高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计

函数的零点与方程的解

【学习目标】

1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2．领会函数零点与相应方程的解之间的关系；掌握零点存在的判断条件。

【学习重点】

零点的概念及零点存在性定理

【学习难点】

函数零点存在的判断方法

【学习过程】

一、问题引入：

问题1．完成下表，思考方程的根与相应函数图像有什么联系？

[结论]                                                                       

问题2．上面的结论对于一般的一元二次函数及相应的方程是否仍然成立？

二、自主学习：阅读课本，解决下列问题

1.函数零点的定义：                                                         

2.函数零点的等价关系:   函数的零点                              

3.零点存在性定理：                                                                                

                                                                      。

4.概念辨析：判断正误，如不正确，请使用函数图像举出反例。

（1）已知函数在满足f（a）·f（b）＜0，则f(x)在内存在零点。（   ）

（2）已知函数在连续，且满足f（a）·f（b）>0，则f(x)在内没有零点。（  ）

（3）已知函数在连续，且满足f（a）·f（b）＜0，则f(x)在内只有一个零点。（ ）

三.合作探究

（一）求零点问题

例1．函数的零点为（  ）

A．    B．1， 2   C．   D．1，-2，  2

方法总结：根据函数零点的的定义，求函数y=f(x)零点的就是求对应方程f(x)=0的根.

变式1.（课本P143/例1）求函数的实数解的个数。

（二）求零点个数问题

例2.求函数的零点个数是        个.  

方法总结：根据函数零点的等价关系，对于不能求出方程f(x)=0的根的，将零点与函数y=f(x)的图象联系起来，利用图象找出零点个数.

练习2．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：

那么函数在区间[1 ， 6]上的零点至少有几个？哪些区间上一定存在零点？

（三）求零点所在区间问题

例3.设，则函数的零点位于区间（    ）

     A.(-1,0)  B.(0,1)   C.(1,2)   D.(2,3)

方法总结：求函数零点所在的区间，根据零点存在性定理，求函数y=f(x)零点就是求方程f(x)=0的根.判断函数零点所在区间的三个步骤

①代入：将区间端点值代入函数解析式求出相应的函数值．

②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点；若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

练习3．函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ） 

 A．(-2，-1)   B．(0，1)    C．(1，2)   D．(2，3)

（四）零点的有关参数问题

例4.已知函数,若关于的方程有两个不同的实根,

求实数的取值范围.

方法总结：已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

练习4.已知函数的零点位于区间，求的值.

四、当堂检测

1．求下列函数的零点：

（1）     （2）    （3）

例3．求函数f(x)=㏑x + 2x – 6零点的个数。

1．函数的零点所在大致区间为（   ）

A．   B．    C．   D．

2．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在上只有一个零点，则f(x)的零点个数为（ ）

A．3      B．2       C．1     D．不确定

3.求函数的零点.    

4.判断函数的零点的个数.

五.课后小结

1．函数的零点及零点的等价形式

2.零点存在性定理

六.课后作业：

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)

A．－，－1　　　　　　　　　 B．，1

C．，－1     D．－，1

2．函数f(x)＝log2(2x－1)的零点是(　　)

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．(1，0)     D．(2，1)

3．函数f(x)＝x3－3x－3零点所在的区间是(　　)

A．(－1，0)     B．(0，1)

C．(1，2)     D．(2，3)

4．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)　

A．2     B．－2   

C．±2     D．3

5．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1)     B．(－1，0)   

C．(0，1)     D．(1，2)

6．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为　(　　)

A．，0     B．－2，0

C．     D．0

7．若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，则y＝f(x)有唯一零点需满足的条件是(　　)

A．f(3)<0

B．函数f(x)在定义域内是增函数

C．f(3)>0

D．函数f(x)在定义域内是减函数

8．函数f(x)＝x3－的零点个数是(　　)

A．0     B．1

C．2     D．无数个

9．已知函数f(x)＝－2x＋m的零点为4，则实数m的值为________．　

10．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．

11．已知函数f(x)＝a＋log2x且f(a)＝1，则函数f(x)的零点为________．

12．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________．

13．函数f(x)＝2x＋x－2有________个零点．

14．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．

(1)求c的值；

(2)求证：函数f(x)在[0，2]上是增函数；

(3)已知函数g(x)＝f(ex)－，求函数g(x)的零点．

课后作业答案解析：

1．解析：选B.方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，2．答案：A

3．解析：选D.因为f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(2)·f(3)<0，所以D正确．

4．解析：选C.因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.

5．解析：选C.易知f(x)＝ex＋x－2在R内单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(x)的零点所在区间为(0，1).

6．解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0.

7． 解析：选D.因为f(1)>0，f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f(x)在定义域内必须是减函数．

8．解析：选B.作出y＝x3与y＝的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.

9．解析：f(x)＝－2x＋m的零点为4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.

答案：8

10．解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)

＝(x－1)(x＋5)(x－2)，

所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.

答案：3

11．解析：依题意有a＋log2a＝1，即log2a＝1－a.易知a＝1，

所以f(x)＝1＋log2x.令f(x)＝0，得x＝.

答案：

12．解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，

所以函数只有一个零点2，符合题意；

当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.

综上a＝或a＝0.

答案：

13．解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝－x＋2的图象，由图可知函数f(x)有1个零点．

答案：1

14． 解：(1)因为1为函数f(x)的零点，

所以f(1)＝0，即c＝1.

(2)证明：设0≤x1<x2≤2，

则f(x2)－f(x1)＝－＝.

因为0≤x1<x2≤2，

所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，

所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是增函数．

(3)令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，

所以ex＝2，即x＝ln 2，

所以函数g(x)的零点是ln 2.