高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精练

专题强化练3　求函数的最大(小)值

一、选择题

1.()某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x.若该公司在两地共销售15辆该品牌车,则能获得的最大利润为              (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.90万元    B.60万元       C.120万元     D.120.25万元

2.()已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是              (　　)

A.[160,+∞)                B.(-∞,40]

C.(-∞,40]∪[160,+∞)      D.(-∞,20]∪[80,+∞)

3.(多选)()已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(　　)

A. f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1

B. f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值

C. f(x)在区间[2,3]上有最小值2,最大值5

D. f(x)在区间[0,a](a>1)上的最大值为f(a)

4.(2020广西南宁三中高一上月考,)设函数g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=则f(x)的值域是(　　)

A.∪(1,+∞)    B.[0,+∞)

C.        D.∪(2,+∞)

5.(多选)()已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2,构造函数F(x)=那么关于函数y=F(x)的说法正确的是              (　　)

A.y=F(x)的图象与x轴有3个交点        B.在(1,+∞)上单调递增

C.有最大值1,无最小值                 D.有最大值3,最小值1

二、填空题

6.(2021江苏徐州一中高一上期中,)某兴趣小组进行数学探究活动,将边长为1的正三角形纸片沿平行于三角形一边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=×.

(1)当梯形的腰长为时,S的值为　　　　; 

(2)S的最小值是　　　　. 

7.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数y=-x2+ax-在区间[0,1]上的最大值是,则实数a的值为　　　　. 

三、解答题

8.(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)=6x+5.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求函数g(x)=f(x)+2x2-x在区间[-1,a]上的最大值.

9. (2021安徽合肥八中高一上期中,)已知函数f(x)=ax+2(a>0),g(x)=,若∃x1∈[-1,2],∀x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.

10.(2020山东临沂高一上期末素养水平监测,)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足:p(t)=其中t∈N.

(1)求p(5),并说明p(5)的实际意义;

(2)若该路公交车每分钟的净收益y=-10(单位:元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大?并求每分钟的最大净收益.

11.()请先阅读下列材料,然后回答问题.

对于问题“已知函数f(x)=,问函数f(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,请说明理由”,一个同学给出了如下解答:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4,当x=1时,u有最大值,umax=4,显然u没有最小值.故当x=1时, f(x)有最小值,没有最大值.

(1)你认为上述解答是否正确?若不正确,说明理由,并给出正确的解答;

(2)试研究函数y=的最值情况;

(3)对于函数f(x)=(a>0),试研究其最值情况.

答案全解全析

一、选择题

1.C　设公司在甲地销售m辆该品牌车,则在乙地销售(15-m)辆,0≤m≤15,且m∈N,设公司获利为L万元,

则L=L1+L2=-m2+21m+2(15-m)=-m2+19m+30=-+30+,

∴当m=9或m=10时,L取得最大值120,即该公司在两地共销售15辆该品牌车时,能获得的最大利润为120万元.故选C.

2.C　由于函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.函数f(x)=4x2-kx-8的图象开口向上,且对称轴方程为x=,因此≤5或≥20,所以k≤40或k≥160.

3.BC　函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.

在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;

在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5, f(2)=2, f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确;

在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确;

在选项D中,当1<a≤2时, f(x)在区间[0,a]上的最大值为f(0)=2,当a>2时, f(x)在区间[0,a]上的最大值为f(a),D错误.故选BC.

4.D　当x<g(x),即x<x2-2时,x>2或x<-1,

f(x)=g(x)+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=+,

此时函数f(x)的值域为(2,+∞);

当x≥g(x),即-1≤x≤2时,

f(x)=g(x)-x=x2-2-x=-,

其最小值为f=-,最大值为f(2)=f(-1)=0,因此x∈[-1,2]时,函数f(x)的值域为.

综上可得,函数f(x)的值域为∪(2,+∞),故选D.

5.AC　由g(x)-f(x)=x2-3+2|x|>0,得|x|>1,

则F(x)=作出F(x)的图象如图所示,

由图可知,y=F(x)的图象与x轴有3个交点,F(x)在(1,+∞)上单调递减,F(x)有最大值1,没有最小值.故选AC.

