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人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型导学案及答案
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这是一份人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型导学案及答案，共12页。学案主要包含了基本事件的计数问题，古典概型的计算，古典概型的综合计算等内容，欢迎下载使用。
知识点一 样本点及古典概型的特点
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
知识点二 古典概型的概率公式
假设样本空间含有n个样本点，事件C包含m个样本点，则P(C)＝eq \f(m,n).
1．任何一个事件都是一个基本事件．( × )
2．从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( × )
3．古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等．( √ )
4．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．( √ )
一、基本事件的计数问题
例1 将一枚骰子先后抛掷两次，则
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
解 方法一 (列举法)
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间为
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个基本事件．
(2)记A＝“出现的点数之和大于8”，则A＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共10个基本事件．
方法二 (列表法)
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
方法三 (树形图法)
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示．如图所示：
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．
反思感悟 随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树形图法：树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树形图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树形图法适用于较复杂的试验的题目．
跟踪训练1 袋中有红、白、黄、黑四种颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要求分别进行试验：
(1)从中任取一个球，观察其颜色；(2)从中任取两个球，观察其颜色；(3)一先一后取两个球，观察其颜色．
分别写出上面试验的基本事件，并指出基本事件总数．
解 (1)试验“从中任取一个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点总数为4.
(2)试验“从中任取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)}，样本点总数为6.
(3)试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(红，黑)，(黑，红)}，样本点总数为12.
二、古典概型的计算
例2 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，含15个样本点．
(1)A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，含6个样本点．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
(2)B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，含8个样本点．
∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝eq \f(8,15).
反思感悟 求解古典概型的概率“四步”法
跟踪训练2 (1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
(2)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
答案 (1)C (2)eq \f(3,10)
解析 (1)从5支彩笔中任取2支彩笔，样本空间为{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共含10个样本点．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个样本点，故所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
(2)记2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求概率为eq \f(3,10).
三、古典概型的综合计算
例3 先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)．
解 用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)}，包含15个样本点，所以P(B)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12).
AB＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，
所以P(AB)＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
A＋B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含18个样本点，
所以P(A＋B)＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
因为事件C的对立事件eq \x\t(C)表示“点数之和等于或大于11”，所以eq \x\t(C)＝{(5,6)，(6,5)，(6,6)}，P(eq \x\t(C))＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
所以P(C)＝1－P(eq \x\t(C))＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).
反思感悟 古典概型中概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则
(1)由0≤m≤n与P(A)＝eq \f(m,n)可知0≤P(A)≤1.
(2)因为eq \x\t(A)中所含的样本点个数为n－m，所以P(eq \x\t(A))＝eq \f(n－m,n)＝1－eq \f(m,n)＝1－P(A)，即P(A)＋P(eq \x\t(A))＝1.
(3)若事件B包含k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而P(A＋B)＝eq \f(m＋k,n)＝eq \f(m,n)＋eq \f(k,n)＝P(A)＋P(B)．
跟踪训练3 某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为eq \f(1,3)，停车费多于14元的概率为eq \f(5,12)，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解 (1)设“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝eq \f(1,3)，P(C＋D)＝eq \f(5,12).
又事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以P(A)＝1－eq \f(1,3)－eq \f(5,12)＝eq \f(1,4).
所以甲的停车费为6元的概率为eq \f(1,4).
(2)易知甲、乙停车时间的样本空间为{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点；而“停车费之和为28元”的样本点有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，所以所求概率为eq \f(3,16).
综合型古典概型的概率计算
典例 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解 (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，总的样本点个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，
所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
因为事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
(2)有放回地连续取出两件，其样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点．由于每一件产品被取到的机会相等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)＝eq \f(4,9).
[素养提升] (1)解决有序和无序问题应注意两点
①关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误；
②关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．
(2)对于求古典概型的概率问题，关键是判断事件是否为古典概型，能正确求出基本事件的个数，利用公式求解概率，这些都是数学核心素养之数学建模的体现．
1．下列试验是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球得白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．某篮球运动员投篮一次命中的概率
答案 B
解析 A，D不是等可能事件，C不满足有限性，故选B.
2．北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,5)
答案 A
解析 8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为eq \f(3,8).
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．1
答案 C
解析 从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝eq \f(2,3).
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为eq \f(1,3).
