人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试精练

专题强化练1　利用基本不等式求最值

一、选择题

1.(2020山东聊城文苑中学高二月考,)将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合适(够用且浪费最少)的是              (　　)

A.6.5 m B.6.8 m C.7 m  D.7.2 m

2.()若正数a,b满足+=1,则+的最小值为　　 (　　)

A.3  B.4   C.5  D.6

3.()设a>b>0,则a2++的最小值是 (　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

4.(2020陕西吴起高中高二期末,)设x,y都是正数,且xy-(x+y)=1,则 (　　)

A.x+y≥2(+1) B.xy≤+1

C.x+y≤(+1)2   D.xy≥2(+1)

5.(2021江苏苏州新草桥中学高二月考,)正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是              (　　)

A.m≥3 B.m<3

C.m<6 D.m≥6

6.(2021山东新高考联盟高一联考,)已知1<m<,则+的最小值是 (　　)

A.3+9 B.+6      C.6+9   D.12

7.()已知x>0,y>0,2x-=-y,则2x+y的最小值为　　 (　　)

A. B.2 C.3 D.4

8.(2019广东茂名化州高三第一次模拟,)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为              (　　)

A. B.2    C. D.5

9.(多选)(2020山东莒县第一中学高一月考,)已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的值可能是 (　　)

A.    B.     C.      D.

二、填空题

10.(2021山东济宁兖州高一上期中,)已知a>b>0,且ab=4,则的最小值为　　　　. 

11.(2021湖南长沙长郡中学高二上入学考试,)已知a,b为正实数,且a+b+ab=3,则2a+b的最小值为　　　　. 

12.(2020浙江浙南名校联盟高一期末,)若实数a>1,b>2,且满足2a+b-6=0,则+的最小值为　　　　. 

三、解答题

13.(2021安徽安庆一中高一上期中,)已知实数x>0,y>0,且2xy=x+y+a(x2+y2)(a∈R).

(1)当a=0时,求x+4y的最小值,并指出取最小值时x,y的值;

(2)当a=时,求x+y的最小值,并指出取最小值时x,y的值.

14.()(1)设a>b>c,且+≥恒成立,求m的取值范围;

(2)记F=x+y-a(x+2),x>0,y>0,若对任意的x>0,y>0,恒有F≥0,请求出a的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.C　设直角三角形的框架的两条直角边长分别为x m,y m(x>0,y>0),则xy=4,设三角形框架的周长为C,则C=x+y+=x+y+,∵x+y≥2=4,∴C=x+y+≥4+2≈6.83,当且仅当x=y=2时,等号成立,故用7 m长的铁丝最合适.故选C.

2.B　∵a>0,b>0,+=1,

∴a>1,b>1,a+b=ab,

∴>0,>0,

∴+≥2

=2=4,

当且仅当=,即a=,b=3时,等号成立.故选B.

3. D　∵a>b>0,∴a-b>0,∴a2++=a2-ab+ab++=a(a-b)++ab+≥2+2=4,当且仅当a(a-b)=且ab=,即a=2b=时,等号成立.

故选D.

4.A　∵x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,

∴xy=1+(x+y)≥1+2(当且仅当x=y=1+时,等号成立),

即()2-2-1≥0,

解得≥1+,

即xy≥(1+)2.

xy=1+(x+y)≤(当且仅当x=y=1+时,等号成立),

即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,

解得x+y≥2(+1).故选A.

5.A　因为9a+b=ab,所以+=1,且a,b均为正数,

所以a+b=(a+b)=10++≥10+2=16,

当且仅当=,即a=4,b=12时取等号,所以(a+b)min=16,

若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,

则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立,

即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立,

因为-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,所以m≥3,故选A.

6.C　∵1<m<,∴m-1>0,4-3m>0,

∴+=[(3m-3)+(4-3m)]=9++≥9+6,

当且仅当=,且1<m<,

即m=时取等号.故选C.

7.C　2x-=-y⇒2x+y=+,

要求2x+y的最小值可以先求(2x+y)2的最小值.(2x+y)2=(2x+y)(2x+y)=(2x+y)·=2+++8=10++≥2+10=18当且仅当=,即y=4x=2时等号成立,则2x+y≥=3.

8.B　∵x+3y=5xy,x>0,y>0,

∴+=1,

∴3x+4y=(3x+4y)=++≥+2=5,

当且仅当=,即x=2y=1时等号成立,此时x+2y=2.故选B.

9.CD　由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x>0,则x<1且x≠0.

当0<x<1时,+=+=+=++≥+2=,

当且仅当=,即x=时取等号.

当x<0时,+=+=+=-++≥-+2=,

当且仅当=,即x=-2时取等号.

综上,+≥.故选CD.

二、填空题

10.答案　4

解析　∵a>b>0,∴a-b>0,又ab=4,

∴==a-b+=a-b+≥2=4,

即≥4,当且仅当a-b=,即a=+,b=-时取等号.

故答案为4.

11.答案　4-3

解析　由a+b+ab=3可得(a+1)(b+1)=4,

则2a+b=2(a+1)+(b+1)-3≥2-3=4-3,

当且仅当即时等号成立.

故答案为4-3.

12.答案　4

解析　∵a>1,b>2,且满足2a+b-6=0,

∴2(a-1)+b-2=2,a-1>0,b-2>0,

则+=[2(a-1)+b-2]×=

≥

=×(4+4)=4,

当且仅当=,且2a+b-6=0,即a=,b=3时,等号成立,则+的最小值为4.

故答案为4.

三、解答题

13.解析　(1)当a=0时,2xy=x+y,∴+=2,

∴x+4y=(x+4y)×=×≥5+2=,

当且仅当=且+=2,即y=,x=时取等号,

故x+4y的最小值为,此时x=,y=.

(2)当a=时,2xy=x+y+(x2+y2)=x+y+(x+y)2-xy,

∴3xy=x+y+(x+y)2≤3,解得x+y≥4,

当且仅当x=y且2xy=x+y+(x2+y2),即x=y=2时取等号,

故x+y的最小值为4,此时x=2,y=2.

14.解析　(1)由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0,

所以原不等式等价于+≥m.

要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.

因为+=+=2++

≥2+2=4,

当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立,

所以m≤4.

(2)由F≥0,得x+y≥a(x+2).

因为x>0,y>0,所以a≤恒成立,

所以a小于或等于的最小值.

又≥=,当且仅当x=2y时,等号成立,

所以a≤.