二、填空题

6.答案　(1)　(2)6+4

解析　由题意可知,将正三角形纸片剪成了一个小正三角形和一个等腰梯形.

设剪成的小正三角形的边长为x(0<x<1),则梯形的周长为3-x,梯形的面积为×(x+1)××(1-x)=(1-x2),

所以S=×=4×(0<x<1).

(1)当梯形的腰长为,即x=时,S=4×=.

(2)令3-x=t,则t∈(2,3),

故S=4×=4×≥4×=6+4,当且仅当t=,即t=2时等号成立,

所以S的最小值是6+4.

7.答案　-6或

解析　函数y=f(x)=-+(a2-a)的图象开口向下,对称轴方程为x=,

①当0≤≤1,即0≤a≤2时, f(x)max=f=(a2-a),

则(a2-a)=,解得a=-2或a=3,与0≤a≤2矛盾,不符合题意,舍去;

②当<0,即a<0时,f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)max=f(0)=-,

则-=,解得a=-6,符合题意;

③当>1,即a>2时,f(x)在[0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=a-1,

则a-1=,解得a=,符合题意.

综上所述,a=-6或a=.

三、解答题

8.解析　(1)根据题意,设f(x)=ax+b,a、b∈R,且a≠0,

∴f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b.

∵3f(x+1)=6x+5,∴3ax+3a+3b=6x+5,

∴解得

∴f(x)=2x-.

(2)函数g(x)=f(x)+2x2-x=2x2+x-,

∵g(x)的图象开口向上,∴g(x)max=max{g(-1),g(a)},g(-1)=,g(a)=2a2+a-,

当g(a)≥g(-1)时,2a2+a-≥,且a>-1,解得a≥,

故当a≥时,g(x)max=g(a)=2a2+a-;

当-1<a<时,g(x)max=g(-1)=.

故g(x)max=

9.解析　因为∃x1∈[-1,2],∀x2∈[2,3],使f(x1)=g(x2)成立,

所以g(x)的值域是f(x)值域的子集,

当x∈[2,3]时,g(x)=的值域为[1,2],

当x∈[-1,2]时, f(x)=ax+2(a>0)的值域为[-a+2,2a+2],

要满足g(x)的值域是f(x)值域的子集,则解得a≥1,

故实数a的取值范围为[1,+∞).

10.解析　(1)p(5)=60-(5-10)2=35,其实际意义为:发车时间间隔为5分钟时,载客量为35.

(2)∵y=-10,∴当5≤t<10,t∈N时,y=-10=110-,

任取t1,t2∈[5,6],且t1<t2,则y1-y2=-

=6(t2-t1)+-

=6(t2-t1)+

=,

∵5≤t1<t2≤6,∴t2-t1>0,25<t1t2<36,

∴t1t2-36<0,∴y1-y2<0,

∴函数y=110-在区间[5,6]上单调递增,同理可证该函数在区间[6,10)上单调递减,∴当t=6时,y取得最大值38;

当10≤t≤20,t∈N时,y=-10=-10,该函数在区间[10,20]上单调递减,

则当t=10时,y取得最大值28.4.

综上,当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.

11.解析　(1)不正确.没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下:令u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4,易知u≠0,

当0<u≤4时,≥,即f(x)≥;

当u<0时,<0,即f(x)<0.

∴f(x)<0或f(x)≥,即f(x)既无最大值,也无最小值.

(2)∵x2+x+2=+≥,∴0<y≤,∴函数y=的最大值为,而无最小值.

(3)对于函数f(x)=(a>0),令u=ax2+bx+c,

①当Δ>0时,u有最小值,umin =<0;

当≤u<0时,≤,即f(x)≤;

当u>0时, f(x)>0.

∴f(x)>0或f(x)≤,即f(x)既无最大值也无最小值.

②当Δ=0时,u有最小值,umin==0,结合f(x)=知u≠0,∴u>0,此时>0,即f(x)>0, f(x)既无最大值也无最小值.

③当Δ<0时,u有最小值,umin=>0,即u≥>0,

∴0<≤,即0<f(x)≤,

∴当x=-时, f(x)有最大值,没有最小值.

综上,当Δ≥0时, f(x)既无最大值,也无最小值;

当Δ<0时, f(x)有最大值,此时x=-,没有最小值.