高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第2课时导学案，共10页。

第2课时　函数的平均变化率
学习目标　1.了解直线的斜率及意义.2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系.3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性．

知识点一　直线的斜率
1．直线的斜率的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为.
思考　垂直于x轴的直线斜率存在吗？
答案　由于直线垂直于x轴时，x1＝x2，所以斜率不存在.
2．直线的斜率的作用
直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
知识点二　函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件
1．函数的平均变化率
一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率．
2．函数递增、递减的充要条件
一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．

1．对于给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则表示直线AB的斜率．(　×　)
2．若直线的斜率不存在，则直线与x轴垂直，反之也成立．(　√　)
3．函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝.(　√　)
4．在增函数和减函数的充要条件中，可以把“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”．(　×　)

一、直线的斜率公式及应用
例1　已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)．当m为何值时，直线l的斜率是1?
解　因为直线l的斜率是1，
所以＝1，即＝1，解得m＝.
反思感悟　利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
跟踪训练1　已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．
解　∵A，B，C三点共线，且3≠－2，
∴BC，AB的斜率都存在，且kAB＝kBC.
又∵kAB＝＝，kBC＝＝，
∴＝，解得a＝2或a＝.
二、平均变化率的计算
例2　已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；
(3)求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
解　(1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知：＝4x0＋2Δx，∴当x0＝2，Δx＝0.01时，＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)由(1)可知＝4x0＋2Δx，∵当x0＝1，Δx＝时，
＝4×1＋2×＝5.

反思感悟　求平均变化率的主要步骤

跟踪训练2　 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
解　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，
所以平均膨胀率为＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
三、利用平均变化率证明函数的单调性
例3　若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)>0，求证：g(x)＝在I上为减函数．
证明　任取x1，x2∈I且x2>x1，则Δx＝x2－x1>0，
Δy＝f(x2)－f(x1)，
∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，
∴Δy>0，>0，
∴Δg＝g(x2)－g(x1)＝－
＝.
又∵f(x)>0，∴f(x1)f(x2)>0且f(x1)－f(x2)＜0，
∴Δg＜0，
∴＜0，故g(x)＝在I上为减函数．
反思感悟　单调函数的运算性质
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则：
(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
(2)f(x)与a·f(x)，当a>0时具有相同的单调性；
当a＜0时具有相反的单调性．
(3)当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与具有相反的单调性．
(4)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
增函数
增函数
增函数
不能确定单调性
增函数
减函数
不能确定单调性
增函数
减函数
减函数
减函数
不能确定单调性
减函数
增函数
不能确定单调性
减函数

跟踪训练3　证明：f(x)＝是定义域上的增函数．
证明　∵函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，
∴任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，
则＝
＝＝
＝>0，
∴函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．

1．对于函数y＝，当Δx＝1时，Δy的值是(　　)
A．1 B．－1 C．0.1 D．不能确定
答案　D
解析　只由Δx＝1不能确定区间的端点，Δy的值不能确定．
2. 过下列两点的直线不存在斜率的是(　　)
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
答案　 D
解析　当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在．
3．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(　　)
A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1
答案　B
解析　∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.
∴kAB＝＝＝2.3.
4．函数f(x)＝在区间上的平均变化率为(　　)
A．2 B. C. D.
答案　B
解析　函数f(x)＝在区间上的平均变化率为＝＝.
5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为______．

答案　－1
解析　由函数平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为＝＝＝－1.

1．知识清单：
(1)直线的斜率．
(2)函数的平均变化率．
(3)函数增减性的充要条件．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：直线与x轴垂直时直线的斜率存在性问题．


1. (多选)在函数的平均变化率中，Δx可以(　　)
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．任何实数
答案　AB
解析　由函数的平均变化率的定义可知，Δx≠0.
2．如果过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，那么m的值为(　　)
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
答案　A
解析　由题意得＝1且m≠－2，解得m＝1.
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　)
A．4 B．4x C．4.2 D．4.02
答案　C
解析　＝＝＝4.2.
4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a等于(　　)
A．－3 B．2 C．3 D．－2
答案　C
解析　根据平均变化率的定义，
可知＝＝a＝3.
5．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案　 C
解析　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx.
6. 函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．
答案　6x0＋3Δx　12.3
解析　函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，
函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
7．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1_______k2(填“>”“<”“＝”)．
答案　>
解析　∵k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又由题意知Δx>0，故k1>k2.
8．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，直线AB的斜率为________．
答案　－
解析　Δy＝－1－＝，
所以kAB＝＝－，所以当Δx＝1时，kAB＝－.
9.证明：函数f(x)＝＋x是增函数．
证明　设x1≠x2，
则＝＝
＝＋1.
∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴>0.
∴函数f(x)＝＋x是增函数．
10．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？

解　在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但>，
即＜，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．
所以乙厂治污效果较好．

11．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　由函数f(x)的图像知，
f(x)＝所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
12．(多选) 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，根据增(减)函数的定义，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)与f(x)－c(c为常数)具有相同的单调性
B．函数f(x)与c·f(x)具有相同的单调性
C．若f(x)≠0，则函数f(x)与－具有相反的单调性
D．若f(x)>0，g(x)>0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减)函数
答案　AD
解析　对于A，根据图像进行上下平移单调性不变，可知命题正确；
对于B，当c<0时，二者单调性相反，命题错误；
对于C，二者具有相同的单调性，命题错误；
对于D，根据正数的同向不等式具有可乘性，可知命题正确．
13．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝_______.
答案　
解析　因为f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，
m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
14．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
答案　
解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝.
∴2(a＋b)＝ab，∴＝，∴＋＝.

15．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的(　　)


答案　B
解析　由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得越来越快，后减少得越来越慢．
16．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋＋2.
设任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，
则＝＝1－.
因为x1≠x2，且x1≥1，x2≥1，所以x1x2>1，
所以1－>0，所以>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
所以函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝1＋＋2＝.
(2)因为f(x)＝>0在[1，＋∞)上恒成立，
所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立．
记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，
故当x＝1时，y取得最小值，最小值为3＋a.
所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立，
所以实数a的取值范围为(－3，＋∞)．