高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案，共11页。学案主要包含了对数函数的概念及应用，与对数函数有关的定义域，对数函数的图像等内容，欢迎下载使用。


知识点一 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
知识点二 对数函数的图像与性质
1．y＝lg2x2是对数函数．( × )
2．函数y＝lga(x－1)(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．( × )
3．对数函数的图像一定在y轴右侧．( √ )
4．当01，则y＝lgax的函数值都大于零．( × )
一、对数函数的概念及应用
例1 (1)下列给出的函数：
①y＝lg5x＋1；②y＝lgax2(a>0且a≠1)；
③y＝；④y＝lg3eq \f(x,2)；
⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0且x≠1)；⑥y＝.
其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图像过点M(8,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．
(2)设f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，
由图像过点M(8,3)，得3＝lga8，解得a＝2.
所以对数函数的解析式为f(x)＝lg2x，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
跟踪训练1 (1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－8)＝________.
答案 (1)1 (2)－3
解析 (1)由a2－a＋1＝1，解得a＝1或a＝0，
又a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1.
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－8)＝－f(8)＝－lg28＝－3.
二、与对数函数有关的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝eq \r(lg2－x)；
(3)y＝eq \f(lg2＋x－x2,|x|－x).
解 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))解得－3∴函数的定义域是(－3,3)．
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2－x≥0，,2－x>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x≥1，,2－x>0，))解得x≤1.
故函数y＝eq \r(lg2－x)的定义域为(－∞，1]．
(3)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋x－x2>0，,|x|－x≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x－2<0，,|x|≠x，))解得－1因此函数y＝eq \f(lg2＋x－x2,|x|－x)的定义域为(－1,0)．
反思感悟 求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(\r(x2－4),lgx＋3)；
(2)y＝lg2(16－4x)．
解 (1)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4≥0，,x＋3>0，,x＋3≠1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－2或x≥2，,x>－3，,x≠－2，))
即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝lg2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
三、对数函数的图像
例3 如图所示，曲线是对数函数y＝lgax的图像，已知a取eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，则对应于c1，c2，c3，c4的a值依次为( )
A.eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)
B.eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(1,10)，eq \f(3,5)
C.eq \f(4,3)，eq \r(3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)
D.eq \f(4,3)，eq \r(3)，eq \f(1,10)，eq \f(3,5)
答案 A
解析 方法一 观察在(1，＋∞)上的图像，先排c1，c2底的顺序，底数都大于1，当x>1时图像靠近x轴的底数大，c1，c2对应的a值分别为eq \r(3)，eq \f(4,3).然后考虑c3，c4底数的顺序，底数都小于1，当x<1时图像靠近x轴的底数小，c3，c4对应的a值分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,10).综合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次为eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10).
方法二 如图，作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝lgax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1，c2，c3，c4对应的a值分别为eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10).
反思感悟 函数y＝lgax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响(如图)
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像越靠近x轴，0(2)左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
跟踪训练3 (1)函数y＝lga(x＋2)＋1的图像过定点( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(－2,1) D．(－1,1)
答案 D
解析 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝lga1＋1＝1，
故函数y＝lga(x＋2)＋1的图像过定点(－1,1)．
(2)如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图像，则( )
A．0C．a>b>1D．b>a>1
答案 B
解析 作直线y＝1(图略)，则直线y＝1与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0对数型函数的作图
典例 作出函数y＝|lg2(x＋1)|的图像．
解 第一步：作y＝lg2x的图像，如图(1)所示．
第二步：将y＝lg2x的图像沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝lg2(x＋1)的图像，如图(2)所示．
第三步：将y＝lg2(x＋1)在x轴下方的图像作关于x轴的对称变换，得y＝|lg2(x＋1)|的图像，如图(3)所示．
[素养提升] (1)对有关对数函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变化得到所要求的函数图像．特别的，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)常见的函数图像的变换技巧
= 1 \* GB3 ①y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留y轴右边的图像),\s\d5(并作关于y轴对称的图像))y＝f(|x|)．
= 2 \* GB3 ②y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方的图像),\s\d5(将x轴下方的图像翻折上去))y＝|f(x)|.
= 3 \* GB3 ③y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)．
= 4 \* GB3 ④y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)．
1．(多选)下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x)
B．y＝lg(2a－1)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>\f(1,2)且a≠1))
C．y＝lg2x＋1
D．y＝lg x
答案 BD
解析 选项A，C中的函数都不具有“y＝lgax(a>0且a≠1)”的形式．
2．函数y＝lg2(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 C
解析 由题意知x－2>0，解得x>2.
3．对数函数的图像过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg4x B．y＝
C．y＝ D．y＝lg2x
答案 D
解析 设该函数为y＝lgax(a>0且a≠1)，由于对数函数的图像过点M(16,4)，所以4＝lga16，解得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝lg2x.
