人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算学案设计，共13页。学案主要包含了平面向量的坐标表示，向量坐标形式的线性运算，判定直线平行等内容，欢迎下载使用。


知识点一 平面向量的坐标
1．向量垂直
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直．
2．正交基底
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
3．向量的坐标
给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
知识点二 向量的直角坐标运算
知识点三 平面上两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)，线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
知识点四 向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.

1．平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．( √ )
2．若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．( × )
3．两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( × )
4．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( × )
一、平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量eq \(BA,\s\up6(→))的坐标；
(3)求点B的坐标．
解 (1)如图，作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cs 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
AM＝OA·sin 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
所以A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
(2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).
(3)因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))
＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))).
所以点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))).
反思感悟 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
跟踪训练1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°，
(1)求向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标；
(2)若B(eq \r(3)，－1)，求eq \(BA,\s\up6(→))的坐标．
解 (1)设点A(x，y)，则x＝|eq \(OA,\s\up6(→))|cs 60°＝4eq \r(3)cs 60°＝2eq \r(3)，y＝|eq \(OA,\s\up6(→))|sin 60°＝4eq \r(3)sin 60°＝6，
即A(2eq \r(3)，6)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，6)．
(2)eq \(BA,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7)．
二、向量坐标形式的线性运算
例2 (1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标；
(2)已知点A(－1,2)，B(2,8)，且eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，求点C，D和eq \(CD,\s\up6(→))的坐标．
解 (1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得eq \(AC,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,6)，
eq \(DA,\s\up6(→))＝(－1－x2，2－y2)，eq \(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6)．
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(→))，
∴(x1＋1，y1－2)＝eq \f(1,3)(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2，2－y2)＝－eq \f(1,3)(－3，－6)＝(1,2)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋1＝1，,y1－2＝2))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝4))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－2，,y2＝0.))
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－4)．
反思感悟 平面向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
跟踪训练2 若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))的坐标．
解 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2,10)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－8,4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－10,14)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,10)＋2(－8,4)
＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，
eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝(－8,4)－eq \f(1,2)(－10,14)
＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．
三、判定直线平行、三点共线
例3 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C．1 D．2
答案 A
解析 方法一 a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，
2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，
由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，
解得λ＝eq \f(1,2).
方法二 假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝2μ，,2＝－2μ，))方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以eq \f(1,λ)＝eq \f(2,1)，即λ＝eq \f(1,2).
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 eq \(AB,\s\up6(→))＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
eq \(CD,\s\up6(→))＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线．
又eq \(CD,\s\up6(→))＝－2eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))方向相反．
综上，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线且方向相反．
(学生留)反思感悟 向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x2y1＝x1y2直接求解．
跟踪训练3 已知eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，求点C的坐标．
解 由题意知，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(a－1，b－1)．
(1)若A，B，C三点共线，则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，
故a＋b＝2.
(2)∵eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝4，,b－1＝－4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－3，))
即点C的坐标为(5，－3)．
1．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a－2b的坐标是( )
A．(5,3) B．(4,3)
C．(8,3) D．(0，－1)
答案 B
解析 3a－2b＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3)．
2．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－eq \f(11,2) B.eq \f(11,2) C．－eq \f(29,2) D.eq \f(29,2)
答案 C
解析 a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝4λ，,7＝xλ，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))则λ＋x＝－eq \f(29,2).
3．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6 B．－6 C.eq \f(8,3) D．－eq \f(8,3)
答案 A
解析 ∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
4．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
5．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________．
答案 6
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)．
eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2)．
∵A，B，C三点共线，即向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共线，
∴1×(m－2)－2×2＝0，∴m＝6.
1．知识清单：
(1)平面向量的正交分解及坐标表示．
(2)平面向量坐标的运算．
(3)两点间的距离公式与中点坐标公式．
(4)向量平行的坐标表示．
2．方法归纳：转换法．
3．常见误区：向量的坐标不一定是终点的坐标．向量平行的坐标表示．
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于( )
A．(7,3) B．(7,7) C．(1,7) D．(1,3)
答案 A
解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
2．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案 D
解析 设b的坐标为(x，y)，
∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＝4\r(5)，,y＋2x＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝8，))
∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则|b|等于( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
答案 A
解析 b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)，故|b|＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案 D
解析 由题意得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．故选D.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
答案 D
解析 ∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＋2λ2＝3，,2λ1＋3λ2＝4，))解得λ1＝－1，λ2＝2.
6．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，eq \(CM,\s\up6(→))＝3eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 (9，－18)
解析 eq \(CM,\s\up6(→))＝3(1,8)＝(3,24)，
eq \(CN,\s\up6(→))＝2(6,3)＝(12,6)，
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．
7．设向量a，b满足|a|＝2eq \r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
答案 (－4，－2)
解析 因为b＝(2,1)，且a与b的方向相反，
所以设a＝(2λ，λ)(λ<0)．
因为|a|＝2eq \r(5)，所以4λ2＋λ2＝20，
解得λ2＝4，λ＝－2，所以a＝(－4，－2)．
8．已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上，且eq \f(OP,PA)＝eq \f(1,2)，又点P是线段OB的中点，则B点的坐标是________．
答案 (4,2)
解析 ∵eq \f(OP,PA)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(OP,OA)＝eq \f(1,3).
∵O(0,0)和A(6,3)，∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,1)．
又P为OB的中点，∴eq \(OB,\s\up6(→))＝2eq \(OP,\s\up6(→))＝(4,2)，
即B点坐标为(4,2)．
9．已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足eq \(PB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，求y与λ的值．
解 (1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3，,y1＝1.))
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1，
∴点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
(2)由已知得eq \(PB,\s\up6(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又eq \(PB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))
10．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
解 λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(8，－7)．
∵(λa－b)∥(a＋2b)，
∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－eq \f(1,2).
∴－eq \f(1,2)a－b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)×2－3，－\f(1,2)＋4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(7,2)))，
即λa－b＝－eq \f(1,2)(a＋2b)．
故当λ＝－eq \f(1,2)时，λa－b与a＋2b平行，平行时它们反向．
11．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
答案 D
解析 ∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A，B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．
12.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝______.
答案 4
解析 以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，设一个小正方形网格的边长为1，
则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．
由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
故λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，所以eq \f(λ,μ)＝4.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝45°，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 因为|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2，∠AOC＝45°，所以C(eq \r(2)，eq \r(2))，
又eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以(eq \r(2)，eq \r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq \r(2)，λ＋μ＝2eq \r(2).
14．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))
解析 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)＝b.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ＝x－1，,3λ＝y－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－2λ，,y＝3λ＋2.))
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0)).
15．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
答案 D
解析 设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，
①若这个平行四边形为▱ABCD，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴D(－3，－5)；
②若这个平行四边形为▱ACDB，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))，∴D(5，－5)；
③若这个平行四边形为▱ACBD，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))，∴D(1,5)．
综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)．
(1)若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，求eq \(OP,\s\up6(→))的坐标；
(2)若eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图像上，求m－n.
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
因为eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
又eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))
所以点P的坐标为(2,2)，故eq \(OP,\s\up6(→))＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝m＋2n，,y0＝2m＋n，))
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图像上，
所以y0－x0＝1，
所以m－n＝1.
向量的加、减法
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差
实数与向量的积
若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积
向量的数乘、加、减混合运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)
向量的模
若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)