2020-2021学年第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算第2课时学案

这是一份2020-2021学年第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算第2课时学案，共12页。学案主要包含了空间向量的夹角及数量积的概念，空间向量的数量积的性质，空间向量数量积的综合运算等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，上节课，我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然，本节课的关键词仍是“类比”．
一、空间向量的夹角及数量积的概念
问题 空间中任意两个向量都共面吗？
提示 共面，因为向量可以平移，而平移后的向量与原向量相等．
知识梳理
1．两个向量的夹角
(1)定义：给定两个非零向量a，b，在空间中任意选定一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.
(3)规定，零向量与任意向量都垂直．
2．空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
注意点：(1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数．
(2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0，但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0.
(3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0，但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π.
例1 (1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1B,\s\up6(—→))的夹角〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(C1B,\s\up6(—→))〉＝_______；向量eq \(A1B,\s\up6(—→))与eq \(B1D1,\s\up6(—→))的夹角〈eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(B1D1,\s\up6(—→))〉＝________.
答案 90° 120°
解析 ∵AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥C1B，
故〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(C1B,\s\up6(—→))〉＝90°，
∵eq \(B1D1,\s\up6(—→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，
∴〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(B1D1,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝180°－∠A1BD，
∵△A1BD为等边三角形，
∴∠A1BD＝60°，∴〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(B1D1,\s\up6(—→))〉＝120°.
反思感悟 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练1 在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(EF,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 由题意，可得eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))，
所以〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.
二、空间向量的数量积的性质
知识梳理
1．投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量eq \(AB,\s\up6(→))称为a在直线l(或平面α)上的投影．
a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．
2．空间向量数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)a·a＝|a|2＝a2.
(3)|a·b|≤|a||b|.
(4)(λa)·b＝λ(a·b)．
(5)a·b＝b·a(交换律)．
(6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
注意点：(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量．
(2)投影向量a′＝|a|cs θeq \f(b,|b|).
例2 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(BA,\s\up6(→))|·cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,2).
(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(1,2)cs 120°＝－eq \f(1,4).
(4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉－|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉
＝cs 60°－cs 60°＝0.
反思感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．
(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．
跟踪训练2 已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心．求：
(1)eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))；(2)eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))；(3)eq \(A1B,\s\up6(—→))·eq \(B1C,\s\up6(—→)).
解 (1)如图所示，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)a，eq \(AO1,\s\up6(→))在eq \(AC,\s\up6(→))上的投影为eq \(AO,\s\up6(→))，
∵|eq \(AO,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2)a，
∴eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AO,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)a×eq \f(\r(2),2)a＝a2.
(2)取AB的中点E，∴O1E⊥AB，
∴eq \(AO1,\s\up6(→))在eq \(AB,\s\up6(→))上的投影为eq \(AE,\s\up6(→))，
又|eq \(AE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)a，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝a，
∴eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(AE,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)a×a＝eq \f(1,2)a2.
(3)〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(B1C,\s\up6(—→))〉＝〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(A1D,\s\up6(—→))〉＝60°，
又|eq \(A1B,\s\up6(—→))|＝|eq \(B1C,\s\up6(—→))|＝eq \r(2)a，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))·eq \(B1C,\s\up6(—→))＝|eq \(A1B,\s\up6(—→))||eq \(B1C,\s\up6(—→))|cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(B1C,\s\up6(—→))〉＝eq \r(2)a×eq \r(2)a×cs 60°＝a2.
三、空间向量数量积的综合运算
例3 (1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
答案 B
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
(2)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________.
答案 eq \f(3π,4)
解析 ∵a·b＝|a||b|cs〈a，b〉，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2,2×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4).
(3)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
答案 22
解析 ∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576，
则a2＋2a·b＋b2＝576，
∴2a·b＝576－132－192＝46.
又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484，
∴|a－b|＝22.
反思感悟 利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题．
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|).
(3)|a|＝eq \r(|a|2)＝eq \r(a2).
跟踪训练3 (1)已知空间向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cs〈a，b〉等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.－eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 D
解析 ∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，平方得(a＋b)2＝c2，
即a2＋b2＋2a·b＝c2，
∴4＋9＋2a·b＝16，
∴2a·b＝3，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(3,2),2×3)＝eq \f(1,4).
(2)(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们互不共线，下列选项中正确的是( )
A．(a·b)·c－(c·a)·b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案 BD
解析 结合向量的数量积运算律，只有BD正确．
1．知识清单：
(1)空间向量的夹角及数量积的概念．
(2)空间向量的投影．
(3)空间向量数量积的性质．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量．
1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(C1A1,\s\up6(—→)) C.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(C1B,\s\up6(—→)) D.eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AD1,\s\up6(→))
答案 AD
2．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角
答案 ACD
解析 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角．
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，则eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))的值为( )
A．5eq \r(2) B．25 C．25eq \r(2) D．5eq \r(3)
答案 B
解析 方法一 eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(CC1,\s\up6(→))，∴〈eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BB1,\s\up6(→))〉＝〈eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(CC1,\s\up6(→))〉＝∠AC1C.
