人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何本章综合与测试导学案及答案

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一、x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2的应用
例1 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．y2＝8x D．y2＝4x
答案 C
解析 设抛物线为y2＝2px(p>0)，直线AB为x＝my＋eq \f(p,2)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，
得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2＝－12，
得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
反思感悟 通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果．
跟踪训练1 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)＝____.
答案 －4
解析 方法一 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
设直线AB的方程为x＝my＋eq \f(p,2)，
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根与系数的关系得y1y2＝－p2.
由于点A，B均在抛物线上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(y\\al(2,1),2p)，,x2＝\f(y\\al(2,2),2p)，))
因此，eq \f(y1y2,x1x2)＝eq \f(y1y2,\f(y\\al(2,1),2p)·\f(y\\al(2,2),2p))＝eq \f(4p2,y1y2)＝－eq \f(4p2,p2)＝－4.
方法二 由焦点弦的性质可得x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2，
故eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.
二、|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)的应用
例2 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
解 依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋eq \f(p,2).
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝eq \f(2p,sin2135°)，
∴eq \f(2p,\f(1,2))＝8，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，抛物线方程为y2＝±4x.
反思感悟 利用|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α) (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题．
跟踪训练2 经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________.
答案 2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，
∴14＋p＝eq \f(2p,sin230°)，∴p＝2 .
三、 eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值的应用
例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6
答案 B
解析 因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
反思感悟 将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题．
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C.eq \f(16,3) D.eq \f(20,3)
答案 C
解析 如图，过点A作AD⊥l于点D，|AD|＝|AF|＝eq \f(1,2)|AC|＝4，|OF|＝eq \f(p,2)＝4×eq \f(1,4)＝1，所以p＝2，
因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，
所以|BF|＝eq \f(4,3)，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
四、以过焦点的弦AB为直径的圆与准线相切的应用
例4 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．
证明 如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′，
则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，
|MM′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)
＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)|AB|，
即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径．
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
反思感悟 把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解．
跟踪训练4 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点．若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵外接圆的面积为9π，
∴外接圆的半径为3.
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，
∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝3，∴p＝4.
1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错．
1．过抛物线C：y＝eq \f(1,8)x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(5,2)))，则|AB|等于( )
A.eq \f(81,16) B.eq \f(41,8) C．13 D．9
答案 D
解析 由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，
所以准线方程为y＝－2，
由题意可得A，B的纵坐标之和为eq \f(5,2)×2＝5，
所以弦长|AB|＝5＋4＝9.
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
准线方程为x＝－eq \f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直线AB的方程为y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px可得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq \f(p2,4)，
由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，
∴|AF|·|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))
＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)
＝eq \f(p2,4)＋eq \f(3,2)p2＋eq \f(p2,4)
＝2p2＝16，
解得p＝2eq \r(2).
3．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
答案 10
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，p＝4，
设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点的横坐标为3，即eq \f(x1＋x2,2)＝3，
∴x1＋x2＝6，抛物线的焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p＝10.
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为________．
答案 4
解析 由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由中点坐标公式可得PQ的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，
由于x1＋x2＝6，则M到准线的距离为eq \f(x1＋x2,2)＋1＝4.
课时对点练
1．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|等于( )
A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 C
解析 方法一 抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x，y)，
则|AF|＝x＋1＝3，故x＝2，
此时y＝±2eq \r(2)，即A(2，±2eq \r(2))，
则直线AF的斜率为k＝eq \f(±2\r(2),2－1)＝±2eq \r(2)，
所以方程为y＝±2eq \r(2)(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝±2\r(2)x－1，,y2＝4x，))得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝eq \f(1,2)，所以xB＝eq \f(1,2)，
则|BF|＝xB＋1＝eq \f(3,2).
方法二 因为p＝2，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，
所以|BF|＝eq \f(3,2).
2．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是( )
A．1 B．2 C.eq \f(5,8) D.eq \f(15,8)
答案 D
解析 如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq \f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.
又|PQ|＝y0＋eq \f(1,8)，∴y0＋eq \f(1,8)＝2，∴y0＝eq \f(15,8).
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则eq \f(1,|PF|)＋eq \f(1,|QF|)的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(7,8) C．1 D．2
答案 C
解析 由抛物线焦点弦的性质可得，eq \f(1,|PF|)＋eq \f(1,|QF|)＝eq \f(2,p)＝1.
4．已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|等于( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 B
解析 ∵|AF|＝3|BF|，且p＝3，
∴eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(4,3|BF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(2,3)，
∴|BF|＝2，|AF|＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝8.
5．(多选)已知抛物线y2＝3x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 BC
解析 设直线l的倾斜角为θ，由结论|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)可知sin2θ＝eq \f(3,4)，故sin θ＝eq \f(\r(3),2)，所以θ＝60°或θ＝120°.
