数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.5 增长速度的比较学案

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知识点一 函数的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，
函数y＝f(x)的平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx)
为割线AB的斜率，如图所示．
提醒 Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
知识点二 三种常见函数模型的增长差异
1．函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．( × )
2．函数y＝衰减的速度越来越慢．( √ )
3．能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( √ )
4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．( × )
一、平均变化率的比较
例1 (1)在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝eq \f(1,x)中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速率分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
答案 (1)B (2)v3>v2>v1
解析 (1)Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq \f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq \f(1,1＋Δx)＝－eq \f(10,13).所以k3>k2>k1>k4.
(2)v1＝eq \f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，
v2＝eq \f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，
v3＝eq \f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，
又因为kBC>kAB>kOA，所以v3>v2>v1.
反思感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)求Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)求Δx＝x2－x1.
(3)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1).
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1k2
C．k1＝k2 D．无法确定
答案 D
解析 k1＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0＋Δx，
k2＝eq \f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝2x0－Δx，
又Δx可正可负且不为零，
所以k1，k2的大小关系不确定．
(2)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．(填序号)
①在0到t0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；
②在0到t0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率；
③在t0到t1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率；
④在t0到t1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率．
答案 ③
解析 由图像知，0～t0范围：v甲＝v乙＝eq \f(s0,t0)；
t0～t1范围：v甲＝eq \f(s2－s0,t1－t0)，v乙＝eq \f(s1－s0,t1－t0).
因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，
所以v甲>v乙．所以③正确．
二、几类函数模型增长差异的比较
例2 (1)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 由函数性质可知，在区间(4，＋∞)上，指数函数g(x)＝2x增长最快，对数函数h(x)＝lg2x增长最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)．
(2)四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是哪一个？为什么？
解 最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，理由如下：显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.
反思感悟 常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．
跟踪训练2 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
关于x呈指数级变化的变量是________．
答案 y2
解析 以爆炸式增长的变量呈指数级变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
三、指数函数、对数函数与二次函数模型的比较
例3 函数f(x)＝2x(x>0)和g(x)＝x2(x>0)的图像如图所示．设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)求点A，B的坐标；
(3)结合函数图像，判断f(3)，g(3)，f(2 020)，g(2 020)的大小．
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x2(x>0)，C2对应的函数为f(x)＝2x(x>0)．
(2)因为f(2)＝4，g(2)＝4，f(4)＝16，g(4)＝16，
所以A(2,4)，B(4,16)．
(3)由图像和(2)可知，
当0g(x)，
当2当x>4时，f(x)>g(x)，
所以f(2 020)>g(2 020)，f(3)又因为g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以g(2 020)>g(3)，
故f(2 020)>g(2 020)>g(3)>f(3)．
反思感悟 指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图像判断指数函数、对数函数和二次函数的增长速度时，通常是观察函数图像上升的快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练3 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．
(1)指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为( )
A．x0＋Δx B．1＋Δx
C．2＋Δx D．2
答案 D
解析 由题意，可得平均变化率
eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \f(2x0＋Δx－2x0,Δx)＝2.
2．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 020x B．y＝x2 020
C．y＝lg2 020x D．y＝2 020x
答案 A
解析 比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．
3．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为( )
A．－3 B．2 C．3 D．－2
答案 C
解析 根据平均变化率的定义，
可知eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3.
4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝lg2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
答案 B
解析 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图像(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图像依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝lg2x，故y2>y1>y3.
5．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为________，________，________.
答案 y3 y2 y1
解析 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，变量y3随x的变化越来越慢，为对数函数；y2随x的变化越来越快，为指数函数；y1随x的变化速度介于指数函数与对数函数之间，为幂函数．
1．知识清单：
三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．
1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
答案 C
解析 依题意，所求平均变化率为
eq \f(1＋Δx2－12,Δx)＝2＋Δx.
2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
答案 B
解析 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)
＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.
3．我国工农业总产值从1999年到2019年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4
答案 D
解析 本题为增长率模型函数，为指数型函数形式．
设1999年总产值为1，则(1＋x)20＝4.
4．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为( )
A．2 B．1 C．－1 D．6
答案 B
解析 由已知，得eq \f(s3－s2,3－2)＝26，
即(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.
5．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x
C．y＝lg2x D．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
答案 D
解析 方法一 相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，
基本上是逐渐增加的，二次函数曲线拟合程度最好．
方法二 比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
6．若函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为eq \f(1,2)，且函数的图像过点(2,2)，则f(x)＝________.
