高中数学人教B版 (2019)必修第二册4.3 指数函数与对数函数的关系学案

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第二册4.3 指数函数与对数函数的关系学案，共11页。学案主要包含了求简单函数的反函数，指数等内容，欢迎下载使用。

知识点指数函数与对数函数的关系
1．反函数
(1)反函数的概念
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数．
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．
(3)反函数的性质
①y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．
②如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在，此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数．
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图像关于y＝x对称．
1．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的反函数是y＝lgxeq \f(1,2).( × )
2．函数y＝lg3x的反函数的值域为R.( × )
3．函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于直线y＝x对称．( × )
4．互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称．( √ )
一、求简单函数的反函数
例1 求下列函数的反函数：
(1)y＝lg2x；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；
(3)y＝5x＋1.
解 (1)由y＝lg2x，得x＝2y，y∈R，
∴f－1(x)＝2x，x∈R.
(2)由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，得x＝y且y>0，
∴f－1(x)＝x(x>0)．
(3)由y＝5x＋1，得x＝eq \f(y－1,5)且y∈R，
∴f－1(x)＝eq \f(x－1,5)，x∈R.
反思感悟求反函数的一般步骤
跟踪训练1 求下列函数的反函数：
(1)y＝eq \r(x)＋1(x≥0)；
(2)y＝eq \f(2x＋3,x－1)(x≠1)．
解 (1)∵y＝eq \r(x)＋1，x≥0，
∴y≥1且x＝(y－1)2.
∴y＝eq \r(x)＋1(x≥0)的反函数为y＝(x－1)2，x∈[1，＋∞)．
(2)∵y＝eq \f(2x＋3,x－1)＝eq \f(2x－1＋5,x－1)，∴y＝2＋eq \f(5,x－1).
∴y≠2且x＝eq \f(y＋3,y－2).
∴y＝eq \f(2x＋3,x－1)(x≠1)的反函数为y＝eq \f(x＋3,x－2)，x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．
二、互为反函数的函数图像间的关系及性质
例2 已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________．
答案 f(x)＝2x＋1
解析 ∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，
∴y＝f(x)的图像过点(0,2)，
∴2＝a0－k，∴k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)，
∴3＝a1＋1，
∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
反思感悟互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝4x＋3 B．f(x)＝3x＋4
C．f(x)＝5x＋2 D．f(x)＝2x＋5
(2)若函数y＝eq \f(ax,1＋x)的图像关于直线y＝x对称，则a的值为________．
答案 (1)A (2)－1
解析 (1)∵f(x)的反函数图像过点(4,0)，
∴f(x)的图像过点(0,4)，
又f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，
∴联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0＋b＝4，,a＋b＝7，))
∴a＝4且b＝3，故f(x)＝4x＋3.
(2)由y＝eq \f(ax,1＋x)可得x＝eq \f(y,a－y)，
则原函数的反函数是y＝eq \f(x,a－x)，
∴eq \f(x,a－x)＝eq \f(ax,1＋x)，得a＝－1.
三、指数、对数函数图像与性质的应用
例3 已知x1是方程x＋lg x＝3的一个根，x2是方程x＋10x＝3的一个根，则x1＋x2的值是( )
A．6 B．3 C．2 D．1
答案 B
解析将已知的两个方程变形得
lg x＝3－x,10x＝3－x.
令f(x)＝lg x，g(x)＝10x，h(x)＝3－x.
在同一平面直角坐标系内作出三个函数的大致图像如图所示．
记f(x)与h(x)的交点为A(x1，y1)，g(x)与h(x)的交点为B(x2，y2)，利用函数的性质易知A，B两点关于直线y＝x对称，即x1＝y2，x2＝y1.
将A点坐标代入直线方程，得y1＝3－x1，
再将y1＝x2代入上式，得x2＝3－x1，
即x1＋x2＝3.
延伸探究
若把本例中的“lg x”改为“lg2x”，“10x”改为“2x”，再求x1＋x2的值．
解将方程整理得2x＝－x＋3，lg2x＝－x＋3.如图可知，x2＝a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，x1＝b是对数函数y＝lg2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝lg2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．而A，B都在直线y＝－x＋3上，∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3，即x1＋x2＝3.
反思感悟形如ax＋kx＝b(a>0且a≠1)或lgax＋kx＝b(a>0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题．
跟踪训练3 设a，b，c均为正数，且2a＝a，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))b＝b，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))c＝lg2c，则( )
A．aC．c答案 A
解析方法一由函数y＝2x，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，y＝lg2x，
y＝x的图像(如图)知，0方法二 ∵a>0，∴2a>1.∴a>1.
∴0又∵b>0，∴0∴0又∵c>0，∴0∴0∴01．函数y＝x(x>0)的反函数是( )
A．y＝，x>0 B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x∈R
C．y＝x2，x∈R D．y＝2x，x∈R
答案 B
解析互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同．
2．已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是( )
答案 C
解析由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝lg3x＋1，
∴图像为C.
3．函数f(x)＝x2(x>0)的反函数为___________________________．
答案 f－1(x)＝eq \r(x)(x>0)
解析对调函数y＝x2中的x，y，得x＝y2.
又y>0，∴y＝eq \r(x)，即f－1(x)＝eq \r(x).
又∵y＝x2(x>0)，∴y>0，
∴f(x)＝x2(x>0)的反函数为f－1(x)＝eq \r(x)(x>0)．
4．函数y＝2x(x≥0)的反函数的定义域为________．
答案 [1，＋∞)
解析根据反函数的性质：y＝f－1(x)的定义域为y＝2x(x≥0)的值域，
∵当x≥0时，2x∈[1，＋∞)．
∴所求定义域为[1，＋∞)．
5．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像过点Q(5,2)，则b＝________.
