高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用当堂检测题，共15页。

5.7　三角函数的应用
基础过关练
题组一　三角函数模型在物理中的应用　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.简谐运动y=4sin5x-π3的相位与初相分别是 (　　)
A.5x-π3,π3 B.5x-π3,4
C.5x-π3,-π3 D.4,π3
2.已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100πt+π3,则当t=1200 s时,电流强度I为 (　　)
A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A
3.一个单摆如图所示,以OA为始边,OB为终边的角θ与时间t(s)的函数满足:θ=12sin2t+π2,则单摆完成5次完整摆动所花的时间为 (　　)

　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.5 s B.10 s
C.5π2 s D.5π s
4.简谐运动y=12sinπ8x-2的频率f=　　　　. 
5.如图所示,弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm,每经过π s小球往复振动一次,则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与振动时间x(s)的关系式可以是　　　　　　.  


题组二　三角函数模型在生活中的应用
6.人的心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=102+24sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则下列说法正确的是 (　　)
A.此人的收缩压和舒张压均高于相应的标准值
B.此人的收缩压和舒张压均低于相应的标准值
C.此人的收缩压高于标准值,舒张压低于标准值
D.此人的收缩压低于标准值,舒张压高于标准值
7.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　)

A.5 B.6 C.8 D.10
8. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+
4sin t2(t≥0),则下列时间段内人流量是增加的是 (　　)
A. [0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
9.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市一房地产中介对该市一楼盘在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:
x
1
2
3
y
10 000
9 500

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 (　　)
A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元

10.下图为2021年某市某天6时至14时的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,π2<φ<π的半个周期的图象,则该天8时的温度大约为　　　　. 

题组三　三角函数模型的建立及其应用
11.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针针尖指向位置P(x,y).若初始位置为P032,12,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t(秒)的函数关系式为 (　　)

A.y=sinπ30t+π6
B.y=sin-π60t-π6
C.y=sin-π30t+π6
D.y=sin-π30t-π6
12.如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在这两个值之间呈正弦型曲线变化(周期为一年).
(1)求出该动物种群数量y关于时间t的正弦型函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日该动物种群的数量.





13.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增,直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份至少要准备400份的食物?
















能力提升练
题组一　三角函数模型在物理中的应用　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2020北京人大附中高一下期中,)音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器(如图1),各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=11 000sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为 (　　)

A.200 B.400 C.200π D.400π
2.()电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则t=7120时的电流强度为 (　　)

A.0安培
B.-52安培
C.102安培
D.-102安培
3.(多选)()如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是 (　　)

A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
题组二　三角函数模型在生活中的应用
4.(多选)(2020山东烟台高一上期末,)如图,摩天轮的半径为40 m,其中心O点距离地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且20 min转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮转动过程中 (　　)

A.经过10 min点P距离地面10 m
B.若摩天轮转速减半,则其周期变为原来的12
C.第17 min和第43 min时点P距离地面的高度相同
D.摩天轮转动一圈,点P距离地面的高度不低于70 m的时间为203 min
5.()国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asinωπt+π4+60(单位:美元,t为天数,A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150时,油价最低,则A的值为　　　　,ω的最小值为　　　　　. 
6.()某港口的水深y(米)随着时间t(时)呈现周期性变化,经研究可用y=asin π6t+bcos π6t+c来描述,若潮差(最高水位与最低水位的差)为3米,则a+b的取值范围为　　　　. 
题组三　三角函数模型的建立及其应用
7.()如图所示,质点P在半径为2的圆周上按逆时针方向运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1 rad/s,那么点P到x轴的距离d关于时间t(s)的函数图象大致为 (　　)


8.(2020福建师大附中高一上期末,)如图所示,边长为 1的正方形PABC沿x轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处,点B恰好能经过原点.设动点P的纵坐标关于横坐标的函数解析式为y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:
①函数y=f(x)是偶函数;
②y=f(x)是周期为4的函数;
③函数y=f(x)在区间[10,12]上单调递减;
④函数y=f(x)在区间[-1,1]上的值域是[1,2].
其中判断正确的序号是　　　　. 

9.(2020福建南平高一下期末,)某工厂制作如图所示的一种标识,在半径为3的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形,“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成,两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍,设O为圆心,∠AOB=2α,记“H”型图形周长为C,面积为S,则C=　　　　,S的最大值为　　　　. 

10.(2020北京一零一中学高一下期末,)如图,以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形,求阴影部分面积的最大值.









