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    2022年高中数学新教材人教A版选择性必修第一册学案第二章 §2.4 2.4.1 圆的标准方程
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    2020-2021学年第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案

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    这是一份2020-2021学年第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程导学案,共10页。学案主要包含了圆的标准方程,点与圆的位置关系,待定系数法求圆的标准方程等内容,欢迎下载使用。

    学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,能准确判断点与圆的位置关系.
    导语
    《古朗月行》
    唐 李白
    小时不识月,呼作白玉盘。
    又疑瑶台镜,飞在青云端。
    月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写,如果把天空看作一个平面,月亮当作一个圆,建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?
    一、圆的标准方程
    问题1 圆是怎样定义的?确定它的要素又是什么呢?各要素与圆有怎样的关系?
    提示 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.
    确定圆的因素:圆心和半径,
    圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
    问题2 已知圆心为A(a,b),半径为r,你能推导出圆的方程吗?
    提示 设圆上任一点M(x,y),则|MA|=r,由两点间的距离公式,得eq \r(x-a2+y-b2)=r,
    化简可得:(x-a)2+(y-b)2=r2.
    知识梳理
    确定圆的标准方程需要两个条件:圆心坐标与半径
    注意点:
    (1)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
    (2)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.
    (3)圆上的点都满足方程,满足方程的点都在圆上.
    例1 (1)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为________________.
    答案 (x+5)2+(y+3)2=25
    解析 ∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,
    ∴该圆的半径为5,
    ∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.
    (2)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________.
    答案 (x-1)2+(y-2)2=25
    解析 ∵AB为直径,
    ∴AB的中点(1,2)为圆心,
    eq \f(1,2)|AB|=eq \f(1,2)eq \r(5+32+5+12)=5为半径,
    ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
    反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略
    确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
    跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程:
    (1)圆心是(4,0),且过点(2,2);
    (2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4).
    解 (1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,
    ∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
    (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,
    ∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8),
    又r=5,
    ∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
    二、点与圆的位置关系
    问题3 点M0(x0,y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么?在圆x2+y2=r2外的条件又是什么?
    提示 点在圆内时,点到圆心的距离小于半径,点在圆外时,点到圆心的距离大于半径.
    知识梳理
    圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
    设d=|PC|=eq \r(x0-a2+y0-b2).
    例2 (1)已知a,b是方程x2-x-eq \r(2)=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是( )
    A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
    C.点P在圆C上 D.无法确定
    答案 A
    解析 由题意,得a+b=1,ab=-eq \r(2),
    ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2eq \r(2)<8,
    ∴点P在圆C内.
    (2)已知点P(2,1)和圆C:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(a,2)))2+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=________.若点P在圆C外,则实数a的取值范围为________.
    答案 -2或-6 a<-6或a>-2
    解析 由题意,得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(a,2)))2+(y-1)2=1,当点P在圆C上时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2+\f(a,2)))2+(1-1)2=1 ,解得a=-2或-6.
    当点P在圆C外时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2+\f(a,2)))2+(1-1)2>1,
    解得a<-6或a>-2.
    反思感悟 判断点与圆的位置关系的两种方法
    (1)几何法:主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
    (2)代数法:把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断.
    跟踪训练2 已知点M(5eq \r(a)+1,eq \r(a))在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围为________________.
    答案 [0,1)
    解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0,,5\r(a)+1-12+\r(a)2<26,))
    即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0,,26a<26,))解得0≤a<1.
    三、待定系数法求圆的标准方程
    例3 求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.
    解 方法一 (待定系数法)
    设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
    则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2+b2=r2,,1-a2+1-b2=r2,,2a+3b+1=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=4,,b=-3,,r=5.))
    即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
    方法二 (几何法)
    由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.
    ∵弦的垂直平分线过圆心,
    ∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+3y+1=0,,x+y-1=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=4,,y=-3,))
    即圆心坐标为(4,-3),
    半径为r=eq \r(42+-32)=5.
    即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
    反思感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
    跟踪训练3 过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( )
    A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4
    C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
    答案 C
    解析 方法一 因为kAB=eq \f(1+1,-1-1)=-1,线段AB的中点坐标为(0,0).