又Rt△ACC1中，AC＝eq \r(32＋42)＝5，CC1＝5，
∴AC1＝5eq \r(2)，∠AC1C＝45°，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＝|eq \(AC1,\s\up6(→))|·|eq \(BB1,\s\up6(→))|·cs∠AC1C＝5eq \r(2)×5×eq \f(\r(2),2)＝25.
方法二 eq \(AC1,\s\up6(→))在eq \(CC1,\s\up6(→))上的投影为eq \(CC1,\s\up6(→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(CC1,\s\up6(→))＝|eq \(CC1,\s\up6(→))|·|eq \(CC1,\s\up6(→))|＝25.
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2eq \r(2)，|b|＝eq \f(\r(2),2)，a·b＝－eq \r(2)，则〈a，b〉＝____.
答案 eq \f(3π,4)
解析 ∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝eq \f(3π,4).
课时对点练
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可能
答案 A
解析 由题意知|a|＝|b|，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋eq \r(13) C．4 D．13
答案 D
解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°＝2×4－2×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13.
3．已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝eq \f(2π,3)，则b在a上的投影的数量为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 D
解析 b在a上的投影的数量为|b|cs〈a，b〉＝4×cs eq \f(2π,3)＝－2.
4．已知正四面体A－BCD的棱长为1，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))等于( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3) C．－eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
答案 D
解析 由正四面体A－BCD的棱长为1，且eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，得eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，则eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×1×1×cs 120°＝－eq \f(1,3).
5．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝2a2 B.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC1,\s\up6(→))＝a2
C.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a2 D.eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DA1,\s\up6(→))＝a2
答案 BC
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A1C1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝a2；
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝a2；
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \f(1,2)eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2＝eq \f(1,2)a2；
eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(DA1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·(eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝－eq \(BC,\s\up6(→))2＝－a2.
6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的为( )
A.(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))2＝3eq \(AB,\s\up6(→))2
B.eq \(A1C,\s\up6(—→))·(eq \(A1B1,\s\up6(—→))－eq \(A1A,\s\up6(—→)))＝0
C.eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角为60°
D.eq \(AD1,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))上的投影为eq \(BC,\s\up6(→))
答案 ABD
解析 易知AB正确；
eq \(AD1,\s\up6(→))与eq \(A1B,\s\up6(—→))的夹角为120°，∴C不正确．
∵eq \(AD1,\s\up6(→))＝eq \(BC1,\s\up6(→))，且eq \(BC1,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))上的投影为eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(AD1,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))上的投影为eq \(BC,\s\up6(→))，故D正确．
7．已知空间向量a，b，|a|＝3eq \r(2)，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
答案 －eq \f(3,10)
解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
即18＋25λ＋(1＋λ)×3eq \r(2)×5×cs 135°＝0，
所以λ＝－eq \f(3,10).
8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.
9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq \f(1,2)|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq \f(1,2)，
所以〈a，b〉＝60°.
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝4.
求：(1)eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))；(2)eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(CD1,\s\up6(→))；(3)eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)).
解 如图所示，
|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋22＋42)＝2eq \r(6).
(1)eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(DC1,\s\up6(→))，∴〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝〈eq \(DC1,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝180°－∠C1DC＝135°，
eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝|eq \(AB1,\s\up6(→))|×|eq \(CD,\s\up6(→))|×cs 135°＝2eq \r(2)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－4.
(2)eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(DC1,\s\up6(→)).
又四边形CDD1C1为正方形，
∴DC1⊥CD1，
∴CD1⊥AB1，
∴eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(CD1,\s\up6(→))＝0.
(3)方法一 ∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
∴〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))〉＝〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝∠D1BC，
Rt△D1BC中，cs∠D1BC＝eq \f(BC,BD1)＝eq \f(4,2\r(6))＝eq \f(\r(6),3)，
∴eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝|eq \(BD1,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cs∠D1BC＝2eq \r(6)×4×eq \f(\r(6),3)＝16.
方法二 eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
又eq \(BD1,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))上的投影为eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BC,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|＝16.
11．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) B．2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→)) C．2eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)) D．2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))
答案 C
解析 2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－a2，故A错；2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝－a2，故B错；2eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a2，故D错，只有C正确．
12．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，则〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉等于( )
A．60° B．45° C．120° D．90°
答案 D
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OC,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)－|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OB,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＝0，
∴〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝90°.
13．已知空间中有AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝1，BC＝2，CD＝3，〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°，则A，D两点间的距离为( )
A.eq \r(14) B.eq \r(11) C.eq \r(17) D．2eq \r(5)
答案 B
解析 eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
所以|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))＋\(CD,\s\up6(→))2)＝eq \r(1＋4＋9＋2\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)))＝eq \r(14＋2×1×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝eq \r(11).
14．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．
答案 －4
解析 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cs〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×eq \f(3,4)|n|2×eq \f(1,3)＋|n|2＝0，解得t＝－4.
15．如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BPi,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))，
∵AB⊥平面BP2P8P6，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BPi,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BPi,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(APi,\s\up6(→))(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为1.
16．如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．
解 eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))]＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(EF,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝2.
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，即E，F间的距离为eq \r(2).