4．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是( )
答案 C
解析 由底数大于1可排除A，B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图像向左平移1个单位长度．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
5．函数y＝lga(x－2)(a>0且a≠1)的图像恒过定点________．
答案 (3,0)
解析 令x－2＝1，即x＝3时，y＝lga1＝0，
即函数的图像恒过定点(3,0)．
1．知识清单：
(1)对数函数的概念．
(2)对数函数的定义域问题．
(3)对数函数的图像．
2．方法归纳：定义法、数形结合法．
3．常见误区：对数函数底数有限制条件易忽视．
1．(多选)下列函数，其中是对数函数的有( )
A．y＝
B．y＝lg3(x－1)
C．y＝lg(a＋1)x(a>－1且a≠0)
D．y＝lgπx
答案 CD
解析 AB不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；CD是对数函数．
2．(多选)在对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)中，下列描述正确的是( )
A．定义域是(0，＋∞)、值域是R
B．图像必过点(1,0)
C．当01时，在(0，＋∞)上是增函数
D．对数函数既不是奇函数，也不是偶函数
答案 ABCD
3．函数y＝eq \f(lg |x|,x)的图像大致是( )
答案 D
解析 函数y＝eq \f(lg |x|,x)的定义域是{x|x≠0}，且易得函数为奇函数，所以函数图像关于原点对称，可排除A，B；当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图像与x轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D中图像符合．
4．函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1)
C．(0,1] D．[0,1]
答案 B
解析 因为y＝eq \r(x)ln(1－x)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－x>0，))
解得0≤x<1.
5．函数y＝ax与y＝－lgax(a>0且a≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是( )
答案 A
解析 函数y＝－lgax恒过定点(1,0)，排除B项；
当a>1时，y＝ax是增函数，y＝－lgax是减函数，排除C项；
当06．函数f(x)＝eq \f(1,\r(x－1))＋lg(10－x)的定义域为________．
答案 (1,10)
解析 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,10－x>0，))解得1故定义域为(1,10)．
7．若函数f(x)＝lga(x＋3)＋eq \f(1,2)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在函数y＝bx(b>0且b≠1)上，则b＝________.
答案 eq \r(2)
解析 因为f(x)＝lga(x＋3)＋eq \f(1,2)恒过定点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))，
所以b－2＝eq \f(1,2)，又b>0，b≠1，解得b＝eq \r(2).
8．若函数y＝(3x－a)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))，则a＝________.
答案 2
解析 由y＝(3x－a)知，3x－a>0，即x>eq \f(a,3).
∴eq \f(a,3)＝eq \f(2,3)，即a＝2.
9．若函数y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)的图像过点(－1,0)．
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域．
解 (1)将(－1,0)代入y＝lga(x＋a)(a>0且a≠1)中，
有0＝lga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.
(2)由(1)知y＝lg2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，
所以函数的定义域为(－2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的单调区间．
解 (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
又f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图像关于y轴对称，如图所示．
(3)由图可得函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．
11．若函数f(x)＝lga(x＋b)的图像如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图像大致是( )
答案 D
解析 由f(x)的图像可知0∴g(x)的图像应为D.
12．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝lg3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2C．x1答案 A
解析 分别作出三个函数的大致图像和直线y＝a，如图所示．
由图可知，x213．函数f(x)＝eq \r(a－lg x)的定义域为(0,10]，则实数a的值为________．
答案 1
解析 由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，
由a－lg x≥0，得lg x≤a，
又当014．函数y＝lga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m>0，n>0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
答案 8
解析 ∵x＝－2时，y＝lga1－1＝－1，
∴函数y＝lga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图像恒过定点A(－2，－1)，
∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，
∵m>0，n>0，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n)＋2
≥4＋2·eq \r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8，
当且仅当m＝eq \f(1,4)，n＝eq \f(1,2)时取等号．
15．已知函数f(x)＝的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．
答案 [1,2]
解析 作出f(x)＝的图像(如图)可知，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝f(2)＝1，f(1)＝0，
由题意结合图像知1≤m≤2.
16．已知f(x)＝lg2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图像上时，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)，\f(y,2)))在函数y＝g(x)的图像上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
解 (1)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝fx＝lg2x＋1，,\f(y,2)＝g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))，))
则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)))＝eq \f(1,2)lg2(x＋1)，
故g(x)＝eq \f(1,2)lg2(3x＋1)．
(2)由f(x)－g(x)＝0得，
lg2(x＋1)＝eq \f(1,2)lg2(3x＋1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,3x＋1>0，,3x＋1＝x＋12，))解得x＝0或x＝1.y＝lgax(a>0且a≠1)
底数
a>1
0图像
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图像过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
函数值
特点
当x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
当x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝lgax与y＝的图像关于x轴对称