    所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x.
    由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x,,x+y-2=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=1,))
    所以圆心坐标为(1,1),半径为2,
    所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
    方法二 本题作为选择题,可采用排除法,根据圆心在直线x+y-2=0上,排除B,D;
    根据点B(-1,1)在圆上,排除A.
    1.知识清单:
    (1)圆的标准方程.
    (2)点和圆的位置关系.
    2.方法归纳:直接法、几何法、待定系数法.
    3.常见误区:几何法求圆的方程出现漏解情况.
    1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为( )
    A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4
    C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16
    答案 C
    解析 以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=16.
    2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
    A.在圆外 B.在圆内
    C.在圆上 D.不确定
    答案 B
    3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是( )
    A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
    C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
    答案 A
    解析 方法一 (直接法)
    设圆的圆心为C(0,b),则eq \r(0-12+b-22)=1,
    ∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
    方法二 (数形结合法)
    作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1,易知圆心为(0,2),
    故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
    4.若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部,则a的取值范围为________.
    答案 a>eq \f(1,13)或a<-eq \f(1,13)
    解析 ∵P在圆外,
    ∴(5a+1-1)2+(12a)2>1,169a2>1,a2>eq \f(1,169),
    ∴a>eq \f(1,13)或a<-eq \f(1,13).
    课时对点练
    1.圆(x-1)2+(y+eq \r(3))2=1的圆心坐标是( )
    A.(1,eq \r(3)) B.(-1,eq \r(3))
    C.(1,-eq \r(3)) D.(-1,-eq \r(3))
    答案 C
    解析 由圆的标准方程(x-1)2+(y+eq \r(3))2=1,得圆心坐标为(1,-eq \r(3)).
    2.已知点A(3,-2),B(-5,4),以线段AB为直径的圆的标准方程是( )
    A.(x-1)2+(y+1)2=25
    B.(x+1)2+(y-1)2=25
    C.(x-1)2+(y+1)2=100
    D.(x+1)2+(y-1)2=100
    答案 B
    解析 由题意得圆心坐标为(-1,1),半径r=eq \f(1,2)|AB|=eq \f(1,2)eq \r(3+52+-2-42)=5,所以圆的标准方程是(x+1)2+(y-1)2=25.
    3.圆(x-1)2+y2=1的圆心到直线y=eq \f(\r(3),3)x的距离是( )
    A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.1 D.eq \r(3)
    答案 A
    解析 圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为(1,0),
    所以圆心到直线y=eq \f(\r(3),3)x的距离为d=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3))),\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2))=eq \f(1,2).
    4.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0<a<1),则原点O在( )
    A.圆内 B.圆外
    C.圆上 D.圆上或圆外
    答案 B
    解析 由圆的方程(x-a)2+(y-1)2=2a,知圆心为(a,1),
    则原点与圆心的距离为eq \r(a2+1).
    ∵0<a<1,∴eq \r(a2+1)>eq \r(2a)=r,即原点在圆外.
    5.(多选)已知圆M:(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的是( )
    A.圆M的圆心为(4,-3)
    B.圆M的圆心为(-4,3)
    C.圆M的半径为5
    D.圆M被y轴截得的线段长为6
    答案 ACD
    解析 由圆M:(x-4)2+(y+3)2=52,
    故圆心为(4,-3),半径为5,则AC正确;
    令x=0,得y=0或y=-6,线段长为6,故D正确.
    6.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
    A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1
    C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1
    答案 B
    解析 在圆C2上任取一点(x,y),
    则此点关于直线x-y-1=0的对称点(y+1,x-1)在圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1上,
    所以(y+1+1)2+(x-1-1)2=1,
    即(x-2)2+(y+2)2=1.
    7.与圆C:(x-1)2+y2=36同圆心,且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为________________.
    答案 (x-1)2+y2=18
    解析 圆C的半径R=6,设所求圆的半径为r,
    则eq \f(πr2,πR2)=eq \f(1,2),所以r2=18,
    又圆心坐标为(1,0),则圆的方程为(x-1)2+y2=18.