11.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下期中,)如图是一个缆车示意图,该缆车的半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,缆车每60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h m.
(1)求h与θ之间的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t s达到OB,求h与t之间的函数解析式,并计算经过45 s后缆车距离地面的高度.












答案全解全析
基础过关练
1.C　相位是5x-π3,初相是当x=0时的相位,即-π3.
2.B　当t=1200 s时,I=5sin 100π×1200+π3=2.5 A.
3.D　函数的周期T=2π2=π,5个周期即5π,故选D.
4.答案　116
解析　因为周期T=2ππ8=16,所以简谐运动y=12sinπ8x-2的频率f=1T=116.
5.答案　y=4sin2x+π6(答案不唯一)
解析　不妨设y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0).由题知A=4,T=π,所以ω=2πT=2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以φ=2kπ+π6,k∈Z,不妨取φ=π6,故所求关系式可以为y=4sin2x+π6.
6.C　由此人的血压满足函数式p(t)=102+24sin 160πt,得此人的收缩压为p(t)max =102+24=126;舒张压为p(t)min =102-24=78,所以此人的收缩压高于标准值,舒张压低于标准值.故选C.
7.C　由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,
∴ymax=k+3=8.
8.C　由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z,所以函数F(t)=50+4sin t2的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.
9.C　因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),
所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;
当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,
所以ω可取3π2,φ可取π,
即y=500sin3π2x+π+9 500.
当x=3时,y=9 000.
10.答案　13 ℃
解析　由题意得A=12×(30-10)=10,b=12×(30+10)=20,
∵T=2×(14-6)=16,
∴2πω=16,∴ω=π8,
∴y=10sinπ8x+φ+20,
将x=6,y=10代入得10sinπ8×6+φ+20=10,即sin3π4+φ=-1,
∵π2<φ<π,∴φ=3π4,
∴y=10sinπ8x+3π4+20,x∈[6,14].
∴当x=8时,y=10sinπ8×8+3π4+20=20-52≈13,
即该天8时的温度大约为13 ℃.
11.C　由题意,设函数关系式为y=Asin(ωx+φ)0<φ<π2,
则函数的周期T=60 s,ω<0,
∴ω=-2π60=-π30,A=122+322=1,
∴y=sin-π30t+φ0<φ<π2.
∵初始位置为P032,12,
∴t=0时,y=12.
∴sin φ=12,∴φ=π6.
∴函数关系式为y=sin-π30t+π6.
故选C.
12.解析　(1)设该动物种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
则-A+b=700,A+b=900,
解得A=100,b=800.
又周期T=12,
∴ω=2πT=π6,
∴y=100sinπ6t+φ+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sinπ6×6+φ+800,
∴sin(π+φ)=1,
∴sin φ=-1,
∴可取φ=-π2,
∴y=100sinπ6t-π2+800.
(2)当t=2时,y=100sinπ6×2-π2+800=750,
即当年3月1日该动物种群的数量估计是750.
13.解析　(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知, f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知, f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
根据上述分析可得,2πω=12,故ω=π6,且-A+B=100,A+B=500,解得A=200,B=300.
根据分析可知,当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,
故sin2×π6+φ=-1,
且sin8×π6+φ=1.
又因为0<|φ|<π,故φ=-5π6.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sinπ6x-5π6+300.
(2)令200sinπ6x-5π6+300≥400,化简得sinπ6x-5π6≥12,即2kπ+π6≤π6x-5π6≤2kπ+5π6,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份至少要准备400份的食物.
能力提升练
1.D　由题图可得,ω>0,T=4×1800=1200,即2πω=1200,则ω=400π.故选D.
2.A　由题图知A=10,函数的周期T=2×4300-1300=150,所以ω=2πT=2π150=100π,则I=10sin(100πt+φ),将点1300,10代入I=10sin(100πt+φ),可得sinπ3+φ=1,∴π3+φ=π2+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,∴φ=π6,故函数解析式为I=10sin100πt+π6,将t=7120代入函数解析式,得I=0.
3.BC　由题图可知,运动周期为2×(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误;该质点的振幅为5 cm,B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.
4.ACD　建立如图所示的平面直角坐标系,

