数学必修1第一章 集合综合与测试学案及答案

章末复习课

一、集合的概念及其基本关系

1．处理集合间的关系时需要注意：(1)涉及某些数集是不等式的解集时，利用数轴可较好地处理一些实数集之间的关系；(2)注意应用B⊆A的条件时，一定要考虑B＝∅和B≠∅两种情况．

2．以形助数，直观形象，充分利用数形结合思想，同时注意转化思想，等价变形思想的灵活运用，提升逻辑推理素养．

例1　(1)(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m不可能为(　　)

A．0  B．2  C．3  D．1

答案　ABD

解析　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．

(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，B⊆A，则实数a的取值范围为________．

答案　(－∞，－2)∪

解析　因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅.

画数轴如图所示，

由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1.

即a<－2或a≥.

由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，

即所求a的取值范围是a<－2或≤a<1.

反思感悟　(1)在集合的小题中，很多时候是考查集合元素的互异性，所以很多时候求出字母的值之后一定要回带检验是否满足互异性．

(2)处理集合间关系问题的关键点

已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”．

跟踪训练1　(1)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________．

答案　3或1

解析　当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13}，符合题意；

当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.

(2)若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　当B＝∅时，a＝0，满足B⊆A；

当B≠∅时，a≠0，B＝，又B⊆A，∴2≤≤3，

即≤a≤1，又a∈Z，

∴a＝1.综上知a的值为0或1.

二、集合的综合运算

1．集合的运算有交、并、补三种，它是集合中核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或维恩图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．

2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养．

例2　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．

(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；

(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？

解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，

∴∁RA＝{x|x<0或x>2}．

∵(∁RA)∪B＝R，

∴∴－1≤a≤0.

∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．

(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，

－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，

∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．

即这样的a不存在．

反思感悟　借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．

跟踪训练2　已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R.

(1)求A∩M；

(2)若B∪(∁UM)＝R，求实数b的取值范围．

解　(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，

M＝{x|－4≤x<5}，

所以A∩M＝{x|－3<x<5}．

(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，

所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，

又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R，

所以解得－2≤b<－1.

所以实数b的取值范围是[－2，－1)．

三、全称量词命题与存在量词命题的应用

1．已知含量词的命题真假求参数的取值范围，解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

2．通过掌握全称量词命题与存在量词命题的应用，着重提升逻辑推理和数学运算素养．

例3　已知命题p：∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，若p为真命题，求实数a的取值范围．

解　设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}，

由题意知，A⊆B，则有

解得a≥3.

故实数a的取值范围为{a|a≥3}．

反思感悟　牵涉到参数的全称量词命题一般是恒成立问题，必须对限定集合中每一个元素x验证成立，解题过程中可以借助于集合、数轴进行解决．牵涉到参数的存在量词命题一般是存在性命题，只要在限定集合中，能找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．

跟踪训练3　已知命题q：∃x∈R，使x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0成立，若q为真命题，求实数a的取值范围．

解　q为真即关于x的一元二次方程x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0有实数根，

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

解得a≥，∴实数a的取值范围为.

四、充分条件、必要条件的判定及应用

1．充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．

2．解决此类问题要注意转化思想方法的运用，往往是先把条件化繁为简，要注意推理的严谨性，提升逻辑推理和数学运算素养．

例4　设p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，q：实数x满足2<x≤3.若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　綈p是綈q的充分不必要条件，

即綈p⇒綈q且綈q⇏ 綈p，

设A＝{x|x≤a或x≥3a，a>0}，B＝{x|x≤2或x>3}，

则AB.

所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.

所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}．

反思感悟　利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解．

跟踪训练4　若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．

答案　－或

解析　p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.

q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－.

由题意知p⇏ q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.

综上可知，a＝－或a＝.

1．(2020·新高考全国Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于(　　)

A．{x|2<x≤3}   B．{x|2≤x≤3}

C．{x|1≤x<4}   D．{x|1<x<4}

答案　C

解析　A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4}

＝{x|1≤x<4}．

2．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁ U(A∪B)等于(　　)

A．{－2,3}   B．{－2,2,3}

C．{－2，－1,0,3}   D．{－2，－1,0,2,3}

答案　A

解析　∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2}．

又U＝{－2，－1,0,1,2,3}，

∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．

3．(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于(　　)

A．{2}   B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6}   D．{x∈R|－1≤x≤5}

答案　B

解析　A∪B＝{1,2,4,6}．

又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．

4．(2018·天津)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由x3>8⇒x>2⇒|x|>2，反之不成立，

故“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件．

5．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于(　　)

A．{1，－3}  B．{1,0}  C．{1,3}  D．{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.