    8.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.
    答案 eq \r(2)+1
    解析 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1),
    则圆心到直线x-y=2的距离d=eq \f(|1-1-2|,\r(12+-12))=eq \r(2),
    故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为eq \r(2)+1.
    9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
    (1)若点M(6,9)在圆N上,求半径a;
    (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.
    解 (1)∵点M(6,9)在圆N上,
    ∴(6-5)2+(9-6)2=a2,∴a2=10.
    又a>0.∴a=eq \r(10).
    (2)由已知,得圆心N(5,6).
    ∵|PN|=eq \r(3-52+3-62)=eq \r(13),
    |QN|=eq \r(5-52+3-62)=3,
    ∴|PN|>|QN|,故点P在圆外,点Q在圆内,
    ∴a的取值范围是310.已知点A(1,-2),B(-1,4),求
    (1)过点A,B且周长最小的圆的方程;
    (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
    解 (1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小.
    即AB中点(0,1)为圆心,半径r=eq \f(1,2)|AB|=eq \r(10).
    则圆的方程为x2+(y-1)2=10.
    (2)方法一 AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=eq \f(1,3)x.即x-3y+3=0,
    由圆心在直线2x-y-4=0上,得两直线交点为圆心,即圆心坐标是C(3,2).
    r=|AC|=eq \r(1-32+-2-22)=2eq \r(5).
    故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
    方法二 待定系数法
    设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-a2+-2-b2=r2,,-1-a2+4-b2=r2,,2a-b-4=0,))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=3,,b=2,,r2=20,))
    故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
    11.(多选)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为( )
    A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20
    C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20
    答案 AD
    解析 令x=0,则y=4;
    令y=0,则x=2.
    所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).|AB|=eq \r(22+42)=2eq \r(5),以A为圆心,
    过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.
    以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
    12.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
    A.(x-2)2+(y+3)2=36
    B.(x-2)2+(y+3)2=25
    C.(x-2)2+(y+3)2=18
    D.(x-2)2+(y+3)2=9
    答案 B
    解析 由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,
    得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x+3y-1=0,,3x-2y+5=0,))
    解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-1,,y=1,))即P(-1,1).
    ∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),
    ∴|PC|=eq \r(-1-22+1+32)=5,
    ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.
    13.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是________________.
    答案 (x-4)2+y2=1
    解析 设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),
    则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b+1,a-3)·-1=-1,,\f(a+3,2)+\f(b-1,2)-3=0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=4,,b=0,))
    故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.
    14.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,则x2-4y的最小值为________.
    答案 -4
    解析 ∵点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,
    ∴x2-4y=1-y2-4y=-(y+2)2+5.
    ∵y∈[-1,1],
    ∴当y=1时,-(y+2)2+5有最小值-4.
    15.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
    A.4 B.5 C.6 D.7
    答案 A
    解析 设圆心C(x,y),则eq \r(x-32+y-42)=1,
    化简得(x-3)2+(y-4)2=1,
    所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,
    所以|OC|+1≥|OM|=eq \r(32+42)=5,
    所以|OC|≥5-1=4,当且仅当C在线段OM上时取等号.
    16.设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段弧,其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小时的圆的方程.
    解 设圆心为(a,b),半径长为r,
    依题意,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)|b|=r,,a2+1=r2,))
    消去r,得2b2-a2=1,①
    圆心到直线l的距离d=eq \f(|a-2b|,\r(5)).
    设a-2b=k,则a=2b+k,代入①式,
    整理得2b2+4bk+k2+1=0.
    判别式Δ=8(k2-1)≥0,解得|k|≥1,
    当|k|=1时,dmin=eq \f(\r(5),5).
    当k=1时,a=b=-1,圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2;
    当k=-1时,a=b=1,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
    位置关系
    利用距离判断
    利用方程判断
    点在圆外
    d>r
    (x0-a)2+(y0-b)2>r2
    点在圆上
    d=r
    (x0-a)2+(y0-b)2=r2
    点在圆内
    d(x0-a)2+(y0-b)2
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