数学必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试学案

微专题2　恒成立、能成立问题的解决方法

解决不等式恒成立、能成立问题常用的方法主要有分离变量法、变换主元法、数形结合法、判别式法、均值不等式法、利用函数的性质、利用代数式的几何意义等，方法灵活多样，主要锻炼横向、逆向和创造性思维．

一、分离参数法解决恒成立问题

例1　设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

解　y<－m＋5恒成立，

即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，

∵x2－x＋1＝2＋>0，

又m(x2－x＋1)－6<0，

∴m<.

∵＝在1≤x≤3上的最小值为，

∴只需m<即可．∴m的取值范围为.

反思感悟　通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．

二、变换主元法解决恒成立问题

例2　已知关于x的不等式x2＋px>3x＋p－2对－2≤p≤3恒成立，求实数x的取值范围．

解　将原式转化为关于p的不等式：

(x－1)p＋x2－3x＋2>0对－2≤p≤3恒成立，

当x＝1时，不等式为0>0不成立；

当x≠1时，关于p的一次函数y＝(x－1)p＋x2－3x＋2.

在[－2,3]上的值恒为正值，无论一次项系数是正数还是负数．

只需

解得x>4或x<－1.

∴实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．

反思感悟　适当变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，就可以将不等式转化为一次函数求解．

三、判别式法解决恒成立问题

例3　若不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x，对于任意x∈R均成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－2,2)   B．(－2,2]

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)   D．(－∞，－2]

答案　B

解析　由题意得(a－2)x2＋(2a－4)x－4<0，对任意x∈R均成立．

∴或a－2＝0(此时不等式－4<0)．

解得－2<a≤2.

反思感悟　设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

(1) y>0在x∈R上恒成立⇔a>0且Δ<0.

(2)y<0在x∈R上恒成立⇔a<0且Δ<0.

(注意：若二次项系数含参数时，要讨论为0的情况)

四、利用最值解决恒成立问题

例4　当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，3]

解析　因为当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，

所以a≤x＋对实数x＞1成立．

由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，

当且仅当x＝2时取等号，故x＋的最小值为3.

所以a≤3，即实数a的取值范围为(－∞，3]．

反思感悟　利用最值求恒成立问题的方法可以是利用函数求最值，也可以是利用均值不等式求最值．

五、利用函数的最值解决能成立问题

例5　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．

解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，

∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，

∴m≥2x2－8x＋6能成立，

令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，

∴m≥－2，

∴m的取值范围为[－2，＋∞)．

反思感悟　能成立问题实际上就是存在性问题，要注意同恒成立问题的区别．能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．