人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课后测评

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课后测评，共11页。试卷主要包含了单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式x2≥2x的解集是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}
2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 (　　)
A.M>N B.M≥N C.M 3.已知实数0 A.a2>1a>a>-a B.a>a2>1a>-a
C.1a>a>a2>-a D.1a>a2>a>-a
4.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)x-1a<0的解集为(　　)
A.x|x1a B.{x|x>a}
C.x|x>a或x<1a D.x|x<1a
5.关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是 (　　)
A.-1 6.已知a,b,c∈R,则下列说法中错误的是 (　　)
A.a>b⇒ac2≥bc2
B.ac>bc,c<0⇒a C.a3>b3,ab>0⇒1a<1b
D.a2>b2,ab>0⇒1a<1b
7.已知x>0,y>0,且1x+3+1y=12,则x+y的最小值为 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
8.设正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值是 (　　)
A.0 B.1 C.94 D.3
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-12 A.a>0 B.b>0
C.c>0 D.a+b+c>0
10.设a,b为非零实数,且a A.a2>ab B.a2 C.1ab2<1a2b D.a3 11.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<1x<1y.其中能成为x>y的充分条件的是 (　　)
A.① B.②
C.③ D.④
12.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 (　　)
A.a2+b2≥8
B.1ab≥14
C.ab≥2
D.1a+1b≤1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.已知a>b,a-1a>b-1b同时成立,则ab应满足的条件是　　　　.
14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为x|13 15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3,若对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是　　　　.
16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使ax02+2x0+b=0成立,则a2+b2a-b的最小值为　　　　.

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)解下列不等式(组):
(1)x(x+2)>0,x2<1;
(2)6-2x≤x2-3x<18.

18.(本小题满分12分)已知a>0,b>0,且(a+b)ab=1.
(1)求1a3+1b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.

19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0,命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;
(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.

20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.

21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2

22.(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,预计在一年内的销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式;
(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?