5．从1,2,3,4中随机取出两个数，则其和为奇数的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 不同的取法包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点，每个样本点发生的可能性相同，因此是古典概型．和为奇数包括(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个样本点，故所求概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
1．知识清单：
(1)古典概型概念的理解．
(2)古典概型的计算．
2．方法归纳：列举法、列表法、树形图法．
3．常见误区：基本事件列举没有规律，出现重复或遗漏．
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2>0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
答案 C
解析 A中两个样本点不是等可能的；B中样本点的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.
2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 从集合A，B中任取一个数的所有情况有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种，和为4的有(2,2)，(3,1)共2种，则所求概率为P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
3．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 所有样本点为123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点，∴P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
4．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,5)
答案 A
解析 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝eq \f(8,16)＝eq \f(1,2).
5．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
答案 B
解析 记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型概率计算公式得所求事件概率为eq \f(6,10)＝0.6.
6．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
7．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq \f(1,2)，则n的值为________．
答案 2
解析 由题意可知eq \f(n,1＋1＋n)＝eq \f(1,2)，解得n＝2.
8．从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是________．
答案 eq \f(5,6)
解析 从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长样本点有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个样本点，故至少一名女生当选的概率为P＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
解 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝eq \f(7,16).
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖概率为P(B)＝eq \f(7＋2＋1,16)＝eq \f(5,8).
10．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
解 将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间中所有样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，
所以P(A)＝eq \f(12,20)＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间中所有样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12种，所以P(B)＝eq \f(12,25)＝0.48.
11．一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,8) C.eq \f(5,6) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 记白球为1，红球为2,3，黄球为4，则试验的基本事件总数有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,4)，(3,1)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共10个基本事件，所以两次取出小球颜色不同的概率为eq \f(5,8).
12．某天上午要随机安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
答案 D
解析 我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个基本事件，因此体育课不排在第一节的概率为eq \f(3,4).
13．若从集合A＝{－2,1,2}中随机取一个数a，从集合B＝{－1,1,3}中随机取一个数b，则直线ax－y＋b＝0经过第四象限的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
答案 D
解析 由题意，从集合A＝{－2,1,2}中随机取一个数a，从集合B＝{－1,1,3}中随机取一个数b，得到(a，b)的取值的所有可能的结果共有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(1，－1)，(1,1)，(1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种结果，由直线ax－y＋b＝0，即y＝ax＋b，其中当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,b≥0))时，直线不过第四象限，共有(1,1)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，共计4种，所以直线ax－y＋b＝0经过第四象限，共有5种情况，所以概率为P＝eq \f(5,9)，故选D.
14．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(都为整数)，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
答案 eq \f(4,5)
解析 从图中的数据知甲组数据的平均数为eq \f(88＋89＋90＋91＋92,5)＝90.
若甲、乙两组平均数相等，则有90×5－(83＋83＋87＋99)＝98.
若甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，则被污损的数字可为0,1，…，7，共8种情况，
故其概率P＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).
15．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为eq \f(3,4)
C．淋雨机会为eq \f(1,2) D．淋雨机会为eq \f(1,4)
答案 D
解析 用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b分别表示帐篷运到和运不到，则所有等可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝eq \f(1,4).
16．为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]．得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人．
(1)求该组织的人数；
(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．
解 (1)由题意得70＝5×0.07·n，解得n＝200，故该组织有200人．
(2)第3组的人数为0.06×5×200＝60，
第4组的人数为0.04×5×200＝40，
第5组的人数为0.02×5×200＝20.
所以第3,4,5组共有120名志愿者，
所以从第34,5组抽取的人数分别为eq \f(6,120)×60＝3，eq \f(6,120)×40＝2，eq \f(6,120)×20＝1.
记从第3组抽取的3名志愿者为A1，A2，A3，从第4组抽取的2名志愿者为B1，B2，从第5组抽取的1名志愿者为C1.
则从6名志愿者中抽取2名志愿者的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15个．
其中第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，共12个，所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为eq \f(12,15)＝eq \f(4,5).
知识点一 样本点及古典概型的特点
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．
知识点二 古典概型的概率公式
假设样本空间含有n个样本点，事件C包含m个样本点，则P(C)＝eq \f(m,n).
1．任何一个事件都是一个基本事件．( × )
2．从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( × )
3．古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等．( √ )
4．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．( √ )
一、基本事件的计数问题
例1 将一枚骰子先后抛掷两次，则
(1)一共有几个基本事件？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？
解 方法一 (列举法)
(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间为
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个基本事件．
(2)记A＝“出现的点数之和大于8”，则A＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共10个基本事件．
方法二 (列表法)
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．
方法三 (树形图法)
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示．如图所示：
(1)由图知，基本事件总数为36.
