高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试导学案

章末复习课

一、求函数的定义域

1．求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集．

2．掌握基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养．

例1　(1)函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　)

A.   B.

C.   D.∪

答案　D

解析　由题意知解得x<1且x≠，

即f(x)的定义域是∪.

(2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　)

A.   B.

C．[0,1]   D.

答案　C

解析　由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，

则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，

令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]．

反思感悟　求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

(3)复合函数问题：

①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；

②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．

跟踪训练1　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是(　　)

A．[－4,4]   B．[－4,2]

C．[－4，－2]   D．[2,4]

答案　B

解析　由－2≤－x≤4，得－4≤x≤2.

所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4,2]．

(2)函数y＝＋－的定义域为______________．

答案　{x|1≤x≤5且x≠3}

解析　解不等式组得

故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．

二、求函数的解析式

1．求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法．

2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养．

例2　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为_____________．

答案　f(x)＝

解析　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.

∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，

∴f(x)＝

(2)已知f ＝＋，则f(x)的解析式为__________________________．

答案　f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)

解析　令t＝＝＋1，则t≠1.

把x＝代入f ＝＋，

得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)

＝t2－t＋1.

所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

反思感悟　求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．

(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．

(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f ，使用解方程组法．

(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法．

跟踪训练2　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，a≠0)满足条件：

①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；

②f(1)＝1；

③f(x)在R上的最小值为0.

求函数f(x)的解析式．

解　因为f(x)的对称轴为x＝－1，

所以－＝－1即b＝2a，

又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，

由条件③知，a>0，且＝0，即b2＝4ac，

由以上可求得a＝，b＝，c＝，

所以f(x)＝x2＋x＋.

三、函数性质的综合应用

1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响．

2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．

例3　已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]，m＋n≠0，有>0.

(1)判断函数的单调性(不要求证明)；

(2)解不等式f <f(1－x)；

(3)若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．

解　(1)函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．

(2)由(1)知函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，

由f <f(1－x)，得

解得0≤x<.

所以不等式f <f(1－x)的解集为.

(3)因为函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，

要使得对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都有f(x)≤－2at＋2恒成立，

只需对任意的a∈[－1,1]，－2at＋2≥1恒成立．

令y＝－2at＋1，当t≠0时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1,1]时，y≥0恒成立．

因此只需解得－≤t≤，且t≠0.

当t＝0时，y＝1，满足y≥0恒成立．

所以实数t的取值范围为.

反思感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.

(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．

解　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴＝－＝.

比较得n＝－n，n＝0.

又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.

∴实数m和n的值分别是2和0.

(2)由(1)知f(x)＝＝＋.

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)

＝(x1－x2)·.

∵－2≤x1<x2≤－1，∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．

∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增．

∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.

四、函数图象的画法及应用

1．利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．

2．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养．

例4　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.

(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；

(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．

解　(1)当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，

即f(x)＝的图象如图所示，单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3)．

(2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4.

故集合M＝{m|0<m<4}．

(学生)

反思感悟　作函数图象的方法

(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．

(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．

①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)；

y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)．

②对称：y＝f(x)y＝f(－x)；

y＝f(x)y＝－f(x)；

y＝f(x)y＝－f(－x)．

特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．

跟踪训练4　已知函数f(x)＝方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0,1)，则方程的根的个数是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　D

解析　因为f2(x)－bf(x)＝0，所以f(x)＝0或f(x)＝b，作函数f(x)＝的图象如图，

结合图象可知，f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5.

1．(2017·山东)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f 等于(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案　C

解析　若0<a<1，由f(a)＝f(a＋1)，

得＝2(a＋1－1)，

∴a＝，∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.

若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，

得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．

综上，f ＝6.

2．(2017·天津)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．[－2,2]   B．[－2，2]

C．[－2,2]   D．[－2，2]

答案　A

解析　方法一　∵f(x)≥在R上恒成立，

∴－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立．

令g(x)＝－f(x)－.

当0≤x<1时，f(x)＝x＋2，

g(x)＝－x－2－＝－－2≤－2，即g(x)max＝－2.

当x<0时，f(x)＝－x＋2，g(x)＝x－2－＝－2，

即g(x)<－2.

当x≥1时，

f(x)＝x＋，g(x)＝－x－－＝－－

≤－2(当且仅当x＝时等号成立)．

即g(x)max＝－2.∴a≥－2.

令h(x)＝f(x)－.

当0≤x<1时，

f(x)＝x＋2，h(x)＝x＋2－＝＋2≥2，

即h(x)min＝2.

当x<0时，

f(x)＝－x＋2，h(x)＝－x＋2－＝－＋2>2，

即h(x)>2.

当x≥1时，

f(x)＝x＋，h(x)＝x＋－＝＋≥2，

即h(x)min＝2.∴a≤2.

综上可知，－2≤a≤2.

方法二　若a＝2，则当x＝0时，f(0)＝2，

而＝2，不等式不成立，故排除选项C，D.

若a＝－2，则当x＝0时，f(0)＝2，而＝2.

不等式不成立，故排除选项B.

3．(2019·江苏)函数y＝的定义域是________．

答案　[－1,7]

解析　要使函数有意义，则7＋6x－x2≥0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1,7]．

4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.

答案　12

解析　方法一　令x>0，则－x<0.

∴f(－x)＝－2x3＋x2.

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．

∴f(2)＝2×23－22＝12.

方法二　f(2)＝－f(－2)

＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.

5．(2017·北京)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．

答案　

解析　方法一　由x＋y＝1，得y＝1－x.

又x≥0，y≥0，所以0≤x≤1，x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝22＋.

由0≤x≤1，得0≤2≤，

即≤x2＋y2≤1.所以x2＋y2∈.

方法二　x2＋y2＝(x＋y)2－2xy，

已知x≥0，y≥0，x＋y＝1，所以x2＋y2＝1－2xy.

因为1＝x＋y≥2，

所以0≤xy≤，

所以≤1－2xy≤1，

即x2＋y2∈.