6．(多选)已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝eq \f(p,2)的距离为1，则p的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．6
答案 AC
解析 |AF|＋|BF|＝4⇒xA＋eq \f(p,2)＋xB＋eq \f(p,2)＝4⇒xA＋xB＝4－p⇒2x中＝4－p(x中为线段AB中点的横坐标)，
因为线段AB的中点到直线x＝eq \f(p,2)的距离为1，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x中－\f(p,2)))＝1，所以|2－p|＝1⇒p＝1或3.
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
答案 eq \f(7,2)
解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，p＝2.由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋p＝7，故x1＋x2＝5.于是弦AB的中点M的横坐标为eq \f(5,2)，因此点M到抛物线准线的距离为eq \f(5,2)＋1＝eq \f(7,2).
8．过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq \f(25,12)，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
答案 eq \f(5,6)
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1显然直线AB的斜率存在，
设AB的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))(k≠0)，
将直线方程与抛物线方程联立，
消去y得k2x2－(k2＋2)x＋eq \f(1,4)k2＝0，①
则x1＋x2＝eq \f(k2＋2,k2).
因为|AB|＝p＋(x1＋x2)＝1＋eq \f(k2＋2,k2)＝eq \f(25,12)，
所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0，
解得x1＝eq \f(1,3)，x2＝eq \f(3,4)，
故|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,6).
9．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求直线l的斜率．
解 (1)由题意|PF|＝1＋eq \f(p,2)＝2，p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)方法一 由(1)知焦点为F(1,0)，
若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，
|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(2k2＋4,k2)＋2＝8，
解得k＝1或k＝－1.
方法二 若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
设直线l的倾斜角为α，
根据焦点弦的性质，|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，
代入可得sin2α＝eq \f(2p,|AB|)＝eq \f(1,2)，
即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1.
10．已知O为原点，抛物线C：x2＝2py(0(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，若以AH为直径的圆过点B，求|AF|－|BF|的值．
解 (1)由题意知，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(8,p)))，
抛物线的准线方程为y＝－eq \f(p,2)，
则eq \f(8,p)＋eq \f(p,2)＝5，解得p＝2或p＝8(舍)，
∴抛物线方程为x2＝4y.
(2)由题意知，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，H(0，－1)，
由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
代入抛物线方程可得x2－4kx－4＝0，Δ>0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，①
又k＝kAF＝eq \f(y1－1,x1)，kHB＝eq \f(y2＋1,x2)，
由AB⊥BH可得k·kHB＝－1，
∴eq \f(y1－1,x1)·eq \f(y2＋1,x2)＝－1，
整理得(y1－1)(y2＋1)＋x1x2＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,2),4)＋1))＋x1x2＝0，
∴eq \f(1,16)xeq \\al(2,1)xeq \\al(2,2)＋eq \f(1,4)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))－1＋x1x2＝0，②
把①代入②得xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝16，
则|AF|－|BF|＝y1＋1－(y2＋1)＝eq \f(1,4)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＝4.
11．已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C的准线交于点M，若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝0，则|AB|的值等于( )
A.eq \f(3,4)p B．2p C．3p D.eq \f(9,4)p
答案 D
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为点D，E，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))＝0，则点A为线段BM的中点，
∴|BE|＝2|AD|，
由抛物线的定义可得|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
∴|BF|＝2|AF|，|AM|＝|AB|＝3|AF|，
∵AD∥FN，
∴eq \f(|AD|,|FN|)＝eq \f(|AM|,|FM|)＝eq \f(3,4)，
∴|AD|＝eq \f(3,4)|FN|＝eq \f(3p,4)，
因此，|AB|＝3|AF|＝3|AD|＝eq \f(9,4) p.
12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 易知抛物线中p＝eq \f(3,2)，焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
直线AB的斜率k＝eq \f(\r(3),3)，
故直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，
由抛物线的性质可得弦长|AB|＝eq \f(2p,sin230°)＝12，
又O到直线AB的距离d＝eq \f(p,2)·sin 30°＝eq \f(3,8)，
∴S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,4).
13.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是( )
A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥eq \r(2)
D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
答案 ABC
解析 对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；
对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确；
对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝eq \r(2)，故C正确；
对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．
14．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
答案 2
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝eq \f(2k2＋2,k2)，x1x2＝1，
因为∠AMB＝90°，
所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
＝(1－k－k2)eq \f(2k2＋2,k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，
解得k＝2.
经检验，k＝2符合题意．
15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________．
答案 y2＝3x
解析 由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；
当直线PQ的斜率存在时，
设PQ的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))得k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－px＋\f(p2,4)))＝2px，
整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0，
所以x1＋x2＝p＋eq \f(2p,k2)，x1x2＝eq \f(p2,4).
所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))>2p.
综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝3x.
16.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最小值．
解 (1)由题意可知F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
则该直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直线l为抛物线C的切线，
∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，
则eq \(PM,\s\up6(→))＝(x1－m，y1－(m＋1))，eq \(PN,\s\up6(→))＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·
(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4×eq \f(x1－x2,y1－y2)＝4，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))取得最小值，最小值为－14.