高中数学人教版新课标B必修1第一章 集合综合与测试导学案

章末检测试卷(一)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，则A∪B等于(　　)

A．{1}   B．{1,2}

C．{0,1,2,3}   D．{－1,0,1,2,3}

答案　C

解析　集合A＝{1,2,3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．

2．集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为(　　)

A．3  B．4  C．7  D．8

答案　C

解析　∵集合A＝{x∈N|0<x<4}＝{1,2,3}，

∴真子集的个数是23－1＝7.

3．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是(　　)

A．对任意x∈R，都有x2<1

B．不存在x∈R，使得x2<1

C．存在x∈R，使得x2≥1

D．存在x∈R，使得x2<1

答案　D

解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2<1.

4．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　　)

A．0  B．1  C．2  D．－1

答案　C

解析　由A＝B，得x＝0或y＝0.当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.

5．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．

6．已知集合A＝[－2,7]，B＝(m＋1,2m－1)，若A∪B＝A且B≠∅，则m的取值范围为(　　)

A．[－3,4]   B．(－3,4)

C．(2,4)   D．(2,4]

答案　D

解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A，

∴即2<m≤4.

7．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是(　　)

A．0≤a≤2   B．－2<a<2

C．0<a≤2   D．0<a<2

答案　A

解析　A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.

8．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于∀x∈R不恒成立，

若a≠0，则解得a>，

∴命题p为真命题时a的取值范围为，

∴使命题p为假命题的a的取值范围是.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．已知集合 A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若 B⊆A，则实数 a 的值可能是(　　)

A．－1  B．1  C．－2  D．2

答案　ABC

解析　因为B⊆A，所以2∈A，∈A，

解得a≤1.

10．下列说法正确的是(　　)

A．命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2<－1”

B．命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2>9”

C．“x2>y2”是“x>y”的必要不充分条件

D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件

答案　BD

解析　A．命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故错误；

B．命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2>9”，正确；

C．x2>y2⇔|x|>|y|，|x|>|y|不能推出x>y，x>y也不能推出|x|>|y|，所以“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故错误；

D．关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔⇔m<0，所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，正确．

11．给出下列四个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③2x>2y；④0<<.其中能成为x>y的充分条件的是(　　)

A．①  B．②  C．③  D．④

答案　ACD

解析　①由”xt2>yt2可知t2>0，

所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y；

② 当t>0时，x>y；当t<0时，x<y，故xt>yt⇏ x>y；

③ 2x>2y⇒x>y；

④0<<⇒x>y.

12．若x∈{x|x<k或x>k＋3}是x∈{x|－4<x<1}的必要不充分条件，则实数k可以是(　　)

A．－8  B．－5  C．1  D．4

答案　ACD

解析　由题意知(－4,1)(－∞，k)∪(k＋3，＋∞)，

所以k≥1或k＋3≤－4，

即k∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是________．

答案　红豆生南国

解析　“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．

14．已知p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________，若p是q的充要条件，则m的值是________．(本题第一空3分，第二空2分)

答案　(－2,2)　2

解析　由p：－1<x<3，q：－1<x<m＋1，p是q的必要不充分条件，得－1<m＋1<3，即－2<m<2；若p是q的充要条件，则m＋1＝3，所以m＝2.

15．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．

答案　{a|a≥2}

解析　因为B＝{x|1<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}．又因为A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x<a}，

观察∁RB与A在数轴上表示的区间，如图所示，

可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.

16．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{x|x≤1}，N＝{y|0≤y≤1}，则M－N＝________.

答案　{x|x<0}

解析　画出数轴如图：

∴M－N＝{x|x∈M且x∉N}＝{x|x<0}．

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知全集U为R，集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x<－3或x>1}．求：

(1)A∩B；

(2)(∁UA)∩(∁UB)；

(3)∁U(A∪B)．

解　(1)在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1<x≤2}．

(2)∁UA＝{x|x≤0或x>2}，∁UB＝{x|－3≤x≤1}．

在数轴上画出集合∁UA和∁UB，可知(∁UA)∩(∁UB)＝{x|－3≤x≤0}．

(3)由(1)中数轴可知，A∪B＝{x|x<－3或x>0}．

所以∁U(A∪B)＝{x|－3≤x≤0}．

18．(12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假性．

(1)∀x∈Z，|x|∈N；

(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；

(3)∃x∈R，x＋1≤0；

(4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.

解　(1)∃x∈Z，|x|∉N，假命题．

(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题．

(3)∀x∈R，x＋1>0，假命题．

(4)∀x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题．

19．(12分)若一个数集中任何一个元素的倒数仍是该数集中的元素，则称该数集为“可倒数集”．

(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；

(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．

解　(1)由于2的倒数为，不在集合A中，故集合A不是可倒数集．

(2)若a∈B，则必有∈B，现已知集合B中含有3个元素，故必有1个元素a＝，即a＝±1.故可以取集合B＝或或等．

20．(12分)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．

(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；

(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．

解　(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．

(2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N.

所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，

即4－6＋m＝0，解得m＝2.

21．(12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

证明　必要性：∵方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根ξ，

∴⇒ξ＝＝.

∴2＋2c·－b2＝0⇒a2＝b2＋c2，

∴∠A＝90°.

充分性：若∠A＝90°，则a2＝b2＋c2，

易得x0＝是方程的公共根．

综上可知，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.

22．(12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．

(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　因为P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.

(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，

(∁RP)＝{x|x<4或x>7}，

Q＝{x|－2≤x≤5}，

所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}．

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即PQ，

即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，

即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．