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人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第3课时学案设计
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系第3课时学案设计，共16页。学案主要包含了空间直角坐标系，空间点的对称问题，空间向量的坐标，利用坐标研究几何问题等内容，欢迎下载使用。
导语
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系……，对于集合，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．
一、空间直角坐标系
问题1 我们画空间几何图形用的什么方法？
提示 斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础．它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现．
知识梳理
1．空间直角坐标系的建立
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立了空间直角坐标系，记作Oxyz.
(1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴．
(2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面．
(3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示．
2．在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)．
注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)在水平面xOy中，由x轴逆时针旋转90°到y轴．
(3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性．
(4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果．
例1 如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，
又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，
又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6eq \r(2)，所以OA＝OB＝OC＝OF＝3eq \r(2).
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，所以A(0，－3eq \r(2)，0)，B(3eq \r(2)，0，0)，C(－3eq \r(2)，0，0)，D(0，－3eq \r(2)，8)，E(0，0，8)，F(0，3eq \r(2)，0)．(答案不唯一)
反思感悟 确定点的坐标的常用方法
确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与坐标轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与坐标轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号．
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE＝1，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的空间直角坐标系，写出E，F点的坐标．
解 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
由AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4，得AB＝1，AD＝2，AA1＝4，
则CF＝AB＝1，CE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)，
所以BE＝BC－CE＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
所以点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)，0))，点F的坐标为(1，2，1)．
(答案不唯一)
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
跟踪训练2 已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
答案 (2，－3，1)
解析 点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
三、空间向量的坐标
问题2 在平面直角坐标系下，O为坐标原点，eq \(OP,\s\up6(→))的坐标和P点的坐标是否相同？
提示 相同；若O(0，0)，P(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，也就是说有向线段的向量表示为终点坐标减去起点坐标．
知识梳理
1．空间直角坐标系下向量坐标
在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量eq \(OP,\s\up6(→))的坐标与P点坐标相同．即eq \(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)．
2．空间向量坐标的应用
在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
线段AB中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).
注意点：(1)有向线段表示的向量表示为终点坐标减去起点坐标．
(2)区分eq \(AB,\s\up6(→))与a－b的表示方法．
例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA′,\s\up6(—→))}为基底，求下列向量的坐标．
(1)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))；
(2)eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(DG,\s\up6(→)).
解 方法一 (1)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，
eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′D′,\s\up6(—→))＋eq \(D′F,\s\up6(—→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1)).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AA′,\s\up6(—→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AA′,\s\up6(—→))))＝eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，
eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AA′,\s\up6(—→))))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，0)).
(答案不唯一)
方法二 (1)以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A′(0，0，1)，B′(1，0，1)，C′(1，1，1)，D′(0，1，1)，
由中点坐标公式得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0)).
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1))，
(2)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，
eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，0)).
(答案不唯一)
延伸探究
本例中，若以{eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD′,\s\up6(—→))}为基底，试写出eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))的坐标．
解 以点D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∵A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A′(1，0，1)，B′(1，1，1)，C′(0，1，1)，D′(0，0，1)，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))，eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1，0))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).
反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求eq \(SP1,\s\up6(→))，eq \(P2P3,\s\up6(—→))的坐标．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上．
∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0)．
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0)．
又|SP1|＝2，|OP1|＝eq \r(2)，
∴在Rt△SOP1中，|SO|＝eq \r(2)，∴S(0，0，eq \r(2))．
∴eq \(SP1,\s\up6(→))＝eq \(OP1,\s\up6(→))－eq \(OS,\s\up6(→))＝(1，1，－eq \r(2))，eq \(P2P3,\s\up6(—→))＝eq \(OP3,\s\up6(→))－eq \(OP2,\s\up6(→))＝(0，－2，0)．
(答案不唯一)
四、利用坐标研究几何问题
例4 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(CF,\s\up6(→))；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(CG,\s\up6(→))夹角的余弦值；
(3)求CE的长．
(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，C(0，1，0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))).
