人教版新课标B必修1本节综合第1课时学案

这是一份人教版新课标B必修1本节综合第1课时学案，共12页。学案主要包含了函数的零点及求法，二次函数的零点及其与对应方程，简单的高次不等式的解法等内容，欢迎下载使用。

§3.2　函数与方程、不等式之间的关系
第1课时　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
学习目标　1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.3.了解高次不等式的解法．

知识点一　函数零点的概念
(1)一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
(2)α是函数y＝f(x)零点的充要条件是，_(α，0)是函数图像与x轴的公共点．
思考　函数的零点是“点”吗？
答案　函数的零点不是点，而是一个实数，即函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．
知识点二　二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像



一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1 有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}

R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1 ∅
∅

思考　函数的零点与方程的根及函数图像有何关系？
答案　方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

1．函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　×　)
2．所有的函数都有零点．(　×　)
3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点．(　√　)
4．不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点有关．(　√　)

一、函数的零点及求法
命题角度1　求函数的零点
例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4.
解　(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
反思感悟　求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时注意函数的定义域．
(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.
跟踪训练1　求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝.
解　(1)解方程x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
命题角度2　函数的零点个数问题
例2　函数f(x)＝的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　方法一　因为方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点：－2与1.
方法二　画出函数f(x)＝的图像，如图所示，观察图像可知，f(x)的图像与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．

反思感悟　 判断函数零点个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断．
(2)结合函数图像进行判断．
跟踪训练2　设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
得∴
∴f(x)＝
当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2.
当x>0时，f(x)＝2＝x，解得x＝2.
∴方程f(x)＝x的解有3个．
二、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
例3　解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3＜0；
(2)－3x2＋6x≤2.
解　(1)因为Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
所以作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图①所示．

由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，
因为Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，
得x1＝，x2＝，
所以作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.

反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤
第一步：求函数的零点；
第二步：作出函数的图像；
第三步：求对应不等式的解集．
跟踪训练3　解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.∴作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图．由图可得原不等式的解集为∪.

(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
∴原不等式的解集为∅.
三、简单的高次不等式的解法
例4　求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
解　函数零点依次为－，1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x


(1,3)
(3，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋

由此可以画出函数图像的示意图如图所示．

由图可知f(x)>0的解集为∪(3，＋∞)；
f(x)≤0的解集为∪[1,3]．
反思感悟　数轴穿根法的步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证最高次项的系数为正数)；
第二步：将不等号换成等号解出所有根；
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；
第四步：画穿根线，以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过次右根，一上一下依次穿过各根(遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透)；
第五步：观察不等号，如果不等号为>，则取数轴上方穿根线以内的范围；如果不等号为＜，则取数轴下方穿根线以内的范围．
跟踪训练4　求函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
解　函数的零点为－3,1,2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(－∞，－3)
(－3,1)
(1,2)
(2，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋

根据穿根法如图，

由图可知，f(x)≥0的解集为[－3,1]∪[2，＋∞)，
f(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(1,2)．

一元二次方程根的分布问题
典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
解　(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出图像如图所示：

由图像得
即
所以－＜m＜－，即m的取值范围是.
(2)根据函数图像与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出图像如图所示：

由图像得
即所以－＜m＜1－，
即m的取值范围是.
[素养提升]　(1)解此类问题一般从四个方面考虑：
①抛物线的开口方向；
②一元二次方程根的判别式；
③对应区间端点函数值的符号；
④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．
(2)通过根的分布问题，培养直观想象与逻辑推理等核心素养．

1．函数y＝3x－1的零点是(　　)
A. 0 B. C. D.
答案　B
解析　令y＝3x－1＝0，得x＝.所以选B.
2．(多选)下列图像表示的函数中有零点的是(　　)

答案　BCD
解析　B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．
3．函数f(x)＝x－零点的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　令x－＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1.
∴f(x)＝x－的零点有两个.
4．不等式x2－4x＋3＜0的解集为________．
答案　 (1,3)
解析　作出函数y＝x2－4x＋3的图像(图略)，由图可知不等式的解集是(1,3)．
5．不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为________．
答案　(－∞，－1)∪(2,3)
解析　函数的零点为－1,2,3.
利用数轴穿根法作出函数图像的示意图(图略)，
由图可知不等式(x＋1)(x－2)(x－3)＜0的解集为(－∞，－1)∪(2,3)．