设φ(0≤φ<2π)是以x轴的非负半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,
由点P的起始位置在最高点知,φ=π2,
又由题知OP在t min内转过的角为2π20t,即πt10,
所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为πt10+π2,
即点P的纵坐标为40sinπt10+π2,
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h(t)=50+40sinπt10+π2=50+40cosπt10.
当t=10时,h=50+40cos π=10,A正确;当转速减半时,周期变为原来的2倍,B错误;h(17)=50+40cos17π10=50+40cos3π10,h(43)=50+40cos43π10=50+40cos3π10,C正确;由h(t)=50+40cosπt10≥70得cosπt10≥12,解得2kπ-π3≤πt10≤2kπ+π3,k∈Z,即20k-103≤t≤20k+103,k∈Z,因此一个周期内高度不低于70 m的时长为203 min,D正确.故选ACD.
解题模板　解决与旋转有关的应用问题,可用三角函数(简谐运动)来研究,解题时要明确各个量及其关系,如本题中的周期为20 min,振幅为40 m,初相为π2,平衡位置的高度为50 m.
5.答案　20;1120
解析　由A+60=80得A=20.
因为当t=150时油价最低,所以150ωπ+π4=-π2+2kπ,k∈Z,即ω=k75-1200,又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,此时ω=175-1200=1120.
6.答案　-322,322
解析　由题意可知y=asin π6t+bcos π6t+c=a2+b2sinπ6t+θ+c(θ为辅助角),
由题意可得2a2+b2=3,故a2+b2=94,
由a+b22≤a2+b22=98,
解得-322≤a+b≤322.
故答案为-322,322.
7. C　 根据点P0的坐标可得∠xOP0=-π4,故∠xOP=t-π4.设点P(x,y),则由三角函数的定义,可得
sin∠xOP=y2,即sint-π4=y2,故y=2sint-π4,因此点P到x轴的距离d=|y|=2sint-π4,根据解析式可得C选项中的图象符合条件,故选C.
8.答案　①②④
解析　当-2≤x<-1时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的14圆,
当-1≤x<1时,P的轨迹是以B为圆心,2为半径的14圆,
当1≤x<2时,P的轨迹是以C为圆心,1为半径的14圆,
当2≤x<3时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的14圆,
故函数的周期为4.
最终构成图象如图所示:

根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,故①正确;
f(x)的周期为4,故②正确;
函数y=f(x)在区间[2,4]上为增函数,故在区间[10,12]上也是增函数,故③错误;
函数y=f(x)在区间[-1,1]上的值域是[1,2],故④正确.
综上,正确的序号是①②④.
9.答案　28sin α+6cos α;813-16
信息提取　①在半径为3的圆内作一个关于圆心对称的“H”型图形;②“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成,两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍;③∠AOB=2α.
数学建模　利用已知条件及矩形的周长公式、面积公式,建立周长、面积和α的函数关系,再利用三角函数知识求出最大值.
解析　如图所示,过O作OM⊥AB,垂足为M,OM交CD于N,则M,N分别为AB,CD的中点.设横向矩形为EFGH.

因为AB=2AM=6sin α,AB=32EF,
所以EF=23AB=4sin α,
所以AD=MN=OM-ON=OM-12EF
=3cos α-2sin α.
故C=4×6sin α+2×(3cos α-2sin α)+2×4sin α=28sin α+6cos α.
S=2S矩形ABCD+S矩形EFGH=2S矩形ABCD+23S矩形ABCD=83S矩形ABCD
=83×6sin α×(3cos α-2sin α)
=48sin αcos α-32sin2α
=24sin 2α-32×1-cos2α2
=24sin 2α+16cos 2α-16
=813sin(2α+φ)-16,
其中tan φ=23.
当sin(2α+φ)=1时,S取得最大值,为813-16.
故答案为28sin α+6cos α;813-16.
9. 解析　设等腰三角形的底角为θ0<θ<π2,则等腰三角形的底边长为2cos θ,高为
sin θ,
故阴影部分的面积为4×12×2cos θ×sin θ+(2cos θ)2
=2sin 2θ+2cos 2θ+2=22sin2θ+π4+2,
当θ=π8时,阴影部分的面积最大,为2+22.


11.解析　(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-π2,
故点B的坐标为4.8cosθ-π2,4.8sinθ-π2,
∴h=5.6+4.8sinθ-π2=5.6-4.8cos θ.
(2)易知点A在圆上转动的角速度是2π60=π30,
故t s转过的弧度数为π30t,
∴h=5.6-4.8cos π30t,t∈[0,+∞).
当t=45 s时,h=5.6.
即经过45 s后缆车距离地面的高度为5.6 m.
易错警示　解题时要注意:在平面直角坐标系中,以Ox为始边,OB为终边的角不是θ,而是θ-π2.