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，\f(1,2))).
因为eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×0＝0，所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(CF,\s\up6(→)).
(2)解 因为eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)，
|eq \(CG,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，
所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(CG,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(CG,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),15).
(3)解 CE＝|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3eq \(B1P,\s\up6(—→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，若PQ⊥AE，eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，求λ的值．
解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3eq \(B1P,\s\up6(—→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，
所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝eq \f(3,4)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).
由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，
因为eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)))－eq \f(1,2)＝0，
解得b＝eq \f(1,4)，所以点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0)).
因为eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，所以(－1，－1，0)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，
所以eq \f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.
1．知识清单：
(1)空间直角坐标系．
(2)空间点的对称问题与空间向量的坐标．
(3)空间向量坐标的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，x轴，y轴需按逆时针方向旋转．
1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．zOx平面上 D．yOz平面上
答案 C
2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1，3，－5) B．(1，3，5)
C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5)
答案 B
3．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，则C的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(14,3)，\f(10,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(14,3)，－\f(10,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(14,3)，－\f(10,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(14,3)，\f(10,3)))
答案 B
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，7，－5)，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(－3，7，－5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(14,3)，－\f(10,3)))，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(14,3)，－\f(10,3))).
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．
答案 eq \f(\r(6),2)
解析 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(1，1，eq \r(2))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2－12＋1－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－\r(2)))2)＝eq \f(\r(6),2).
课时对点练
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为( )
A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2，4)
C．(1，2，－4) D．(1，2，4)
答案 A
解析 关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，
故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)．
2．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 设eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为θ.
由题意，得eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，3，3)，
∴cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,\r(2)×3\r(2))＝eq \f(1,2)，
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
3．已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，则点B的坐标为( )
A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24) D．(－5，6，24)
答案 D
解析 ∵a＝(－3，4，12)，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(－6，8，24)．
设B(x，y，z)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y＋2，z)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝－6，,y＋2＝8，,z＝24，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝6，,z＝24，))
即点B的坐标为(－5，6，24)．
4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(x2＋4，4－y，1＋2z)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－4x，9，7－z)且A，B两点关于y轴对称，则x，y，z的值依次是( )
A．1，－4，9 B．2，－5，－8
C．2，5，8 D．－2，－5，8
答案 B
解析 由A，B两点关于y轴对称，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4＝－－4x，,4－y＝9，,1＋2z＝－7－z，))
解得x＝2，y＝－5，z＝－8.
5．(多选)已知点A(－1，2，0)，B(－3，4，2)，点P在直线AB上，且|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，则点P的坐标为( )
A．(－2，3，1) B．(2，－3，－1)
C．(0，－1，1) D．(0，1，－1)
答案 AD
解析 设P(x，y，z)，
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2，z)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，2，2)，
∵|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))或eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
当eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))时，(x＋1，y－2，z)＝eq \f(1,2)(－2，2，2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝－1，,y－2＝1，,z＝1，))解得x＝－2，y＝3，z＝1，
∴点P(－2，3，1)；
当eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))时，(x＋1，y－2，z)＝－eq \f(1,2)(－2，2，2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝1，,y－2＝－1，,z＝－1，))解得x＝0，y＝1，z＝－1，
∴点P(0，1，－1)．
6．(多选)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(2，－3，1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(8,3) C．－1 D．－eq \f(25,3)
答案 BD
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1，3k)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－5，1＋3k)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(4，－4，1)．
若A＝90°，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则－3＋5＋3k(1＋3k)＝0，即9k2＋3k＋2＝0，方程无解；
若B＝90°，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
则－12＋4＋3k＝0，解得k＝eq \f(8,3)；
若C＝90°，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
则4＋20＋1＋3k＝0，解得k＝－eq \f(25,3).
7．若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝____.
答案 0
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(m－1，1，m－2n－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2，6)，
由题意得eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \f(m－1,2)＝eq \f(1,－2)＝eq \f(m－2n－3,6)，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
8．如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3)))
解析 由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．
由重心坐标公式得点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3))).
