还剩9页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算学案设计
展开
这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算学案设计，共12页。学案主要包含了求复合函数的导数，与切线有关的综合问题等内容，欢迎下载使用。
知识点 复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考 函数y＝lg2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
答案 函数y＝lg2(x＋1)是由y＝lg2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
1．y＝cs 3x由函数y＝cs u，u＝3x复合而成．( √ )
2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cs 2x.( × )
3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.( √ )
一、求复合函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,1－3x4)；
(2)y＝cs(x2)；
(3)y＝lg2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
解 (1)令u＝1－3x，则y＝eq \f(1,u4)＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝eq \f(12,1－3x5).
(2)令u＝x2，则y＝cs u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)设y＝lg2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′ux′＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,2x＋1ln 2).
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
解 (1)
设y＝u＝1－2x，
则y′x＝
(2)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2).
(3) 设y＝sin u，u＝2x＋eq \f(π,3)，
则yx′＝(sin u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))′＝cs u·2＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
二、复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(ln 3x,ex)；
(2)y＝xeq \r(1＋x2)；
(3)y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
解 (1)∵(ln 3x)′＝eq \f(1,3x)×(3x)′＝eq \f(1,x)，
∴y′＝eq \f(ln 3x′ex－ln 3xex′,ex2)
＝eq \f(\f(1,x)－ln 3x,ex)＝eq \f(1－xln 3x,xex).
(2)y′＝(xeq \r(1＋x2))′＝x′eq \r(1＋x2)＋x(eq \r(1＋x2))′
＝eq \r(1＋x2)＋eq \f(x2,\r(1＋x2))
＝eq \f(1＋2x2\r(1＋x2),1＋x2).
(3)∵y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
＝x(－sin 2x)cs 2x＝－eq \f(1,2)xsin 4x，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xsin 4x))′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(x,2)cs 4x·4
＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x.
反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝sin2eq \f(x,3)；
(2)y＝sin3x＋sin x3；
(3)y＝xln(1＋x)．
解 (1)方法一 ∵y＝eq \f(1－cs \f(2,3)x,2)，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(cs \f(2,3)x,2)))′＝eq \f(1,3)sin eq \f(2,3)x.
方法二 y′＝2sin eq \f(x,3)cs eq \f(x,3)·eq \f(1,3)
＝eq \f(2,3)sin eq \f(x,3)cs eq \f(x,3)
＝eq \f(1,3)sin eq \f(2,3)x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcs x＋cs x3·3x2
＝3sin2xcs x＋3x2cs x3.
(3)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′
＝ln(1＋x)＋eq \f(x,1＋x).
三、与切线有关的综合问题
例3 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0
答案 A
解析 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝eq \f(2,2x－1)，
∴＝eq \f(2,2x0－1)＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).
(2)设f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在(0,0)点相切．求a，b的值．
解 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，
得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，
则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0.
反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．
(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \f(k＋ln x,ex)(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为 ．
答案 1
解析 由f(x)＝eq \f(ln x＋k,ex)，
得f′(x)＝eq \f(1－kx－xln x,xex)，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ．
答案 2 eq \f(1,4)
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.
因为f(x)＝eax，
所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，
所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－eq \f(1,2).
∴S＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,4).
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn
答案 AD
2．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于( )
A．3(2 020－8x)2 B．－24x
C．－24(2 020－8x)2 D．24(2 020－8x)2
答案 C
解析 y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′
＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.
3．函数y＝x2cs 2x的导数为( )
A．y′＝2xcs 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cs 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcs 2x＋2x2sin 2x
答案 B
解析 y′＝(x2)′cs 2x＋x2(cs 2x)′
＝2xcs 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcs 2x－2x2sin 2x.
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝ .
答案 eq \f(3,2)
解析 ∵f′(x)＝eq \f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq \f(3,3－1)＝eq \f(3,2).
5．曲线 y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为 ．
答案 x＋y－1＝0
解析 ∵y′＝eq \f(－1,2－x)＝eq \f(1,x－2)，
∴y′| x＝1＝eq \f(1,1－2)＝－1，即切线的斜率是k＝－1，
又切点坐标为(1,0)．
∴y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，
即x＋y－1＝0.