答案全解全析
一、单项选择题
1.D　由x2≥2x得x(x-2)≥0,解得x≤0或x≥2,故选D.
2.A　M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=a+122+34>0,∴M>N.故选A.
3.C　∵01,-1<-a<0,
0a>a2>-a.故选C.
4.A　∵a<-1,∴a(x-a)x-1a<0⇔(x-a)·x-1a>0.
∵a<-1,∴1a>a,∴x>1a或x1a,故选A.
5.A　当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然成立;
当m≠0时,原不等式恒成立需满足m<0,Δ=4m2+4m<0,解得-1 综上可得原不等式恒成立的充要条件为-1 结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分不必要条件是-1 6.D　对于A,c2≥0,则由a>b可得ac2≥bc2,故A中说法正确;
对于B,由ac>bc,得ac-bc=a-bc>0,当c<0时,有a-b<0,则a 对于C,∵a3>b3,ab>0,∴a3>b3两边同乘1a3b3,得到1b3>1a3,∴1a<1b,故C中说法正确;
对于D,∵a2>b2,ab>0,∴a2>b2两边同乘1a2b2,得到1b2>1a2,不一定有1a<1b,故D中说法错误.故选D.
7.A　解法一:由题意得,21x+3+1y=1,
∴x+y=(x+3)+y-3
=21x+3+1y[(x+3)+y]-3
=2+2yx+3+2(x+3)y+2-3
=2yx+3+2(x+3)y+1
≥22yx+3·2(x+3)y+1
=5,
当且仅当2yx+3=2(x+3)y,且1x+3+1y=12,
即x=1,y=4时等号成立,∴x+y的最小值为5.
解法二:∵x>0,y>0,∴x+1>0,
由1x+3+1y=12得y=2x+6x+1,
∴x+y=x+2x+6x+1=x+2(x+1)+4x+1=x+2+4x+1=(x+1)+4x+1+1≥2(x+1)·4x+1+1=5,
当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,
∴x+y的最小值为5.
8.B　由题意得xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14-3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x+1y-2z=-1y2+2y=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.
二、多项选择题
9.BCD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-120,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.
10.CD　对于A,当a=2,b=3时,a 对于B,当a=-2,b=1时,a12,故B中不等式不一定成立;
对于C,∵a 对于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·a+12b2+34b2,∵a 又a+12b2+34b2>0,∴a3 11.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,
因此xt2>yt2是x>y的充分条件.
②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xt>yt不是x>y的充分条件.
③令x=-2,y=1,则x2>y2,但xy2不是x>y的充分条件.
④由0<1x<1y可得,x>0,y>0,1x-1y<0,即y-xxy<0,所以y-x<0,所以x>y,因此0<1x<1y是x>y的充分条件.
故选AD.
12.AB　因为a>0,b>0,且a+b=4,
所以a2+b2≥(a+b)22=8,即a2+b2≥8恒成立,故A正确;
由ab≤a+b2=2得,0 由1a+1b=a+bab=4ab,0 三、填空题
13.答案　ab<-1或ab>0
解析　因为a-1a>b-1b,所以a-1a-b-1b=(a-b)(ab+1)ab>0.
又a>b,即a-b>0,所以ab+1ab>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.
14.答案　-6;-1
解析　由题意知a<0,且关于x的方程ax2+5x+c=0的两个根分别为13,12,由根与系数的关系得-5a=13+12,ca=13×12,解得a=-6,c=-1.
15.答案　{m|1≤m<19}
解析　①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.
若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x不可能恒大于0;
若m=1,则y=3>0恒成立.
②当m2+4m-5≠0时,根据题意得,m2+4m-5>0,16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0,
∴m<-5或m>1,1 综上可知,1≤m<19.
16.答案　22
解析　已知不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合
题意;
当a≠0时,依题意知a>0,4-4ab≤0⇒a>0,ab≥1.
又存在x0∈R,使ax02+2x0+b=0成立,
∴4-4ab≥0⇒ab≤1,
因此ab=1,且a>0,从而b>0.
又∵a>b,∴a-b>0,
∴a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b
=(a-b)+2a-b≥22,
当且仅当a-b=2,即a=6+22,b=6-22时,等号成立.
四、解答题
17.解析　(1)由x(x+2)>0,x2<1,
得x<-2或x>0,-1 所以原不等式组的解集为{x|0 (2)由6-2x≤x2-3x<18,
得6-2x≤x2-3x,x2-3x<18,
即x2-x-6≥0,x2-3x-18<0, (7分)
所以x≤-2或x≥3,-3 所以-3 所以原不等式的解集为{x|-3 18.解析　∵a>0,b>0,且(a+b)ab=1,
∴a+b=1ab, (1分)
又a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号), (2分)
∴1ab≥2ab,∴ab≤12. (3分)
(1)1a3+1b3≥21a3·1b3=2abab≥42,
当且仅当a=b时取等号. (6分)
(2)∵a>0,b>0,∴12a+13b≥212a·13b=26ab≥233,当且仅当2a=3b时等号成立. (10分)
∵63<233,∴不存在a,b,使得12a+13b的值为63. (12分)
19.解析　(1)若命题p为真命题,则x2>3-2m对x∈R恒成立,因此3-2m<0,解得m>32.
因此,实数m的取值范围是m|m>32. (4分)
(2)若命题q为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m2-m-2>0,解得m<-1或m>2.
因此,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>2}. (8分)
(3)若命题p,q至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m∈m|m>32∪{m|m<-1或m>2}=m|m<-1或m>32. (12分)
20.解析　(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.
∵DNAN=DCAM,∴AM=3(x+2)x,
∴S矩形AMPN=AN·AM=3(x+2)2x. (4分)
由S矩形AMPN>32,得3(x+2)2x>32,
又x>0,∴3x2-20x+12>0,
解得06, (7分)
即DN的长(单位:米)的取值范围是x06. (8分)
(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y=3(x+2)2x=3x2+12x+12x=3x+12x+12≥23x·12x+12=24, (10分)
当且仅当3x=12x,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y取得最小值24. (11分)
故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米. (12分)
21.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对一切实数x恒成立.
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;(3分)
当a≠0时,由题意得a>0,(1-a)2-4a2≤0,
解得a≥13. (5分)
所以实数a的取值范围是a|a≥13. (6分)
(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2 当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}; (7分)
当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-1a<1,
所以不等式的解集为x-1a 当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为{x|x≠1}; (9分)
②当-11,不等式的解集为x|x<1或x>-1a; (10分)
③当a<-1时,-1a<1,不等式的解集为x|x<-1a或x>1. (11分)
综上所述,当a<-1时,不等式的解集为x|x<-1a或x>1;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1-1a;当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为x-1a 22.解析　(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为32Q+3Q×150%+xQ×50%万元,
∴年销售收入为32Q+3Q×150%+xQ×50%·Q=32(32Q+3)+12x, (4分)
∴W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x
=12(32Q+3)-12x=12(32Q+3-x)
=-x2+98x+352(x+1)(x≥0). (7分)
(2)由(1)得,W=-x2+98x+352(x+1)=-(x+1)2+100(x+1)-642(x+1)=-x+12-32x+1+50. (9分)
∵x+1≥1,∴x+12+32x+1≥2x+12·32x+1=8, (10分)
∴W≤42,当且仅当x+12=32x+1,即x=7时,W有最大值42,即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.(12分)

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