9．已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1，2))，D为AB的中点．
(1)求D的坐标；
(2)证明：eq \(CD,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|.
(1)解 设O是坐标原点，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)[(3，3，1)＋(1，0，5)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3)).
所以点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3)).
(2)证明 eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1，2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(1,2)，1))，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0，5)－(3，3，1)＝(－2，－3，4)，
所以eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(1,2)，1))·(－2，－3，4)＝eq \f(5,4)×(－2)＋eq \f(1,2)×(－3)＋1×4＝－eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋4＝0.
所以eq \(CD,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(3,4)))2＋3－12＋1－22)＝eq \r(\f(81,16)＋5)＝eq \r(10＋\f(1,16))，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))2＋0－12＋5－22)＝eq \r(\f(1,16)＋1＋9)＝eq \r(10＋\f(1,16)).
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|.
10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)若M为BC1的中点，试用基底{eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))}表示向量eq \(AM,\s\up6(→))；
(3)求eq \(AB1,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值．
解 (1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(eq \r(3)，0，b)，B(eq \r(3)，0，0)，C1(0，1，b)，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，b)．
因为AB1⊥BC1，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)·(－eq \r(3)，1，b)＝－(eq \r(3))2＋12＋b2＝0，解得b＝eq \r(2).
(2)因为M为BC1的中点，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))．
(3)由(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，0)，
因为|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝eq \r(\r(3)2＋12＋\r(2)2)＝eq \r(6)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(－\r(3)2＋12＋02)＝2，
eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))·(－eq \r(3)，1，0)＝－(eq \r(3))2＋1×1＝－2，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,\r(6)×2)＝－eq \f(\r(6),6).
所以eq \(AB1,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值为－eq \f(\r(6),6).
11．在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为( )
A.eq \r(5) B．3 C.eq \r(10) D.eq \r(13)
答案 A
解析 空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
12．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，若eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )
A.eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6) C．±eq \f(\r(6),6) D．±eq \r(6)
答案 B
解析 eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，
cs 120°＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))||\(OB,\s\up6(→))|)＝eq \f(2λ,\r(2λ2＋1)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，
可得λ<0，解得λ＝－eq \f(\r(6),6).
13．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，4，－8)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(5，1，－7)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3，1)，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋42＋－82)＝eq \r(89)，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(52＋12＋－72)＝eq \r(75)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋－32＋12)＝eq \r(14)，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝75＋14＝89＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2.
所以△ABC为直角三角形．
14．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________．
答案 (－1，1，2)
解析 设点D(x，y，z)，
则eq \(DB,\s\up6(→))＝(－x，1－y，－z)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(－x，－y，2－z)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，
因为DB∥AC，DC∥AB，
所以eq \(DB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－x,－1)＝\f(－z,2)，,1－y＝0，,\f(－x,－1)＝\f(－y,1)，,2－z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，,z＝2，))
所以D(－1，1，2)．
15．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1 C．10 D．11
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，6，－8)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－4，－2，0)，
因为A，B，C，D共面，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))共面，
所以存在λ，v，使eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋veq \(AC,\s\up6(→))，
即(x－4，－2，0)＝(－2λ－v，2λ＋6v，－2λ－8v)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4＝－2λ－v，,－2＝2λ＋6v，,0＝－2λ－8v，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－4，,v＝1，,x＝11.))
16．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
∴EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，(0，0，1)．
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
又点A，M的坐标分别是(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→)).
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
∵D(eq \r(2)，0，0)，F(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，1)，∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(DF,\s\up6(→)).
同理，eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(BF,\s\up6(→)).
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
导语
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系……，对于集合，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．
一、空间直角坐标系
问题1 我们画空间几何图形用的什么方法？
提示 斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础．它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现．
知识梳理
1．空间直角坐标系的建立
在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立了空间直角坐标系，记作Oxyz.