1．知识清单：
(1)函数零点的概念，零点个数的判断．
(2)由函数图像解不等式．
2．方法归纳：数形结合法、数轴穿根法．
3．常见误区：一元二次不等式含字母时需要讨论．


1．(多选) 函数y＝ax－2的零点的个数可能是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无法判断
答案　AB
解析　令y＝ax－2＝0，若a＝0，则函数没有零点，当a≠0时，得x＝，有一个零点．
∴函数y＝ax－2的零点有0个或者1个．
2．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1 B.，1
C.，－1 D．－，1
答案　B
解析　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.
3．一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)
A．－6 B．－2 C．2 D．6
答案　C
解析　由题意知方程ax2＋bx＋1＝0的实数根为－1和，且a＜0，
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝－1，所以ab＝2.
4．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)
A．2 B．－2 C．±2 D．3
答案　C
解析　因为函数有一个零点，
所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.
5．函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7
答案　D
解析　 ∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．
∵当x>0时，函数有三个零点，∴当x＜0时，函数也有三个零点．又∵0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．
6．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________，g(x)<0的解集是____________________________________．
答案　－，－　∪
解析　由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，
∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－，即为函数g(x)的零点．由g(x)＝bx2－ax－1<0，结合图像(图略)可知x<－或x>－.
7．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．
答案　3
解析　∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，1]
解析　当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
9．利用函数图像求下列不等式的解集．
(1)－x2－2x＋3>0；
(2)x3－x2－4x＋4＜0.
解　(1)设f(x)＝－x2－2x＋3，令f(x)＝0，
得－x2－2x＋3＝0，
即(x＋3)(x－1)＝0.
解得x＝－3或x＝1，
因此－3和1都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(－3,0)和(1,0)，
又因为函数的图像是开口向下的抛物线，
所以可以作出函数图像的示意图，如图所示，

由图可知：
不等式的解集为(－3,1)．
(2)设g(x)＝x3－x2－4x＋4＝(x3－x2)－(4x－4)
＝x2(x－1)－4(x－1)
＝(x－1)(x2－4)
＝(x－1)(x＋2)(x－2)，
所以函数零点依次为－2,1,2.
函数的定义域被这三个零点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(－∞，－2)
(－2,1)
(1,2)
(2，＋∞)
g(x)
－
＋
－
＋

由此可以画出函数图像的示意图，如图所示．

由图可知 x3－x2－4x＋4＜0的解集为(－∞，－2)∪(1,2)．
10．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解　(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即4＋12(1－m)>0，解得m＜；
函数有一个零点，即Δ＝0，解得m＝；
函数无零点，即Δ＜0，解得m>.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点．
(2)由已知得，0是对应方程的根，所以有1－m＝0，解得m＝1.

11．(多选)不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　)
A. B．R
C. D．∅
答案　BCD
解析　因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D.
12．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a＜b)，且α，β(α＜β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是(　　)
A．a＜α＜β＜b B．a＜α＜b＜β
C．α＜a＜b＜β D．α＜a＜β＜b
答案　A
解析　因为α，β为f(x)＝0的两根，所以α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．因为a，b为(x－a)·(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，所以a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位长度得到，由图知选A.

13．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和为________．
答案　3　0
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，又∵f(2)＝－f(－2)＝0，
∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
14．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝________.
答案　0
解析　由奇函数的对称性知，若f(x1)＝0，
则f(－x1)＝0，
即零点关于原点对称，且f(0)＝0，
故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝0.

15．一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，－5)
C. D.
答案　C
解析　关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则
解得－≤m＜－5.
故选C.
16．若函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－4x＋3.
(1)求f(x)在R上的解析式；
(2)若a∈R，g(x)＝f(x)－a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？
解　(1)当x＝0时，f(0)＝0；
当x＜0时，－x>0，根据奇函数的定义可知，
f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x＋3)＝－x2－4x－3，
故f(x)＝
(2)在平面直角坐标系中，作出函数f(x)的图像，如图所示．令g(x)＝f(x)－a＝0，g(x)零点的个数即为f(x)的图像与直线y＝a交点的个数．由图可知，

当a＝0时，g(x)＝f(x)－a有5个零点；
当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g(x)有4个零点；
当a＝±1时，g(x)有3个零点；
当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g(x)有2个零点；
当a≤－3或a≥3时，g(x)有1个零点；
故当a＝0时，g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；
当a≤－3或a≥3时，g(x)零点的个数最少．