高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算导学案，共9页。学案主要包含了指数式与对数式的互化，利用对数式与指数式的关系求值，利用对数性质及对数恒等式求值等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.掌握对数的基本性质及对数恒等式．
知识点一 对数的概念
对数的概念：在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
常用对数：以10为底的对数称为常用对数，lg10N可简写为lg_N.
自然对数：以无理数e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，lgeN简写为ln_N.
知识点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔lgaN＝x.
对数恒等式：＝N；lgaax＝x(a>0且a≠1)．
知识点三 对数的性质
1．1的对数为零．
2．底数的对数等于1，即lgaa＝1.
3．零和负数没有对数．
1．若3x＝2，则x＝lg32.( √ )
2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以lgaa＝1.( √ )
3．lgaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( × )
4．若ln N＝eq \f(1,2)，则N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))e.( × )

一、指数式与对数式的互化
例1 将下列指数式与对数式互化：
(1)2－2＝eq \f(1,4)；(2)102＝100；
(3)ea＝16；(4)＝eq \f(1,4)；
(5)lg39＝2；(6)lgxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．
解 (1)lg2eq \f(1,4)＝－2.
(2)lg10100＝2，即lg 100＝2.
(3)lge16＝a，即ln 16＝a.
(4)lg64eq \f(1,4)＝－eq \f(1,3).
(5)32＝9.
(6)xz＝y.
反思感悟 指数式与对数式互化的思路
(1)将指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)将对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：
(1)lg216＝4；(2)＝6；
(3)43＝64；(4)3－3＝eq \f(1,27).
解 (1)因为lg216＝4，所以24＝16.
(2)因为＝6，所以(eq \r(3))6＝x.
(3)因为43＝64，所以lg464＝3.
(4)因为3－3＝eq \f(1,27)，所以lg3eq \f(1,27)＝－3.
二、利用对数式与指数式的关系求值
例2 (1)求下列各式中x的值：
①lg64x＝－eq \f(2,3)；②lgx8＝6；
③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
解 ①x＝＝4－2＝eq \f(1,16).
②因为x6＝8，x>0，且x≠1，
所以x＝
③因为10x＝100＝102，所以x＝2.
④由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(2)设a＝lg310，b＝lg37，求3a－b的值．
解 因为a＝lg310，b＝lg37，所以3a＝10,3b＝7.
则3a－b＝eq \f(3a,3b)＝eq \f(10,7).
反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
跟踪训练2 (1)计算lg927， 的值；
(2)求下列各式中x的值：
①lg27x＝－eq \f(1,3)；②lgx16＝－4.
解 (1)设x＝lg927，则9x＝27,32x＝33，
∴2x＝3，x＝eq \f(3,2).
设x＝，则(eq \r(4,3))x＝81, ＝34，
∴eq \f(x,4)＝4，x＝16.
(2)①∵lg27x＝－eq \f(1,3)，
∴x＝ ＝3－1＝eq \f(1,3).
②∵lgx16＝－4，
∴x－4＝16，即x4＝eq \f(1,16)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4，
又x>0，且x≠1，
∴x＝eq \f(1,2).
三、利用对数性质及对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；(2)lg3(lg x)＝1；(3)x＝ .
解 (1)∵lg2(lg5x)＝0，
∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)x＝ .
反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．lgaN＝0⇒N＝1；lgaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：algaN＝N，lgaaN＝N.
跟踪训练3 (1)若lg2(lg3x)＝lg3(lg4y)＝lg4(lg2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 A
解析 ∵lg2(lg3x)＝0，∴lg3x＝1.∴x＝3.
同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
(2)设 ＝27，则x＝________.
答案 13
解析 因为＝27，所以2x＋1＝27，解得x＝13.
1．将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－2＝9写成对数式，正确的是( )
A．lg9eq \f(1,3)＝－2 B.＝－2
C． ＝9 D.lg9(－2)＝eq \f(1,3)
答案 B
解析 根据对数的定义，得＝－2.
2．把对数式x＝lg 2化为指数式为( )
A．10x＝2 B．x10＝2
C．x2＝10 D．2x＝10
答案 A
解析 根据指数式与对数式的互化可知x＝lg 2化为指数式为10x＝2.
3．(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)
C．lg39＝2与＝3
D．lg77＝1与71＝7
答案 ABD
解析 指对互化的关系：ax＝N⇔x＝lgaN可知ABD都正确；C中lg39＝2⇔9＝32.
