2020-2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计

这是一份2020-2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式学案设计，共8页。学案主要包含了两点之间的距离公式，坐标法的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
一、两点之间的距离公式
问题1 在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？
提示 |AB|＝|xA－xB|.
问题2 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？
提示 (1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，
所以|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识梳理
1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
注意点：
(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.
例1 已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
解 方法一 ∵|AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
|AC|＝eq \r(1＋32＋7－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
又|BC|＝eq \r(1－32＋7＋32)＝eq \r(104)＝2eq \r(26)，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝eq \f(7－1,1－－3)＝eq \f(3,2)，kAB＝eq \f(－3－1,3－－3)＝－eq \f(2,3)，
∴kAC·kAB＝－1，
∴AC⊥AB.
又|AC|＝eq \r(1＋32＋7－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
|AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝eq \r(52)＝2eq \r(13)，
∴|AC|＝|AB|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
反思感悟 计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________．
答案 (2,10)或(－10,10)
解析 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10)．
由两点间距离公式，得|MN|＝eq \r(xM＋42＋10－22)＝10或|MN|＝eq \r(xM＋42＋－10－22)＝10，
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10)．
二、坐标法的应用
例2 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
证明 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则|AB|＝|c|.
又由中点坐标公式，得Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，
∴|DE|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))，
∴|DE|＝eq \f(1,2)|AB|，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
反思感悟 (1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量．
②进行有关代数运算．
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
跟踪训练2 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝eq \r(b－02＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，
|BD|＝eq \r(a－b－a2＋c－02)＝eq \r(b2＋c2).
故|AC|＝|BD|.
1．知识清单：两点间的距离公式．
2．方法归纳：待定系数法、坐标法．
3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．
1．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是( )
A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0
C.eq \r(x2＋y2)＝1 D.eq \r(x2＋y2)＝0
答案 C
解析 由两点间的距离公式得eq \r(x2＋y2)＝1.
2．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5 B.eq \r(37) C.eq \r(13) D．4
答案 A
解析 |MN|＝eq \r(2＋12＋1－52)＝5.
3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于( )
A．4 B．4eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
答案 B
解析 ∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2).
4．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________．
答案 eq \r(17)
解析 BC的中点坐标为(0,1)，
则BC边上的中线长为eq \r(－1－02＋5－12)＝eq \r(17).
课时对点练
1．若A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq \f(|AC|,|CB|)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．3 D．2
答案 D
解析 |AC|＝4eq \r(2)，|CB|＝2eq \r(2)，故eq \f(|AC|,|CB|)＝2.
2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3)
C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10)
答案 C
解析 由两点间距离公式得
|AB|＝eq \r(2＋12＋3－02)＝3eq \r(2)，
|BC|＝eq \r(－1－22＋0－02)＝3，
|CA|＝eq \r(2－22＋3－02)＝3.
故△ABC的周长为6＋3eq \r(2).
3．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2eq \r(5) B．3eq \r(5) C.eq \f(5\r(5),2) D.eq \f(7\r(5),2)
答案 C
解析 由中点坐标公式可得，BC边的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，6)).
由两点间的距离公式得|AD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,2)))2＋1－62)＝eq \f(5\r(5),2).
4．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5) C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5)
答案 C
解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,5)))，
由两点间的距离公式，得|AB|＝eq \f(13,5).
5．(多选)对于eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是( )
A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离
C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离
D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离
答案 BCD
解析 eq \r(x2＋2x＋5)＝eq \r(x＋12＋4)
＝eq \r(x＋12＋0±22)＝eq \r(x＋12＋－1－12)，
可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离，
可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确．
6．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )
A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,2)
答案 C
解析 ∵A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，
∴|AB|＝eq \r([a＋1－5]2＋[a－4－2a－1]2)
＝eq \r(a－42＋a＋32)＝eq \r(2a2－2a＋25)
＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋\f(49,2))，
∴当a＝eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值．
7．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
答案 1或－5
解析 由两点间距离公式得
(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，
所以(a＋2)2＝32，
所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
8．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．
答案 (10,0)或(0,0)
解析 设Q(x0,0)，则有
13＝eq \r(5－x02＋122)，得x0＝0或x0＝10.
9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，求a的值．
解 由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝eq \f(1,a)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，0))，令x＝0，有y＝eq \f(1,2)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，故AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)，\f(1,4)))，
∵线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，
∴eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))2)＝eq \f(\r(2),4)，解得a＝±2.
10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,y＝kx－k－1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7＋k,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2)，))
即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋k,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).
由|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋k,k＋2)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－2,k＋2)＋1))2)＝5，
解得k＝－eq \f(3,4)，
所以直线l的方程为y＋1＝－eq \f(3,4)(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意．
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
11．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
答案 C
解析 |AB|＝eq \r(－3－32＋22)＝eq \r(36＋4)＝eq \r(40)＝2eq \r(10)，
|BC|＝eq \r(－1－32＋2＋22)＝eq \r(16＋16)＝eq \r(32)
＝4eq \r(2)，
|AC|＝eq \r(－1＋32＋22)＝eq \r(8)＝2eq \r(2)，
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．故选C.
12．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于eq \r(2)的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1)
答案 BC
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且eq \r(x0＋22＋y0－32)＝eq \r(2)，
两式联立解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝2.))
13．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
答案 2eq \r(5)
解析 设A(a,0)，B(0，b)，
由中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋0,2)＝2，,\f(b＋0,2)＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－2，))
∴|AB|＝eq \r(4－02＋0＋22)＝2eq \r(5).
14．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq \f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝________.
答案 10
解析 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a,0)，B(0,4b)，则D(2a,2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，
|PC|2＝a2＋b2，
于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，
即eq \f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝10.
15．已知x，y∈R，S＝eq \r(x＋12＋y2)＋eq \r(x－12＋y2)，则S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D.eq \r(2)
答案 B
解析 S＝eq \r(x＋12＋y2)＋eq \r(x－12＋y2)可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.
16.如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－eq \f(1,2)|AC|2＝2|BD|2.
证明 如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．
设B(b，c)，C(a,0)，依题意得A(－a,0)．
|AB|2＋|BC|2－eq \f(1,2)|AC|2
＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－eq \f(1,2)(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－eq \f(1,2)|AC|2＝2|BD|2.