(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．
反思感悟 随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树形图法：树形图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树形图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树形图法适用于较复杂的试验的题目．
跟踪训练1 袋中有红、白、黄、黑四种颜色不同、大小相同的球各一个，按下列要求分别进行试验：
(1)从中任取一个球，观察其颜色；(2)从中任取两个球，观察其颜色；(3)一先一后取两个球，观察其颜色．
分别写出上面试验的基本事件，并指出基本事件总数．
解 (1)试验“从中任取一个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点总数为4.
(2)试验“从中任取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(黄，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(红，黑)}，样本点总数为6.
(3)试验“一先一后取两个球，观察其颜色”的样本空间Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(红，黑)，(黑，红)}，样本点总数为12.
二、古典概型的计算
例2 袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，含15个样本点．
(1)A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，含6个样本点．
∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
(2)B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，含8个样本点．
∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝eq \f(8,15).
反思感悟 求解古典概型的概率“四步”法
跟踪训练2 (1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
(2)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．
答案 (1)C (2)eq \f(3,10)
解析 (1)从5支彩笔中任取2支彩笔，样本空间为{(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)}，共含10个样本点．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4个样本点，故所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
(2)记2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个样本点，故所求概率为eq \f(3,10).
三、古典概型的综合计算
例3 先后掷两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：两个骰子点数相同，事件B：点数之和小于7，事件C：点数之和小于11，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A＋B)，P(C)．
解 用数对(x，y)表示抛掷结果，则这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
共包含36个样本点，这36个样本点发生的可能性是相等的，A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含6个样本点，所以P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)}，包含15个样本点，所以P(B)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12).
AB＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)}，包含3个样本点，
所以P(AB)＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
A＋B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，包含18个样本点，
所以P(A＋B)＝eq \f(18,36)＝eq \f(1,2).
因为事件C的对立事件eq \x\t(C)表示“点数之和等于或大于11”，所以eq \x\t(C)＝{(5,6)，(6,5)，(6,6)}，P(eq \x\t(C))＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12).
所以P(C)＝1－P(eq \x\t(C))＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12).
反思感悟 古典概型中概率的性质
假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则
(1)由0≤m≤n与P(A)＝eq \f(m,n)可知0≤P(A)≤1.
(2)因为eq \x\t(A)中所含的样本点个数为n－m，所以P(eq \x\t(A))＝eq \f(n－m,n)＝1－eq \f(m,n)＝1－P(A)，即P(A)＋P(eq \x\t(A))＝1.
(3)若事件B包含k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而P(A＋B)＝eq \f(m＋k,n)＝eq \f(m,n)＋eq \f(k,n)＝P(A)＋P(B)．
跟踪训练3 某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为eq \f(1,3)，停车费多于14元的概率为eq \f(5,12)，求甲的停车费为6元的概率；
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．
解 (1)设“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P(B)＝eq \f(1,3)，P(C＋D)＝eq \f(5,12).
又事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以P(A)＝1－eq \f(1,3)－eq \f(5,12)＝eq \f(1,4).
所以甲的停车费为6元的概率为eq \f(1,4).
(2)易知甲、乙停车时间的样本空间为{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点；而“停车费之和为28元”的样本点有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，所以所求概率为eq \f(3,16).
综合型古典概型的概率计算
典例 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解 (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，总的样本点个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，
所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
因为事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
(2)有放回地连续取出两件，其样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点．由于每一件产品被取到的机会相等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)＝eq \f(4,9).
[素养提升] (1)解决有序和无序问题应注意两点
①关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误；
②关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．
(2)对于求古典概型的概率问题，关键是判断事件是否为古典概型，能正确求出基本事件的个数，利用公式求解概率，这些都是数学核心素养之数学建模的体现．
1．下列试验是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球得白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．某篮球运动员投篮一次命中的概率
答案 B
解析 A，D不是等可能事件，C不满足有限性，故选B.
2．北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,5)
答案 A
解析 8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为eq \f(3,8).
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．1
答案 C
解析 从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝eq \f(2,3).
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为eq \f(1,3).