4．＝________.
答案 3
解析 由对数恒等式得，＝3.
5．若lg3(lg2x)＝0，则＝________.
答案 eq \r(2)
解析 ∵lg3(lg2x)＝0，∴lg2x＝30＝1，
∴x＝2，即＝eq \r(2).
1．知识清单：
(1)对数的概念．
(2)自然对数、常用对数．
(3)指数式与对数式的互化．
(4)对数的性质．
2．方法归纳：指数式与对数式的互化．
3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．
1．(多选)下列说法正确的有( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底的对数叫做常用对数
D．以e为底的对数叫做自然对数
答案 ACD
解析 ACD正确，B不正确，只有当a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．lg3eq \f(1,81)等于( )
A．4 B．－4 C.eq \f(1,4) D．－eq \f(1,4)
答案 B
解析 ∵3－4＝eq \f(1,81)，∴lg3eq \f(1,81)＝－4.
3．方程＝eq \f(1,4)的解是( )
A．x＝eq \f(1,9) B．x＝eq \f(\r(3),3)
C．x＝eq \r(3) D．x＝9
答案 A
解析 因为＝2－2，所以lg3x＝－2，
所以x＝3－2＝eq \f(1,9).
4．若lgaeq \r(5,b)＝c(a>0且a≠1)，则下列等式正确的是( )
A．b5＝ac B．b＝a5c
C．b＝5ac D．b＝c5a
答案 B
解析 由lgaeq \r(5,b)＝c，得ac＝eq \r(5,b)，所以b＝a5c.
5．若lga3＝m，lga5＝n(a>0且a≠1)，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75 C．45 D．225
答案 C
解析 由lga3＝m，得am＝3，由lga5＝n，得an＝5，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
6．计算：＝________.
答案 20
解析 ＝4×5＝20.
7．方程lg3(2x－1)＝1的解为x＝________.
答案 2
解析 由题意得2x－1＝3，∴x＝2.
8．ln(lg 10)＋eq \r(π－42)＝________.
答案 4－π
解析 ln(lg 10)＋eq \r(π－42)＝ln 1＋4－π
＝0＋4－π＝4－π.
9．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
(1)lg2x＝－eq \f(2,5)；(2)lgx3＝－eq \f(1,3).
解 (1)因为lg2x＝－eq \f(2,5)，
所以x＝＝eq \f(1,\r(5,4))＝eq \f(\r(5,8),2) .
(2)因为lgx3＝－eq \f(1,3)，所以＝3，
即x＝3－3＝eq \f(1,27).
10．(1)已知lg189＝a，lg1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知lgx27＝，求x的值．
解 (1)∵lg189＝a，lg1854＝b，
∴18a＝9,18b＝54，
∴182a－b＝eq \f(182a,18b)＝eq \f(92,54)＝eq \f(3,2).
(2)lgx27＝＝3·＝3×2＝6.
∴x6＝27，∴x6＝33，
又x>0且x≠1，∴x＝eq \r(3).
11．已知lgax＝2，lgbx＝1，lgcx＝4(a，b，c，x>0且x≠1)，则lgx(abc)等于( )
A.eq \f(4,7) B.eq \f(2,7) C.eq \f(7,2) D.eq \f(7,4)
答案 D
解析 由题意得，x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以abc＝.即lgx(abc)＝eq \f(7,4).
12．若lg(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案 －3
解析 由lg(1－x)(1＋x)2＝1，得(1＋x)2＝1－x，
∴x2＋3x＝0，∴x＝0或x＝－3.
注意到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1－x≠1，,1＋x≠0，))∴x＝－3.
13．若lg5[lg3(lg2x)]＝0，则＝________.
答案 eq \f(\r(2),4)
解析 ∵lg5[lg3(lg2x)]＝0，
∴lg3(lg2x)＝1，∴lg2x＝3，∴x＝23.
∴
＝eq \f(1,\r(23))＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
14．计算： ＝________.
答案 25
解析
＝8×3＋eq \f(9,9)＝25.
15．若a>0，＝eq \f(4,9)，则等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 因为＝eq \f(4,9)，a>0，
所以a＝ ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，
所以＝3.
16．若＝m，＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．
解 因为＝m，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.
因为＝m＋2，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.
所以eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.