答案 1
解析 f－1(x)的图像过Q(5,2)，
则f(x)的图像过点(2,5)，则f(2)＝5，
即22＋b＝5，解得b＝1.
1．知识清单：
(1)反函数的图像与原函数图像之间的关系．
(2)求函数的反函数．
(3)反函数性质的应用．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：不是所有函数都有反函数，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数．若y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，则y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)，即y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数．
1．已知y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－eq \f(1,2)，则x0等于( )
A．－2 B．－1 C．2 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 ∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x的反函数是f(x)＝x，
∴f(x0)＝x0＝－eq \f(1,2).
∴x0＝＝＝2.
2．已知f(x)＝ax，g(x)＝lgax(a>0且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是( )
答案 C
解析由指数函数和对数函数的单调性知，f(x)＝ax，g(x)＝lgax(a>0且a≠1)，在(0，＋∞)上单调性相同，可排除B，D，再由关系式f(3)·g(3)<0可排除A.
3．已知函数f(x)＝1＋2lg x，则f(1)＋f－1(1)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析根据题意，f(1)＝1＋2lg 1＝1，
若f(x)＝1＋2lg x＝1，解得x＝1，
则f－1(1)＝1，故f(1)＋f－1(1)＝1＋1＝2.
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，其图像经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)，\f(2,3)))，则a等于( )
A.eq \r(2) B．2 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(3,2)
答案 A
解析因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)，\f(2,3)))在y＝f(x)的图像上，
所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\r(3,2)))在y＝ax的图像上，则有eq \r(3,2)＝，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝eq \r(2).
5．设函数f(x)＝lga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 f(x)＝lga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)图像过点(2,1)，∴f－1(x)图像过点(1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝2，,a2－b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－4，))
又a>0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝1，))∴a＋b＝4.
6．设函数f(x)＝lg2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．
答案 [3，＋∞)
解析 f－1(x)的定义域为f(x)的值域，
∵x≥1，∴lg2x≥0，∴lg2x＋3≥3，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
7．函数y＝lga(2x－1)＋2的图像恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图像上，则f(－1)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析根据题意，令2x－1＝1，
所以x＝1，此时y＝2，所以定点坐标是P(1,2)，
所以指数函数f(x)＝ax过点P，所以f(x)＝2x.
所以f(－1)＝eq \f(1,2).
8．若点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))既在f(x)＝2ax＋b的图像上，又在其反函数的图像上，则a＋b＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析由题意知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))均在函数f(x)＝2ax＋b的图像上，故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝－1，,\f(1,2)a＋b＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(4,3)，,b＝\f(5,3)，))
∴a＋b＝－eq \f(4,3)＋eq \f(5,3)＝eq \f(1,3).
9．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．
解 ∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝lg3(y＋4)，
∴y＝lg3(x＋4)，
又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞)．
∴函数的反函数为y＝lg3(x＋4)(x≥5)．
10．已知函数f(x)＝lga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
解 (1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，
故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝lga(2－x) ，得2－x＝ay，即x＝2－ay.
∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－－2＋
＝，
∵a>1，x1∴f－1(x2)∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
11．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图像只能是( )
答案 B
解析方法一首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝lga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.其次，从单调性来看，y＝ax与y＝lga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.
方法二若0若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝lga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．
12．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得到函数y＝lg2(x＋1)的图像( )
A．先向上平移一个单位长度
B．先向右平移一个单位长度
C．先向左平移一个单位长度
D．先向下平移一个单位长度
答案 D
解析将y＝2x的图像向下平移一个单位长度得到y＝2x－1的图像，再作关于直线y＝x对称的图像即可得到．
13．已知函数f(x)与函数g(x)＝x的图像关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调递增区间是________．
答案 (－∞，－1]
解析由题意得f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
∴f(x2＋2x)＝，
∵f(x)在R上是减函数，
∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t＝x2＋2x的单调递减区间，即(－∞，－1]．
14．函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x<0，,ex，x≥0))的反函数是________．
答案 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x<1，,ln x，x≥1))
解析当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x<1，,ln x，x≥1.))
15．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤eq \f(1,2)的解集是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
C．[－2,0)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D．[－1,0]∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 C
解析由题意，可得－1≤f－1(x)≤eq \f(1,2)的解集即为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上的值域．
当－1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，
当0≤x≤eq \f(1,2)时，由题图可知f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
故不等式－1≤f－1(x)≤eq \f(1,2)的解集为[－2,0)∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
16．已知函数f(x)＝lga(8－2x)(a>0且a≠1)．
(1)求定义域；
(2)若函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；
(3)求函数y＝f(x)＋f(－x)的值域．
解 (1)由8－2x>0，得2x<8，∴x<3，
∴函数的定义域为(－∞，3)．
(2)由f(x)＝lga(8－2x)(a>0且a≠1)，
解得x＝lg2(8－ay)，
对调x，y，得y＝lg2(8－ax)．
由于函数f(x)的反函数是其本身，∴a＝2.
(3)y＝f(x)＋f(－x)＝lga(8－2x)＋lga(8－2－x)＝lga[65－8(2x＋2－x)]．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<3，,－x<3，))得－3∴函数y＝lga[65－8(2x＋2－x)]的定义域为(－3,3)．
∵2x＋2－x＝2x＋eq \f(1,2x)≥2，当且仅当x＝0时取等号，
∴0<65－8(2x＋2－x)≤49，
故65－8(2x＋2－x)的取值范围为(0,49]．
故当a>1时，函数y＝f(x)＋f(－x)的值域为(－∞，lga49]；当0