1．知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4
答案 BCD
解析 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
其中B由y＝cs u，u＝x＋eq \f(π,4)复合而成；
C由y＝eq \f(1,u)，u＝ln x复合而成；
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5)
C．2xln(2x＋5) D.eq \f(x,2x＋5)
答案 B
解析 ∵y＝xln(2x＋5)，
∴y′＝ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5).
3．函数y＝x3ecs x的导数为( )
A．y′＝3x2ecs x＋x3ecs x
B．y′＝3x2ecs x－x3ecs xsin x
C．y′＝3x2ecs x－x3esin x
D．y′＝3x2ecs x＋x3ecs xsin x
答案 B
解析 y′＝(x3)′ecs x＋x3(ecs x)′＝3x2ecs x＋x3ecs x·(cs x)′＝3x2ecs x－x3ecs xsin x.
4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
答案 C
解析 ∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，
∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C.
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
6．函数y＝sin 2xcs 3x的导数是 ．
答案 y′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x
解析 ∵y＝sin 2xcs 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cs 3x＋sin 2x(cs 3x)′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x.
7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))sin 3x＋cs 3x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝ .
答案 3eq \r(3)
解析 ∵f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))sin 3x＋cs 3x，
∴f′(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))·3cs 3x－3sin 3x，
令x＝eq \f(π,9)可得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))×3cs eq \f(π,3)－3sin eq \f(π,3)
＝eq \f(3,2) f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))－3×eq \f(\r(3),2)，
解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝3eq \r(3).
8．点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是 ，此时点P的坐标为 ．
答案 eq \f(7\r(2),8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))
解析 与直线y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短．
设切点为(x0，y0)，
则f′(x0)＝2(x0＋1)＝1，∴x0＝－eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4).
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(－12＋12))＝eq \f(7\r(2),8).
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cs 4x.
解 (1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq \f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq \f(ex＋2x,ex＋x2).
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)∵y＝sin4x＋cs4x＝(sin2x＋cs2x)2－2sin2 x·cs2 x＝1－eq \f(1,2)sin2 2x＝1－eq \f(1,4)(1－cs 4x)
＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cs 4x.
∴y′＝－sin 4x.
10．曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．
解 ∵y＝esin x，
∴y′＝esin xcs x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，
故直线l可设为x－y＋m＝0.
由eq \f(|m－1|,\r(1＋－12))＝eq \r(2)得m＝－1或3.
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1
答案 A
解析 依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
12．(多选)已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D. eq \f(7π,8)
答案 CD
解析 因为y＝eq \f(4,ex＋1)，
所以y′＝eq \f(－4ex,ex＋12)＝eq \f(－4ex,e2x＋2ex＋1)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).
因为ex>0，
所以ex＋eq \f(1,ex)≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，
所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
13．设函数f(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝ .
答案 eq \f(π,6)
解析 ∵f′(x)＝－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)，
令g(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)，
∵其为奇函数，
∴g(0)＝0，即cs φ－eq \r(3)sin φ＝0，
∴tan φ＝eq \f(\r(3),3)，
又0<φ<π，
∴φ＝eq \f(π,6).
14．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是 ．
答案 y＝－2x－1
解析 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝eq \f(1,x)－3，f′(1)＝－2，
所以切线方程为y＝－2x－1.
15．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1＋x)，则f′(x)等于( )
A.eq \f(1,1＋x) B．－eq \f(1,1＋x)
C.eq \f(1,1＋x2) D．－eq \f(1,1＋x2)
答案 D
解析 由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1＋x)＝eq \f(1,\f(1,x)＋1)，
得f(x)＝eq \f(1,x＋1)，
从而f′(x)＝－eq \f(1,1＋x2)，故选D.
16．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))；
(2)在曲线y＝eq \f(1,1＋x2)上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
解 (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcs πx
＝πeπx(sin πx＋cs πx)．
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知
又y′＝eq \f(－2x,1＋x22)，
∴＝eq \f(－2x0,1＋x\\al(2,0)2)＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.
知识点 复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考 函数y＝lg2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
答案 函数y＝lg2(x＋1)是由y＝lg2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
1．y＝cs 3x由函数y＝cs u，u＝3x复合而成．( √ )
2．函数f(x)＝sin(2x)的导数为f′(x)＝cs 2x.( × )
3．函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x－1.( √ )
一、求复合函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,1－3x4)；
(2)y＝cs(x2)；
(3)y＝lg2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
解 (1)令u＝1－3x，则y＝eq \f(1,u4)＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝eq \f(12,1－3x5).