(1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴．
(2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面．
(3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示．
2．在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)．
注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
(2)在水平面xOy中，由x轴逆时针旋转90°到y轴．
(3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性．
(4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果．
例1 如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC，
又BC是圆O的直径，所以OB＝OC，
又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6eq \r(2)，所以OA＝OB＝OC＝OF＝3eq \r(2).
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，所以A(0，－3eq \r(2)，0)，B(3eq \r(2)，0，0)，C(－3eq \r(2)，0，0)，D(0，－3eq \r(2)，8)，E(0，0，8)，F(0，3eq \r(2)，0)．(答案不唯一)
反思感悟 确定点的坐标的常用方法
确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与坐标轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与坐标轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号．
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE＝1，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的空间直角坐标系，写出E，F点的坐标．
解 以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
由AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4，得AB＝1，AD＝2，AA1＝4，
则CF＝AB＝1，CE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)，
所以BE＝BC－CE＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
所以点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)，0))，点F的坐标为(1，2，1)．
(答案不唯一)
二、空间点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12)．
反思感悟 空间点对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．
跟踪训练2 已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
答案 (2，－3，1)
解析 点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)．
三、空间向量的坐标
问题2 在平面直角坐标系下，O为坐标原点，eq \(OP,\s\up6(→))的坐标和P点的坐标是否相同？
提示 相同；若O(0，0)，P(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，也就是说有向线段的向量表示为终点坐标减去起点坐标．
知识梳理
1．空间直角坐标系下向量坐标
在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量eq \(OP,\s\up6(→))的坐标与P点坐标相同．即eq \(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)．
2．空间向量坐标的应用
在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).
线段AB中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).
注意点：(1)有向线段表示的向量表示为终点坐标减去起点坐标．
(2)区分eq \(AB,\s\up6(→))与a－b的表示方法．
例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA′,\s\up6(—→))}为基底，求下列向量的坐标．
(1)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))；
(2)eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(DG,\s\up6(→)).
解 方法一 (1)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD′,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，
eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′D′,\s\up6(—→))＋eq \(D′F,\s\up6(—→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1)).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AA′,\s\up6(—→))＋\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AA′,\s\up6(—→))))＝eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，
eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AA′,\s\up6(—→))))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，0)).
(答案不唯一)
方法二 (1)以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A′(0，0，1)，B′(1，0，1)，C′(1，1，1)，D′(0，1，1)，
由中点坐标公式得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0)).
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，1))，
(2)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，
eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2)，0)).
(答案不唯一)
延伸探究
本例中，若以{eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD′,\s\up6(—→))}为基底，试写出eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))的坐标．
解 以点D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
∵A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A′(1，0，1)，B′(1，1，1)，C′(0，1，1)，D′(0，0，1)，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，1))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1，0))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))，eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1，0))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).
反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求eq \(SP1,\s\up6(→))，eq \(P2P3,\s\up6(—→))的坐标．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上．
∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
∴P1(1，1，0)，P2(－1，1，0)．
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1，0)，P4(1，－1，0)．
又|SP1|＝2，|OP1|＝eq \r(2)，
∴在Rt△SOP1中，|SO|＝eq \r(2)，∴S(0，0，eq \r(2))．
∴eq \(SP1,\s\up6(→))＝eq \(OP1,\s\up6(→))－eq \(OS,\s\up6(→))＝(1，1，－eq \r(2))，eq \(P2P3,\s\up6(—→))＝eq \(OP3,\s\up6(→))－eq \(OP2,\s\up6(→))＝(0，－2，0)．
(答案不唯一)
四、利用坐标研究几何问题
例4 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(CF,\s\up6(→))；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(CG,\s\up6(→))夹角的余弦值；
(3)求CE的长．
(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则D(0，0，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，C(0，1，0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2))).
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，\f(1,2))).
因为eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×0＝0，所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(CF,\s\up6(→)).
(2)解 因为eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)，
|eq \(CG,\s\up6(→))|＝eq \r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，
所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(CG,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(CG,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),15).
