2020-2021学年5.3.5 随机事件的独立性导学案

这是一份2020-2021学年5.3.5 随机事件的独立性导学案，共11页。学案主要包含了相互独立事件的判断，相互独立事件概率的求法，相互独立事件的应用等内容，欢迎下载使用。


知识点 相互独立事件的概念与性质
1．定义：设A，B为两个事件，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)．
2．性质：当事件A，B相互独立时，A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也相互独立．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An相互独立的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”．
4．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
1．不可能事件与任何一个事件相互独立．( √ )
2．必然事件与任何一个事件相互独立．( √ )
3．“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( √ )
4．如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也相互独立．( √ )
一、相互独立事件的判断
例1 下面所给出的事件中：
①抛掷一枚骰子，事件A＝{出现1点}，事件B＝{出现2点}；
②先后抛掷两枚均匀硬币，事件A＝{第一枚出现正面}，事件B＝{第二枚出现反面}；
③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件A＝{第一次取到绿球}，B＝{第二次取到绿球}．
A与B相互独立的有________．(填序号)
答案 ②③
解析 ①事件A与B是互斥事件，故A与B不是相互独立事件．
②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影响，∴A与B相互独立．
③由于每次取球观察颜色后放回，故事件A的发生对事件B发生的概率没有影响，∴A与B相互独立．
反思感悟 判断两事件是否具有独立性的方法
(1)直观法：利用事件所包含基本事件直接判断两个事件的发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
跟踪训练1 已知下列各对事件：
①甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”；
②一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”；
③一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”．
其中为相互独立事件的有( )
A．①② B．①③ C．② D．②③
答案 B
二、相互独立事件概率的求法
例2 小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \x\t(A))＝0.2，P(eq \x\t(B))＝0.3，P(eq \x\t(C))＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(eq \x\t(A)BC)＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(ABeq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \x\t(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \x\t(C))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
延伸探究
在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
解 恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(Aeq \x\t(B)eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)Beq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)C)＝P(A)P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(B)P(eq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
反思感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤
①首先确定各事件是相互独立的；
②先求每个事件发生的概率，再求其积．
(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
跟踪训练2 高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，且它们互不影响．求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解 分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C)表示，
P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(eq \x\t(A)BC)＋(Aeq \x\t(B)C)＋(ABeq \x\t(C))表示．
由于事件eq \x\t(A)BC，Aeq \x\t(B)C和ABeq \x\t(C)两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P(eq \x\t(A)BC)＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(ABeq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \x\t(B))·P(C)＋P(A)P(B)P(eq \x\t(C))＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
三、相互独立事件的应用
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
解 分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.
由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．
根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
所以在这段时间内线路正常工作的概率是
1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝1－0.027＝0.973.
(学生留)反思感悟 解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)，P(A)＝1－P(eq \x\t(A))，P(AB)＝P(A)P(B)(A，B相互独立)．
跟踪训练3 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，eq \f(2,5)，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．
解 记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1,2,3)，则
P(A1)＝eq \f(4,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(A3)＝eq \f(2,5).
方法一 该选手被淘汰的概率为
P(eq \x\t(A1))＋P(A1eq \x\t(A2))＋P(A1A2eq \x\t(A3))
＝P(eq \x\t(A1))＋P(A1)P(eq \x\t(A2))＋P(A1)P(A2)P(eq \x\t(A3))
＝eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(101,125).
方法二 该选手被淘汰的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(101,125).
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．以上都不对
答案 D
解析 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知．
2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率为P1，乙解对的概率为P2，那么至少有1人解对的概率是( )
A．P1＋P2 B．P1P2
C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)
答案 D
解析 设甲解对为事件A，乙解对为事件B，
则P(A)＝P1，P(B)＝P2，则P＝1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝1－(1－P1)(1－P2)．
3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是eq \f(1,2)，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 由题意知，恰有一次通过的概率为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
4．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
答案 0.26
解析 所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
5．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为eq \f(16,25)，则该队员每次罚球的命中率为________．
答案 eq \f(3,5)
解析 设此队员每次罚球的命中率为p，
则1－p2＝eq \f(16,25)，所以p＝eq \f(3,5).
1．知识清单：
(1)相互独立事件的判断．
(2)相互独立事件同时发生的概率的求法．
2．方法归纳：正难则反，逆向思维．
3．常见误区：相互独立事件的判断；相互独立事件与互斥事件的区别．