(2)令u＝x2，则y＝cs u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)设y＝lg2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′ux′＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,2x＋1ln 2).
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′
＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
解 (1)
设y＝u＝1－2x，
则y′x＝
(2)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2).
(3) 设y＝sin u，u＝2x＋eq \f(π,3)，
则yx′＝(sin u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))′＝cs u·2＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
二、复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(ln 3x,ex)；
(2)y＝xeq \r(1＋x2)；
(3)y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
解 (1)∵(ln 3x)′＝eq \f(1,3x)×(3x)′＝eq \f(1,x)，
∴y′＝eq \f(ln 3x′ex－ln 3xex′,ex2)
＝eq \f(\f(1,x)－ln 3x,ex)＝eq \f(1－xln 3x,xex).
(2)y′＝(xeq \r(1＋x2))′＝x′eq \r(1＋x2)＋x(eq \r(1＋x2))′
＝eq \r(1＋x2)＋eq \f(x2,\r(1＋x2))
＝eq \f(1＋2x2\r(1＋x2),1＋x2).
(3)∵y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
＝x(－sin 2x)cs 2x＝－eq \f(1,2)xsin 4x，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xsin 4x))′＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(x,2)cs 4x·4
＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x.
反思感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝sin2eq \f(x,3)；
(2)y＝sin3x＋sin x3；
(3)y＝xln(1＋x)．
解 (1)方法一 ∵y＝eq \f(1－cs \f(2,3)x,2)，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(cs \f(2,3)x,2)))′＝eq \f(1,3)sin eq \f(2,3)x.
方法二 y′＝2sin eq \f(x,3)cs eq \f(x,3)·eq \f(1,3)
＝eq \f(2,3)sin eq \f(x,3)cs eq \f(x,3)
＝eq \f(1,3)sin eq \f(2,3)x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcs x＋cs x3·3x2
＝3sin2xcs x＋3x2cs x3.
(3)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′
＝ln(1＋x)＋eq \f(x,1＋x).
三、与切线有关的综合问题
例3 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0
答案 A
解析 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝eq \f(2,2x－1)，
∴＝eq \f(2,2x0－1)＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).
(2)设f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在(0,0)点相切．求a，b的值．
解 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，
得f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，
则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．
由题意，得eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0.
反思感悟 (1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件．
(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \f(k＋ln x,ex)(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为 ．
答案 1
解析 由f(x)＝eq \f(ln x＋k,ex)，
得f′(x)＝eq \f(1－kx－xln x,xex)，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝ .该切线与坐标轴围成的面积为 ．
答案 2 eq \f(1,4)
解析 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，
又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.
因为f(x)＝eax，
所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，
所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－eq \f(1,2).
∴S＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,4).
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn
答案 AD
2．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于( )
A．3(2 020－8x)2 B．－24x
C．－24(2 020－8x)2 D．24(2 020－8x)2
答案 C
解析 y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′
＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.
3．函数y＝x2cs 2x的导数为( )
A．y′＝2xcs 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcs 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cs 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcs 2x＋2x2sin 2x
答案 B
解析 y′＝(x2)′cs 2x＋x2(cs 2x)′
＝2xcs 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcs 2x－2x2sin 2x.
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝ .
答案 eq \f(3,2)
解析 ∵f′(x)＝eq \f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq \f(3,3－1)＝eq \f(3,2).
5．曲线 y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为 ．
答案 x＋y－1＝0
解析 ∵y′＝eq \f(－1,2－x)＝eq \f(1,x－2)，
∴y′| x＝1＝eq \f(1,1－2)＝－1，即切线的斜率是k＝－1，
又切点坐标为(1,0)．
∴y＝ln(2－x)在点(1,0)处的切线方程为y＝－(x－1)，
即x＋y－1＝0.
1．知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4
答案 BCD
解析 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
其中B由y＝cs u，u＝x＋eq \f(π,4)复合而成；
C由y＝eq \f(1,u)，u＝ln x复合而成；
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5)
C．2xln(2x＋5) D.eq \f(x,2x＋5)
答案 B
解析 ∵y＝xln(2x＋5)，
∴y′＝ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5).
