高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义第2课时学案，共11页。学案主要包含了求切线方程，求切点坐标，利用图象理解导数的几何意义等内容，欢迎下载使用。


知识点一 导数的几何意义
1．割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知识点二 导函数的定义
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
特别提醒：
1．函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数．( √ )
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．( √ )
3．函数f(x)＝0没有导数．( × )
4．直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( × )
一、求切线方程
例1 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋x.
(1)求曲线C在点(1,2)处切线的方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
解 因为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(x＋Δx3＋x＋Δx－x3－x,Δx)＝3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2，
所以f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋1＋(Δx)2]＝3x2＋1.
(1)曲线C在点(1,2)处切线的斜率为k＝f′(1)＝3×12＋1＝4.所以曲线C在点(1,2)处的切线方程为
y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
(2)曲线C在任意一点处切线的斜率为k＝f′(x)＝tan α，
所以tan α＝3x2＋1≥1.
又α∈[0，π)，
所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
答案 －3
解析 ∵y′|x＝2＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(2＋Δx2＋1－22－1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
二、求切点坐标
例2 过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
解 f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x，
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，
即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·eq \f(1,3)＝－1，
得x0＝－eq \f(3,2)，y0＝eq \f(9,4)，
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,4)))是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，
得x0＝－eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4)，
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))是满足条件的点．
反思感悟 求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标．
(2)利用导数或斜率公式求出斜率．
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
跟踪训练2 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
解 对于曲线f(x)＝x2－1，
k1＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0.
对于曲线g(x)＝1－x3，
k2＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(gx0＋Δx－gx0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(1－x0＋Δx3－1－x\\al(3,0),Δx)＝－3xeq \\al(2,0).
由题意得2x0＝－3xeq \\al(2,0)，
解得x0＝0或x0＝－eq \f(2,3).
经检验，均符合题意．
三、利用图象理解导数的几何意义
例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A．0B．0C．0D．0答案 C
解析 kAB＝eq \f(f3－f2,3－2)＝f(3)－f(2)，
f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案 A
解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
过某点的曲线的切线
典例 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
解 设切点为(x0，xeq \\al(2,0)＋x0＋1)，
则切线的斜率为
k＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx2＋x0＋Δx＋1－x\\al(2,0)＋x0＋1,Δx)
＝2x0＋1.
又k＝eq \f(x\\al(2,0)＋x0＋1－0,x0－－1)＝eq \f(x\\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1)，
∴2x0＋1＝eq \f(x\\al(2,0)＋x0＋1,x0＋1).
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
[素养提升] (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．
(2)过点(x1，y1)与曲线y＝f(x)相切的直线方程的求法步骤
①设切点(x0，f(x0))．
②建立方程f′(x0)＝eq \f(y1－fx0,x1－x0).
③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( )
A．4 B．－4 C．－2 D．2
答案 D
解析 由导数的几何意义知f′(1)＝2.
2．(多选)下面说法不正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案 ABD
解析 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
3．曲线f(x)＝eq \f(9,x)在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A．45° B．60° C．135° D．120°
答案 C
解析 f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝9eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝－9eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(1,x＋Δxx)＝－eq \f(9,x2)，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°，所以所求倾斜角为135°.
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
答案 (3,30)
解析 令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0,2xeq \\al(2,0)＋4x0)，
则f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
5．已知直线y＝4x＋a(a<0)和曲线y＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为________，实数a的值为________．
答案 (2,3) －5
解析 设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3,Δx)＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－4x0＝4，
解得x0＝－eq \f(2,3)或x0＝2，
∴切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))或(2,3)．
当切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(49,27)))时，有eq \f(49,27)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋a，
∴a＝eq \f(121,27)(舍去)．
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
因此切点坐标为 (2,3)，a的值为－5.
1．知识清单：
(1)导数的几何意义．
(2)导函数的概念．
(3)切线方程．
2．方法归纳：方程思想、数形结合．
3．常见误区：切线过某点，这点不一定是切点．
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案 B
解析 因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
答案 C
解析 k＝y′|x＝2＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(22＋Δx2－2×22,Δx)＝8.
3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
答案 A
解析 设切点为(x0，y0)，
因为f′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A.
4．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
答案 D
解析 由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
5．(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为eq \f(π,4)的是( )
A．(0,0) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)
答案 BC
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
则＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx3－2x0＋Δx－x\\al(3,0)－2x0,Δx)
＝3xeq \\al(2,0)－2＝tan eq \f(π,4)＝1，
所以x0＝±1，
当x0＝1时，y0＝－1.
当x0＝－1时，y0＝1.
6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________.
答案 3
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
7．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．
答案 2
解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.
又切线在y轴上的截距为－1，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，
从而可得切点坐标为(1,3)，
所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.
8．设f(x)存在导函数，且满足eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为______．
答案 －1
解析 eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1－f1－2Δx,2Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f1－2Δx－f1,－2Δx)
＝f′(1)＝－1.
9．在抛物线y＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解 y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝xeq \\al(2,0)＝4，即P(2,4)，经检验，符合题意．
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则＝2x1＝－eq \f(1,4)，解得x1＝－eq \f(1,8)，
所以y1＝xeq \\al(2,1)＝eq \f(1,64)，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,64)))，经检验，符合题意．
故抛物线y＝x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，\f(1,64)))处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
10．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程．
解 因为y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2＋x－2,Δx)＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，
所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，xeq \\al(2,0)＋x0－2)，
则直线l2的方程为y－(xeq \\al(2,0)＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－eq \f(1,3)，x0＝－eq \f(2,3)，
所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0.
11．若曲线y＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 y＝x＋eq \f(1,x)上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为
k＝＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx＋\f(1,x0＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,x0))),Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x\\al(2,0)＋x0Δx)))＝1－eq \f(1,x\\al(2,0))<1.
即k<1.
12．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________.
答案 1 2
解析 由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(a1＋Δx2＋b－a＋b,Δx)＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2.
13．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
答案 eq \f(7\r(2),8)
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝2x＝1，解得x＝eq \f(1,2)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))，故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq \f(7\r(2),8).
14．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
答案 4
解析 y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝2x－1，
在点P处的切线斜率为2×(－2)－1＝－5.
因为点P的横坐标是－2，
所以点P的纵坐标是6＋c，
故直线OP的斜率为－eq \f(6＋c,2)，
根据题意有－eq \f(6＋c,2)＝－5，解得c＝4.
15．已知函数f(x)＝x3，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．
答案 y＝0或3x－y－2＝0
解析 设切点为Q(x0，xeq \\al(3,0))，得切线的斜率为
k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx3－x\\al(3,0),Δx)＝3xeq \\al(2,0)，
切线方程为y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq \\al(2,0)x－2xeq \\al(3,0).
因为切线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))，
所以2xeq \\al(2,0)－2xeq \\al(3,0)＝0，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或3x－y－2＝0.
16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
解 设P(x0，y0)，则y0＝xeq \\al(2,0)＋1，
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))＝eq \f(x0＋Δx2＋1－x\\al(2,0)＋1,Δx)＝2x0，
所以过点P的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－xeq \\al(2,0)，
而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x0x＋1－x\\al(2,0)，,y＝－2x2－1，))
得2x2＋2x0x＋2－xeq \\al(2,0)＝0，
则Δ＝4xeq \\al(2,0)－8(2－xeq \\al(2,0))＝0，
解得x0＝±eq \f(2\r(3),3)，则y0＝eq \f(7,3)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，\f(7,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(7,3))).区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数