1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是( )
A．互斥事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．不相互独立事件
答案 C
解析 由已知，有P(A)＝1－eq \f(2,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝1－eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立．
2．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)
答案 B
解析 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为( )
A.eq \f(1,14) B.eq \f(7,9) C.eq \f(1,10) D.eq \f(2,9)
答案 C
解析 设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3，第3次拨号才接通电话可表示为eq \x\t(A1)eq \x\t(A2)A3，显然，eq \x\t(A1)，eq \x\t(A2)，A3相互独立，所以P(eq \x\t(A1)eq \x\t(A2)A3)＝eq \f(9,10)×eq \f(8,9)×eq \f(1,8)＝eq \f(1,10).
4．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为( )
A.eq \f(59,60) B.eq \f(3,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,60)
答案 B
解析 记事件A：至少有1人去厦门旅游，其对立事件为eq \x\t(A)：三人都不去厦门旅游，由独立事件的概率公式可得P(eq \x\t(A))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(2,5)，由对立事件的概率公式可得P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5)，故选B.
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq \f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq \f(3,4).
6．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．
答案 eq \f(1,2)
解析 设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A和B相互独立，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,3).记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝Aeq \x\t(B)＋eq \x\t(A)B，且Aeq \x\t(B)和eq \x\t(A)B互斥．
故P(C)＝P(Aeq \x\t(B)＋eq \x\t(A)B)＝P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)
＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
7．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
答案 eq \f(7,18)
解析 分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C，
则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(2,3)，
停车一次为事件(eq \x\t(A)BC)＋(Aeq \x\t(B)C)＋(ABeq \x\t(C))，
故其概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(7,18).
8．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为eq \f(1,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．
答案 eq \f(3,5)
解析 用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，
则P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,4)，
且P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝eq \f(4,5)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,5).
∴此密码被破译的概率为1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
9．甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为eq \f(1,2)与p，且乙投球2次均未命中的概率为eq \f(1,16).
(1)求乙投球的命中率p；
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．
解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.
由题意得P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,16)，
解得P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,4)或P(eq \x\t(B))＝－eq \f(1,4)(舍去)，
故p＝1－P(eq \x\t(B))＝eq \f(3,4)，所以乙投球的命中率为eq \f(3,4).
(2)方法一 由题设知，P(A)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为
1－P(eq \x\t(A) eq \x\t(A))＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(A))＝eq \f(3,4).
方法二 由题设知，P(A)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)，
故甲投球2次，至少命中1次的概率为2P(A)P(eq \x\t(A))＋P(A)P(A)＝eq \f(3,4).
10．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则
P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10).
(2)三人都不合格的概率：P0＝P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))·P(eq \x\t(C))＝eq \f(3,5)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,10).
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)
＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60).
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq \f(1,10)－eq \f(23,60)－eq \f(1,10)＝eq \f(25,60)＝eq \f(5,12).
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
11．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，能否做对两道题之间互不影响，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75 C．0.60 D．0.48
答案 B
解析 设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，由已知得，P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，解得P(A2)＝eq \f(0.6,0.8)＝0.75.
12．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,4) C.eq \f(13,16) D.eq \f(1,4)
答案 C
解析 记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))[1－P(AB)]＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq \f(3,16).所以灯亮的概率为1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).
13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2枪的概率为__________．
答案 eq \f(2,3)
解析 设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，
则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，P(C)＝eq \f(2,3)，所以他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2枪的概率为P＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)＋P(ABC)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).
14．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3＋A1eq \x\t(A2)A3＋eq \x\t(A1)A2A3发生，
故所求概率为P＝P(A1A2A3＋A1eq \x\t(A2)A3＋eq \x\t(A1)A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1eq \x\t(A2)A3)＋P(eq \x\t(A1)A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(eq \x\t(A2))P(A3)＋P(eq \x\t(A1))·P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5
＝0.46.
15．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为______．
答案 eq \f(5,16)
解析 由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16).
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为eq \f(5,16).
16．设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是eq \f(1,4)，求事件A和事件B同时发生的概率．
解 在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件Aeq \x\t(B)发生，只有B发生即事件eq \x\t(A)B发生．
∵A和B相互独立，∴A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)和B也相互独立．
∴P(Aeq \x\t(B))＝P(A)·P(eq \x\t(B))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq \f(1,4)，①
P(eq \x\t(A)B)＝P(eq \x\t(A))·P(B)＝[1－P(A)]·P(B)＝eq \f(1,4).②
①－②得P(A)＝P(B)．③
联立①③可解得P(A)＝P(B)＝eq \f(1,2).
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).