高中数学第五章 三角函数本章综合与测试练习题

专题强化练10　函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及应用

一、选择题　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020山东潍坊一中高一下期中,)将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式是              (　　)

A.y=cos 2x             B.y=-cos 2x

C.y=sin         D.y=-sin 2x

2.(2020山东日照高一下期中,)已知函数f(x)=cos-cos 2x,若要得到一个奇函数的图象,则可以将函数f(x)的图象              (　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

3.(2020黑龙江东部地区四校高一上期末联考,)已知函数f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是              (　　)

A.函数g(x)是奇函数

B.函数g(x)的图象关于直线x=-对称

C.当x∈时,函数g(x)的值域是[-1,2]

D.函数g(x)在上是增函数

4.(多选)(2020山东枣庄高一下期末,)已知函数f(x)=sin,将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则(　　)

A.当x=时,g(x)取得最小值

B.g(x)在上单调递减

C.g(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数

D.直线y=与g(x)图象的所有交点的横坐标之和为

二、填空题

5.(2020辽宁阜新二中高一下期末,)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ=　　　　. 

6.(2020山东潍坊高一下期末,)若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值为　　　　. 

三、解答题

7.(2020山西高一下期末,)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求方程f(x)=-在区间[0,4]内的所有实数根之和.

答案全解全析

一、选择题

1.B　函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为y=sin=sin=-cos 2x.

故选B.

2.C　易得f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,设将f(x)的图象向左(θ>0)或向右(θ<0)平移|θ|个单位长度,得到奇函数g(x)的图象,故g(x)=2sin,又g(x)为奇函数,所以2θ-=kπ,k∈Z,即θ=+,k∈Z,结合选项可知,当k=0时,θ=.故选C.

3.C　依题意得g(x)=f=2sin2x+=2cos 2x,故g(x)是偶函数,A错误;

g=2cos=0≠±2,B错误;由0≤x≤得0≤2x≤,从而-1≤2cos 2x≤2,C正确;由≤x≤得≤2x≤π,因此g(x)在上单调递减,故D错误.故选C.

4.ACD　由题意可知g(x)=sin,

当x=时,4x+=,此时g(x)=-1,为最小值,故A正确;

当x∈时,4x+∈,当4x+∈,即x∈时,函数单调递减,当4x+∈,即x∈时,函数单调递增,故B不正确;

g(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=sin=sin=cos 4x的图象,函数是偶函数,故C正确;

令sin=,则4x+=+2kπ或4x+=+2kπ,k∈Z,解得x=-或x=+,k∈Z,

因为0<x<,所以x=,,或x=,,,所以各交点的横坐标之和为,故D正确.故选ACD.

二、填空题

5.答案　

解析　由题图可知=2π-=,所以T=,因此ω==,所以f(x)=sin,

又函数图象过点(2π,1),所以sin+φ=1,即+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z,

又因为|φ|<π,所以φ=.故答案为.

6.答案　

解析　因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π,

所以ω=2,故f(x)=sin(2x+φ),

其图象向左平移个单位长度后,得到y=sin的图象,

因为所得图象关于y轴对称,

所以+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,

因此φ的最小正值为,故答案为.

三、解答题

7.解析　(1)由题图可知A=2,

T=2×=,所以ω=π,

所以f(x)=2sin(πx+φ),

又点在f(x)的图象上,

所以2sin=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,

又|φ|<,所以φ=,

故f(x)=2sinπx+.

(2)易得f(x)在[0,4]上的图象与直线y=-有4个交点,

则方程f(x)=-在[0,4]上有4个实数根,设这4个实数根分别为x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),如图,

由图可得x1,x2关于直线x=对称,所以x1+x2=,

x3,x4关于直线x=对称,所以x3+x4=,所以x1+x2+x3+x4=.

解题模板　解决与三角函数有关的函数的零点问题,要充分运用函数的图象,一方面利用图象确定函数零点的范围、零点的个数,另一方面利用图象的对称性寻求函数零点间的关系,进而得出相关结论.