(3)解 CE＝|eq \(CE,\s\up6(→))|＝eq \r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3eq \(B1P,\s\up6(—→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，若PQ⊥AE，eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，求λ的值．
解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，
因为3eq \(B1P,\s\up6(—→))＝eq \(PD1,\s\up6(→))，
所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝eq \f(3,4)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).
由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，
因为eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)))＝0，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(3,4)))－eq \f(1,2)＝0，
解得b＝eq \f(1,4)，所以点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0)).
因为eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(DQ,\s\up6(→))，所以(－1，－1，0)＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，
所以eq \f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.
1．知识清单：
(1)空间直角坐标系．
(2)空间点的对称问题与空间向量的坐标．
(3)空间向量坐标的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，x轴，y轴需按逆时针方向旋转．
1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．zOx平面上 D．yOz平面上
答案 C
2．在空间直角坐标系中，点P(1，3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1，3，－5) B．(1，3，5)
C．(1，－3，5) D．(－1，－3，5)
答案 B
3．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，则C的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(14,3)，\f(10,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(14,3)，－\f(10,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(14,3)，－\f(10,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(14,3)，\f(10,3)))
答案 B
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，7，－5)，
∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(－3，7，－5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(14,3)，－\f(10,3)))，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(14,3)，－\f(10,3))).
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________．
答案 eq \f(\r(6),2)
解析 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(1，1，eq \r(2))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1，\f(\r(2),2)))，
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(2－12＋1－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－\r(2)))2)＝eq \f(\r(6),2).
课时对点练
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2，4)关于y轴对称的点为( )
A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2，4)
C．(1，2，－4) D．(1，2，4)
答案 A
解析 关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，
故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)．
2．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 设eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为θ.
由题意，得eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，3，3)，
∴cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,\r(2)×3\r(2))＝eq \f(1,2)，
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
3．已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，则点B的坐标为( )
A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24)
C．(－6，8，24) D．(－5，6，24)
答案 D
解析 ∵a＝(－3，4，12)，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(－6，8，24)．
设B(x，y，z)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x－1，y＋2，z)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝－6，,y＋2＝8，,z＝24，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝6，,z＝24，))
即点B的坐标为(－5，6，24)．
4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(x2＋4，4－y，1＋2z)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－4x，9，7－z)且A，B两点关于y轴对称，则x，y，z的值依次是( )
A．1，－4，9 B．2，－5，－8
C．2，5，8 D．－2，－5，8
答案 B
解析 由A，B两点关于y轴对称，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4＝－－4x，,4－y＝9，,1＋2z＝－7－z，))
解得x＝2，y＝－5，z＝－8.
5．(多选)已知点A(－1，2，0)，B(－3，4，2)，点P在直线AB上，且|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，则点P的坐标为( )
A．(－2，3，1) B．(2，－3，－1)
C．(0，－1，1) D．(0，1，－1)
答案 AD
解析 设P(x，y，z)，
∵eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2，z)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，2，2)，
∵|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))或eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
当eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))时，(x＋1，y－2，z)＝eq \f(1,2)(－2，2，2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝－1，,y－2＝1，,z＝1，))解得x＝－2，y＝3，z＝1，
∴点P(－2，3，1)；
当eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))时，(x＋1，y－2，z)＝－eq \f(1,2)(－2，2，2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝1，,y－2＝－1，,z＝－1，))解得x＝0，y＝1，z＝－1，
∴点P(0，1，－1)．
6．(多选)在△ABC中，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(2，－3，1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(8,3) C．－1 D．－eq \f(25,3)
答案 BD
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1，3k)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－5，1＋3k)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(4，－4，1)．
若A＝90°，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则－3＋5＋3k(1＋3k)＝0，即9k2＋3k＋2＝0，方程无解；
若B＝90°，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
则－12＋4＋3k＝0，解得k＝eq \f(8,3)；
若C＝90°，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
则4＋20＋1＋3k＝0，解得k＝－eq \f(25,3).
7．若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝____.