答案 eq \f(1,2)x＋1
解析 因为函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为eq \f(1,2)，则f(x)为一次函数，设f(x)＝eq \f(1,2)x＋b，又函数图像过点(2,2)，所以2＝eq \f(1,2)×2＋b，所以b＝1，所以f(x)＝eq \f(1,2)x＋1.
7．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．
答案 [x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为eq \f(fx2－fx1,x2－x1)，eq \f(fx3－fx2,x3－x2)，eq \f(fx4－fx3,x4－x3)，结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
8．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．
答案 f(x)>g(x)
解析 方法一 在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)>g(x)．
方法二 分别计算f(x)，g(x)在区间[4,8]上的平均变化率得，eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(38－34,8－4)＝34×20＝1 620，eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(2×8－2×4,8－4)＝2，因此在区间[4,8]上，f(x)的平均变化率最大，故必有f(x)>g(x)．
9．已知函数f(x)＝2x2＋3，g(x)＝2x2＋x，h(x)＝2x2－x，分别计算这三个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．
解 因为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f3－f2,3－2)
＝eq \f(2×32＋3－2×22＋3,1)＝eq \f(18－8,1)＝10，
eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(g3－g2,3－2)＝eq \f(2×32＋3－2×22＋2,1)＝11，
eq \f(Δh,Δx)＝eq \f(h3－h2,3－2)＝eq \f(2×32－3－2×22－2,1)＝9，
11>10>9，因此在区间[2,3]上，g(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．
10．某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示．
比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？
解 当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
eq \f(38.5－39,20－0)＝eq \f(－0.5,20)＝－0.025(℃/min)；
当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为
eq \f(38－38.5,30－20)＝eq \f(－0.5,10)＝－0.05(℃/min)．
这里负号表示体温下降，显然，绝对值越大，下降得越快，又因为|－0.025|<|－0.05|，故体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快．
11．已知四个函数：①y＝x；②y＝2x；③y＝x3；④y＝eq \f(1,x)，其中在区间[2,4]上的平均变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
答案 B
解析 对于函数①y＝x，其在区间[2,4]上的平均变化率为eq \f(4－2,4－2)＝1；对于函数②y＝2x，其在区间[2,4]上的平均变化率为eq \f(24－22,4－2)＝6；对于函数③y＝x3，其在区间[2,4]上的平均变化率为eq \f(43－23,4－2)＝28；对于函数④y＝eq \f(1,x)，其在区间[2,4]上的平均变化率为eq \f(\f(1,4)－\f(1,2),4－2)＝－eq \f(1,8).
12．函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．
答案 3
解析 在x＝1附近的平均变化率为
eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq \f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq \f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.
对任意Δx有，k1∴在x＝3附近的平均变化率最大．
13．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：
①前5 min温度增加的速度越来越快；②前5 min温度增加的速度越来越慢；③5 min以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
答案 ②④
解析 因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位，则y相应的增量越来越小，而5 min后y关于t的增量保持为0，则②④正确．
14．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝3x，h(x)＝ln x，这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率的大小为____________．
答案 f(x)>g(x)>h(x)
解析 因为eq \f(Δf,Δx)＝eq \f(a＋12－a2,a＋1－a)＝2a＋1，
eq \f(Δg,Δx)＝eq \f(3a＋1－3a,a＋1－a)＝3，
eq \f(Δh,Δx)＝eq \f(lna＋1－ln a,a＋1－a)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))，
又因为a>1，
所以2a＋1>2×1＋1＝3，
lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,a)))因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．
15．已知函数y＝x3－2的图像上一点(1，－1)及邻近一点(1＋Δx，－1＋Δy)，则eq \f(Δy,Δx)等于( )
A．3 B．3＋(Δx)2
C．3＋3Δx D．3＋3Δx＋(Δx)2
答案 D
解析 由题意，－1＋Δy＝(1＋Δx)3－2，
∴Δy＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
∴eq \f(Δy,Δx)＝(Δx)2＋3Δx＋3.
16．某公司对营销人员有如下规定：
①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝lgax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x所在的范围．
解 (1)由题意知y＝lgax是增函数，∴a>1，
又当x∈[8,64]时，y∈[3,6]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lga8＝3，,lga64＝6，))∴a＝2，
∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤x<8，,lg2x，8≤x≤64，,10%x，x>64.))
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x≥4，,10%x≤10，))解得16≤x≤100，
∴年奖金y∈[4,10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16,100]．函数
性质
y＝ax
(a>1)
y＝lgax
(a>1)
y＝kx
(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图像的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于“平缓”
随x的增大匀速上升
增长速度
y＝ax的增长速度快于y＝kx，y＝kx的增长速度快于y＝lgax
增长后果
必存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>lgax
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 185
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01