5．从1,2,3,4中随机取出两个数，则其和为奇数的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 不同的取法包括(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点，每个样本点发生的可能性相同，因此是古典概型．和为奇数包括(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个样本点，故所求概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
1．知识清单：
(1)古典概型概念的理解．
(2)古典概型的计算．
2．方法归纳：列举法、列表法、树形图法．
3．常见误区：基本事件列举没有规律，出现重复或遗漏．
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2>0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
答案 C
解析 A中两个样本点不是等可能的；B中样本点的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.
2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 从集合A，B中任取一个数的所有情况有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种，和为4的有(2,2)，(3,1)共2种，则所求概率为P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
3．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 所有样本点为123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点，∴P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).故选B.
4．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,5)
答案 A
解析 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝eq \f(8,16)＝eq \f(1,2).
5．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
答案 B
解析 记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型概率计算公式得所求事件概率为eq \f(6,10)＝0.6.
6．从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为________．
答案 eq \f(2,3)
解析 从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，这个试验的样本空间Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，(丙、丁)}，共6个样本点，这6个样本点发生的可能性是相等的．其中“甲、乙两人中有且只有一人被选取”这个事件包含的样本点有(甲、丙)，(甲、丁)，(乙、丙)，(乙、丁)，共4个，故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
7．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是eq \f(1,2)，则n的值为________．
答案 2
解析 由题意可知eq \f(n,1＋1＋n)＝eq \f(1,2)，解得n＝2.
8．从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是________．
答案 eq \f(5,6)
解析 从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长样本点有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个样本点，故至少一名女生当选的概率为P＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).
9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
解 设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝eq \f(7,16).
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
则中奖概率为P(B)＝eq \f(7＋2＋1,16)＝eq \f(5,8).
10．小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
解 将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间中所有样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共12种，
所以P(A)＝eq \f(12,20)＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间中所有样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12种，所以P(B)＝eq \f(12,25)＝0.48.
11．一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,8) C.eq \f(5,6) D.eq \f(1,6)
答案 A
解析 记白球为1，红球为2,3，黄球为4，则试验的基本事件总数有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,4)，(3,1)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共10个基本事件，所以两次取出小球颜色不同的概率为eq \f(5,8).
12．某天上午要随机安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
答案 D
解析 我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个基本事件，因此体育课不排在第一节的概率为eq \f(3,4).
13．若从集合A＝{－2,1,2}中随机取一个数a，从集合B＝{－1,1,3}中随机取一个数b，则直线ax－y＋b＝0经过第四象限的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)
答案 D
解析 由题意，从集合A＝{－2,1,2}中随机取一个数a，从集合B＝{－1,1,3}中随机取一个数b，得到(a，b)的取值的所有可能的结果共有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(1，－1)，(1,1)，(1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种结果，由直线ax－y＋b＝0，即y＝ax＋b，其中当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,b≥0))时，直线不过第四象限，共有(1,1)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，共计4种，所以直线ax－y＋b＝0经过第四象限，共有5种情况，所以概率为P＝eq \f(5,9)，故选D.
14．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(都为整数)，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
答案 eq \f(4,5)
解析 从图中的数据知甲组数据的平均数为eq \f(88＋89＋90＋91＋92,5)＝90.
若甲、乙两组平均数相等，则有90×5－(83＋83＋87＋99)＝98.
若甲组的平均成绩超过乙组的平均成绩，则被污损的数字可为0,1，…，7，共8种情况，
故其概率P＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5).
15．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为eq \f(3,4)
C．淋雨机会为eq \f(1,2) D．淋雨机会为eq \f(1,4)
答案 D
解析 用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b分别表示帐篷运到和运不到，则所有等可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P＝eq \f(1,4).
16．为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]．得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人．
(1)求该组织的人数；
(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．
解 (1)由题意得70＝5×0.07·n，解得n＝200，故该组织有200人．
(2)第3组的人数为0.06×5×200＝60，
第4组的人数为0.04×5×200＝40，
第5组的人数为0.02×5×200＝20.
所以第3,4,5组共有120名志愿者，
所以从第34,5组抽取的人数分别为eq \f(6,120)×60＝3，eq \f(6,120)×40＝2，eq \f(6,120)×20＝1.
记从第3组抽取的3名志愿者为A1，A2，A3，从第4组抽取的2名志愿者为B1，B2，从第5组抽取的1名志愿者为C1.
则从6名志愿者中抽取2名志愿者的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15个．
其中第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，共12个，所以第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为eq \f(12,15)＝eq \f(4,5).
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