3．函数y＝x3ecs x的导数为( )
A．y′＝3x2ecs x＋x3ecs x
B．y′＝3x2ecs x－x3ecs xsin x
C．y′＝3x2ecs x－x3esin x
D．y′＝3x2ecs x＋x3ecs xsin x
答案 B
解析 y′＝(x3)′ecs x＋x3(ecs x)′＝3x2ecs x＋x3ecs x·(cs x)′＝3x2ecs x－x3ecs xsin x.
4．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．2 D．1
答案 C
解析 ∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，
∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，故选C.
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x0＋a)＝1，,x0＋1＝lnx0＋a，))
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
6．函数y＝sin 2xcs 3x的导数是 ．
答案 y′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x
解析 ∵y＝sin 2xcs 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cs 3x＋sin 2x(cs 3x)′＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x.
7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))sin 3x＋cs 3x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝ .
答案 3eq \r(3)
解析 ∵f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))sin 3x＋cs 3x，
∴f′(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))·3cs 3x－3sin 3x，
令x＝eq \f(π,9)可得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))×3cs eq \f(π,3)－3sin eq \f(π,3)
＝eq \f(3,2) f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))－3×eq \f(\r(3),2)，
解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,9)))＝3eq \r(3).
8．点P是f(x)＝(x＋1)2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是 ，此时点P的坐标为 ．
答案 eq \f(7\r(2),8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))
解析 与直线y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最短．
设切点为(x0，y0)，
则f′(x0)＝2(x0＋1)＝1，∴x0＝－eq \f(1,2)，y0＝eq \f(1,4).
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(1,4)－1)),\r(－12＋12))＝eq \f(7\r(2),8).
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cs 4x.
解 (1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq \f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq \f(ex＋2x,ex＋x2).
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)∵y＝sin4x＋cs4x＝(sin2x＋cs2x)2－2sin2 x·cs2 x＝1－eq \f(1,2)sin2 2x＝1－eq \f(1,4)(1－cs 4x)
＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cs 4x.
∴y′＝－sin 4x.
10．曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．
解 ∵y＝esin x，
∴y′＝esin xcs x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在点(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，
故直线l可设为x－y＋m＝0.
由eq \f(|m－1|,\r(1＋－12))＝eq \r(2)得m＝－1或3.
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D．1
答案 A
解析 依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
12．(多选)已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D. eq \f(7π,8)
答案 CD
解析 因为y＝eq \f(4,ex＋1)，
所以y′＝eq \f(－4ex,ex＋12)＝eq \f(－4ex,e2x＋2ex＋1)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).
因为ex>0，
所以ex＋eq \f(1,ex)≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，
所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
13．设函数f(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝ .
答案 eq \f(π,6)
解析 ∵f′(x)＝－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)，
令g(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)－eq \r(3)sin(eq \r(3)x＋φ)，
∵其为奇函数，
∴g(0)＝0，即cs φ－eq \r(3)sin φ＝0，
∴tan φ＝eq \f(\r(3),3)，
又0<φ<π，
∴φ＝eq \f(π,6).
14．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是 ．
答案 y＝－2x－1
解析 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝eq \f(1,x)－3，f′(1)＝－2，
所以切线方程为y＝－2x－1.
15．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1＋x)，则f′(x)等于( )
A.eq \f(1,1＋x) B．－eq \f(1,1＋x)
C.eq \f(1,1＋x2) D．－eq \f(1,1＋x2)
答案 D
解析 由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1＋x)＝eq \f(1,\f(1,x)＋1)，
得f(x)＝eq \f(1,x＋1)，
从而f′(x)＝－eq \f(1,1＋x2)，故选D.
16．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))；
(2)在曲线y＝eq \f(1,1＋x2)上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
解 (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcs πx
＝πeπx(sin πx＋cs πx)．
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知
又y′＝eq \f(－2x,1＋x22)，
∴＝eq \f(－2x0,1＋x\\al(2,0)2)＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.
相关学案
人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算导学案： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算导学案，共10页。
高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案： 这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案，共10页。学案主要包含了复合函数概念的理解，求复合函数的导数，复合函数的导数的应用等内容，欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试导学案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试导学案，共8页。学案主要包含了导数几何意义的应用，函数的单调性，导数在实际问题中的应用，函数方程问题等内容，欢迎下载使用。
