高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算导学案，共11页。


知识点 导数的运算法则
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).
1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋cs \f(π,4)))′＝ex.( √ )
2．函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( √ )
3．当g(x)≠0时，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,gx)))′＝eq \f(－g′x,g2x).( √ )
一、利用运算法则求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,5)x5＋eq \f(4,3)x3；
(2)y＝3x2＋xcs x；
(3)y＝eq \f(x,1＋x)；
(4)y＝lg x－ex；
(5)y＝(eq \r(x)＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－1)).
解 (1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x5＋\f(4,3)x3))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x5))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)x3))′＝x4＋4x2.
(2)y′＝(3x2＋xcs x)′＝(3x2)′＋(xcs x)′＝6x＋x′cs x＋x(cs x)′＝6x＋cs x－xsin x.
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,1＋x)))′＝eq \f(x′1＋x－x1＋x′,1＋x2)＝eq \f(1＋x－x,1＋x2)＝eq \f(1,1＋x2).
(4)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝eq \f(1,xln 10)－ex.
(5)y′＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(x)＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－1))))′
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－\r(x)))′
＝－eq \f(1,2\r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x))).
反思感悟 利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x；
(2)y＝eq \f(ln x,x2)；
(3)y＝eq \f(ex,x)；
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解 (1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋x·eq \f(1,x)
＝2x＋ln x＋1.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x,x2)))′＝eq \f(ln x′·x2－ln xx2′,x4)
＝eq \f(\f(1,x)·x2－2xln x,x4)
＝eq \f(1－2ln x,x3).
(3)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex,x)))′＝eq \f(ex′x－exx′,x2)＝eq \f(ex·x－ex,x2).
(4)方法一 y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二 ∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
二、利用运算法则求曲线的切线
例2 (1)曲线y＝eq \f(sin x,sin x＋cs x)－eq \f(1,2)在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 y′＝eq \f(cs xsin x＋cs x－sin xcs x－sin x,sin x＋cs x2)＝eq \f(1,sin x＋cs x2)，故＝eq \f(1,2)，
∴曲线在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为eq \f(1,2).
(2)已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
①求a，b的值；
②如果曲线y＝f(x)的切线与直线y＝－eq \f(1,4)x＋3垂直，求切线的方程．
解 ①f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
②∵切线与直线y＝－eq \f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，
即y＝4x－18或y＝4x－14.
反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练2 (1)曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝5x－4
C．y＝－5x＋6 D．y＝x－1
答案 C
解析 由y＝x3－4x2＋4，得y′＝3x2－8x，
y′|x＝1＝3－8＝－5，
所以曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为y－1＝－5(x－1)，即y＝－5x＋6.
(2)已知函数f(x)＝eq \f(aln x,x＋1)＋eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．
答案 1,1
解析 f′(x)＝eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)－ln x)),x＋12)－eq \f(b,x2).
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq \f(1,2)，且过点(1,1)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))
三、与切线有关的综合问题
例3 (1)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D．2
答案 B
解析 设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴＝ln x0＋1＝1，
解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝eq \f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2)，
即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是eq \f(\r(2),2).
(2)设曲线 y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
答案 eq \f(2,e)
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝a(x－1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为f′(1)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
所以f′(1)＝2.
因为f(x)＝a(x－1)ex，
所以f′(x)＝aex ＋a(x－1)ex＝axex，
所以f′(1)＝ae，故a＝eq \f(2,e).
反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3 求曲线y＝eq \f(2,e)(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积．
解 由题意可知，y′＝eq \f(2,e)x·ex，y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝eq \f(2,e)(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A.eq \f(19,3) B.eq \f(16,3) C.eq \f(13,3) D.eq \f(10,3)
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝eq \f(10,3).
2．设函数y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excs x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cs x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excs x)
＝－2ex(sin x＋cs x)．
3．若函数f(x)＝eq \f(1,2) f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 因为f(x)＝eq \f(1,2) f′(－1)x2－2x＋3，
所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.
