=12×-52+12=2-54.
6.解析　方案一:选条件①.
解法一:因为tan α=43,所以sinαcosα=43,
则sinα=43cosα,sin2α+cos2α=1,
解得sinα=437,cosα=17或sinα=-437,cosα=-17.
因为α∈0,π2,所以sinα=437,cosα=17.
因为cos(α+β)=-13,且sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,
所以sin2(α+β)=89.
因为α∈0,π2,β∈0,π2,
所以0<α+β<π,
所以sin(α+β)=223.
所以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-13×17+223×437
=86-121.
解法二:因为α∈0,π2,tan α=43,
所以点P(1,43)在角α的终边上,
所以cos α=112+(43)2=17,
sin α=4312+(43)2=437.
以下同解法一.
方案二:选条件②.
因为7sin 2α=2sin α,
所以14sin αcos α=2sin α.
因为α∈0,π2,所以sin α≠0 ,
所以cos α=17.
又因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=4849.
因为α∈0,π2,所以sin α=437.
以下同方案一的解法一.
方案三:选条件③.
因为cosα2=277,
所以cos α=2cos2α2-1=17.
由sin2α+cos2α=1,得sin2α=4849.
因为α∈0,π2,所以sin α=437.
以下同方案一的解法一.
7.D　∵π2<θ<π,∴π4<θ2<π2,∴sinθ2>cosθ2>0.
∵1-sin θ=sin2θ2+cos2θ2-2sinθ2cosθ2=sinθ2-cosθ22,12(1-cos θ)=sin2θ2,
∴1-sinθ-12(1-cosθ)
=sinθ2-cosθ22-sin2θ2
=sinθ2-cosθ2-sinθ2
=-cosθ2.
8.解析　 (1)cos215°+cos215°-3sin 15°·sin 15°
=2cos215°-3sin215°
=1+cos 30°-32(1-cos 30°)
=1+32-32×1-32=74.
(2)推广:当α+β=30°时,cos2α+cos2β-3sin αsin β=74.
证明:∵α+β=30°,∴β=30°-α,
∴cos2α+cos2β-3sin αsin β
=cos2α+cos2(30°-α)-3sin αsin(30°-α)
=cos2α+32cosα+12sinα2-3sin α·12cosα-32sinα
=cos2α+34cos2α+32cos αsin α+14sin2α-32cos αsin α+32sin2α
=74cos2α+74sin2α=74.
9.A　f(x)=sin x+2cos x=5sin(x+φ),其中sin φ=255,cos φ=55,
当x0+φ=π2+2kπ,k∈Z,即x0=π2-φ+2kπ,k∈Z时,函数取得最大值,
此时sin x0=sinπ2-φ+2kπ=cos φ=55.故选A.
10.D　-5cos(x+φ)=-5cos xcos φ+5×sin xsin φ=sin x+2cos x,
则cos φ=-25,所以cos 2φ=2cos2φ-1=85-1=35,故选D.
11.B　由已知得12[cos(A-B)-cos(A+B)]=12(1+cos C),
因为A+B=π-C,所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,所以cos(A-B)=1.又-π 12.AC　易知f(x)=2sinπ6-2x
=2sin2x+5π6,∴f(x)的最小正周期T=π,A正确;令-π2+2kπ≤2x+5π6≤π2+2kπ(k∈Z),得-2π3+kπ≤x≤-π6+kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为-2π3+kπ,-π6+kπ(k∈Z),B错误;
∵对称中心的横坐标满足2x+5π6=kπ(k∈Z),∴x=kπ2-5π12(k∈Z),当k=1时,x=π12,C正确; f5π12=2sin2×5π12+5π6=-3≠±2,D错误.故选AC.
13.解析　设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.
因此4cos α-4sin α=3⇒cos α-sin α=34,①
4sin β-4cos β=3⇒sin β-cos β=34.②
①×②,得sin βcos α-sin βsin α-cos αcos β+sin αcos β=916.
又sin α=cos β,cos α=sin β,
∴sin2β-(cos αcos β+sin αsin β)+cos2β=916,
∴cos(α-β)=1-916=716.
思路探究　利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.
14.解析　(1)由点M的坐标为13,223,得cos α=13,因为M,N关于原点对称,所以β=π+α,
故cos β=cos(π+α)=-cos α=-13.
即cos α=13,cos β=-13.
(2)由cos β=cos(π+α)=-cos α,
得3sin α+sinπ2+β=3sin α+cos β=3sin α-cos α=2sinα-π6,
由α∈[0,π],得α-π6∈-π6,5π6,则2sinα-π6∈[-1,2],
故当α-π6=π2,即α=2π3时,3sin α+sinπ2+β取得最大值,最大值为2.
15. 解析　(1)f(x)=-12+sin52x2sinx2=sin5x2-sinx22sinx2=2cos3x2sinx2sinx2=4cos 3x2sin x2cos x22sin x2=2cos3x2·cosx2
=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1.
(2)由(1)知f(x)=2cos2x+cos x-1
=2cosx+142-98,
∵x∈(0,π),∴cos x∈(-1,1),
∴当cos x=-14时, f(x)取得最小值,为-98.