答案 0
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(m－1，1，m－2n－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2，6)，
由题意得eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \f(m－1,2)＝eq \f(1,－2)＝eq \f(m－2n－3,6)，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
8．如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3)))
解析 由题意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)．
由重心坐标公式得点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(b,3)，\f(c,3))).
9．已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1，2))，D为AB的中点．
(1)求D的坐标；
(2)证明：eq \(CD,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|.
(1)解 设O是坐标原点，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)[(3，3，1)＋(1，0，5)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3)).
所以点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3)).
(2)证明 eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)，3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1，2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(1,2)，1))，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0，5)－(3，3，1)＝(－2，－3，4)，
所以eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(1,2)，1))·(－2，－3，4)＝eq \f(5,4)×(－2)＋eq \f(1,2)×(－3)＋1×4＝－eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋4＝0.
所以eq \(CD,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(3,4)))2＋3－12＋1－22)＝eq \r(\f(81,16)＋5)＝eq \r(10＋\f(1,16))，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))2＋0－12＋5－22)＝eq \r(\f(1,16)＋1＋9)＝eq \r(10＋\f(1,16)).
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|.
10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)若M为BC1的中点，试用基底{eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))}表示向量eq \(AM,\s\up6(→))；
(3)求eq \(AB1,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值．
解 (1)设侧棱长为b，则A(0，－1，0)，B1(eq \r(3)，0，b)，B(eq \r(3)，0，0)，C1(0，1，b)，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，b)．
因为AB1⊥BC1，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)·(－eq \r(3)，1，b)＝－(eq \r(3))2＋12＋b2＝0，解得b＝eq \r(2).
(2)因为M为BC1的中点，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))．
(3)由(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，0)，
因为|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝eq \r(\r(3)2＋12＋\r(2)2)＝eq \r(6)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(－\r(3)2＋12＋02)＝2，
eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))·(－eq \r(3)，1，0)＝－(eq \r(3))2＋1×1＝－2，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,\r(6)×2)＝－eq \f(\r(6),6).
所以eq \(AB1,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))夹角的余弦值为－eq \f(\r(6),6).
11．在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为( )
A.eq \r(5) B．3 C.eq \r(10) D.eq \r(13)
答案 A
解析 空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
12．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，若eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )
A.eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6) C．±eq \f(\r(6),6) D．±eq \r(6)
答案 B
解析 eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，
cs 120°＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))||\(OB,\s\up6(→))|)＝eq \f(2λ,\r(2λ2＋1)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，
可得λ<0，解得λ＝－eq \f(\r(6),6).
13．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，4，－8)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(5，1，－7)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3，1)，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋42＋－82)＝eq \r(89)，
|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(52＋12＋－72)＝eq \r(75)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(22＋－32＋12)＝eq \r(14)，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(BC,\s\up6(→))|2＝75＋14＝89＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2.
所以△ABC为直角三角形．
14．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________．
答案 (－1，1，2)
解析 设点D(x，y，z)，
则eq \(DB,\s\up6(→))＝(－x，1－y，－z)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(－x，－y，2－z)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，
因为DB∥AC，DC∥AB，
所以eq \(DB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－x,－1)＝\f(－z,2)，,1－y＝0，,\f(－x,－1)＝\f(－y,1)，,2－z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，,z＝2，))
所以D(－1，1，2)．
15．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1 C．10 D．11
答案 D
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，2，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，6，－8)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－4，－2，0)，
因为A，B，C，D共面，所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))共面，
所以存在λ，v，使eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋veq \(AC,\s\up6(→))，
即(x－4，－2，0)＝(－2λ－v，2λ＋6v，－2λ－8v)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4＝－2λ－v，,－2＝2λ＋6v，,0＝－2λ－8v，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－4，,v＝1，,x＝11.))
16．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，
∴EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，
如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
则点N，E的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，(0，0，1)．
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
又点A，M的坐标分别是(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→)).
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1)).
∵D(eq \r(2)，0，0)，F(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，1)，∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(DF,\s\up6(→)).
同理，eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(BF,\s\up6(→)).
又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
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