4．已知f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝eq \f(ln x′·x－ln x·x′,x2)
＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x,x2)
＝eq \f(1－ln x,x2)，
所以f′(1)＝1.
5．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))cs x＋sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
答案 1
解析 ∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sin x＋cs x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sin x，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
1．知识清单：
(1)导数的运算法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．(多选)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′－x2′,x2)
D．(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′
答案 AD
解析 A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,x2)))′＝eq \f(sin x′x2－sin xx2′,x22)，故错误；
D项中，(cs x·sin x)′＝(cs x)′sin x＋cs x(sin x)′，故正确．
2．函数f(x)＝excs x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B.eq \f(π,4) C．1 D.eq \f(π,2)
答案 B
解析 对函数求导得f′(x)＝ex(cs x－sin x)，∴f′(0)＝1，∴函数f(x)＝excs x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为eq \f(π,4).
3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e C.eq \f(ln 2,2) D．ln 2
答案 B
解析 ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
答案 B
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
5．(多选)当函数y＝eq \f(x2＋a2,x)(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0可以是( )
A．a B．0 C．－a D．a2
答案 AC
解析 y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋a2,x)))′＝eq \f(2x·x－x2＋a2,x2)＝eq \f(x2－a2,x2)，
由xeq \\al(2,0)－a2＝0得x0＝±a.
6．已知f(x)＝eq \f(sin x,1＋cs x)，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 因为f′(x)
＝eq \f(sin x′1＋cs x－sin x1＋cs x′,1＋cs x2)
＝eq \f(cs x1＋cs x－sin x－sin x,1＋cs x2)
＝eq \f(cs x＋cs2x＋sin2x,1＋cs x2)
＝eq \f(cs x＋1,1＋cs x2)
＝eq \f(1,1＋cs x).
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(1,1＋cs \f(π,3))＝eq \f(2,3).
7．已知f(x)＝eq \f(ex,x)，则f′(1) ＝________，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0＝________.
答案 0 eq \f(1,2)
解析 因为f′(x)＝eq \f(ex′x－exx′,x2)＝eq \f(exx－1,x2)(x≠0)．
所以f ′(1)＝0.
由f′(x0)＋f(x0)＝0，得
解得x0＝eq \f(1,2).
8．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
答案 y＝x
解析 ∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cs x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
9．若曲线y＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解 ∵y＝x2－ax＋ln x，∴y′＝2x－a＋eq \f(1,x)，
由题意可知，存在实数x>0使得2x－a＋eq \f(1,x)＝0，
即a＝2x＋eq \f(1,x)成立，
∴a＝2x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(2)(当且仅当2x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(\r(2),2)时等号成立)．
∴a的取值范围是[2eq \r(2)，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解 (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excs x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cs 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．已知曲线f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则实数a等于( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
答案 C
解析 ∵f′(x)＝eq \f(2xx＋1－x2＋a,x＋12)＝eq \f(x2＋2x－a,x＋12)，
又f′(1)＝tan eq \f(3π,4)＝－1，∴a＝7.
12．已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．－eq \f(3,2) D．－1
答案 C
解析 因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，
所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·eq \f(1,x)，
所以f′(1)＝1＋a.
又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，
所以f′(1)＝－eq \f(1,2)，所以a＝－eq \f(3,2)，故选C.
13．已知函数f(x)＝f′(－1)eq \f(x2,2)－2x＋3，则f(－1)的值为________．
答案 eq \f(9,2)
解析 ∵f′(x)＝f′(－1)·x－2，
∴f′(－1)＝－f′(－1)－2，
解得f′(－1)＝－1.
∴f(x)＝－eq \f(x2,2)－2x＋3，
∴f(－1)＝eq \f(9,2).
14．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点坐标为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x(x>0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，))
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
15．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.
答案 212
解析 因为f′(x)＝(x)′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，
所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，
所以f′(0)＝84＝212.
16．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点坐标为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝eq \f(5,2)，c＝－eq \f(9,2).
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(5,2)x4－eq \f(9,2)x2＋1.