人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案
展开一、弦长问题
问题1 当直线与圆锥曲线相交时,如何求弦长?
提示 设直线与圆锥曲线相交于A,B两点,直线的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=eq \r(x1-x22+y1-y22),
所以|AB|=eq \r(x1-x22+kx1-kx22)
=eq \r(1+k2)eq \r(x1-x22)
=eq \r(1+k2)eq \r(x1+x22-4x1x2),
或|AB|=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)y1-\f(1,k)y2))2+y1-y22)
=eq \r(1+\f(1,k2))eq \r(y1-y22)
=eq \r(1+\f(1,k2))eq \r(y1+y22-4y1y2).
知识梳理
直线与圆锥曲线相交于A,B两点,直线的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=eq \r(1+k2)|x1-x2|=eq \r(1+k2)eq \r(x1+x22-4x1x2)
=eq \r(1+\f(1,k2))|y1-y2|
=eq \r(1+\f(1,k2))eq \r(y1+y22-4y1y2).
特别地,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),弦长|AB|=x1+x2+p.
注意点:(1)一定先有判别式大于零,才有两根之和、两根之积.
(2)对于斜率不确定的问题,要分类讨论.
例1 已知斜率为2的直线l经过椭圆eq \f(x2,5)+eq \f(y2,4)=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,求弦AB的长.
解 因为直线l过椭圆eq \f(x2,5)+eq \f(y2,4)=1的右焦点F1(1,0),
又直线斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
方法一 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)+\f(y2,4)=1,,2x-y-2=0,))
得交点A(0,-2),Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3),\f(4,3))),
所以|AB|=eq \r(xA-xB2+yA-yB2)
=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0-\f(5,3)))2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2-\f(4,3)))2)
=eq \r(\f(125,9))=eq \f(5\r(5),3).
方法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)+\f(y2,4)=1,,2x-y-2=0,))
消去y得3x2-5x=0,因为Δ=(-5)2=25>0,
则x1+x2=eq \f(5,3),x1x2=0.
所以|AB|=eq \r(x1-x22+y1-y22)
=eq \r(x1-x221+k\\al(2,AB))
=eq \r(1+k\\al(2,AB)[x1+x22-4x1x2])
=eq \r(1+22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))2-4×0)))=eq \f(5\r(5),3).
方法三 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)+\f(y2,4)=1,,2x-y-2=0,))
消去x得3y2+2y-8=0,
因为Δ=22-4×3×(-8)=100>0,
则y1+y2=-eq \f(2,3),y1y2=-eq \f(8,3),
所以|AB|=eq \r(x1-x22+y1-y22)
=eq \r(y1-y22·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k\\al(2,AB))+1)))
=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,k\\al(2,AB))))[y1+y22-4y1y2])
=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1+\f(1,4)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)))2-4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(8,3))))))
=eq \f(5\r(5),3).
反思感悟 求解弦长可以先求出交点坐标,利用两点之间的距离公式进行求解;也可以直接利用弦长公式求解.
跟踪训练1 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°,
所以其斜率k=tan 60°=eq \r(3).
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2),0)).所以直线l的方程为y=eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2))).
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2=6x,,y=\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3,2))),))消去y,得x2-5x+eq \f(9,4)=0.
若设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=5,
而|AB|=|AF|+|BF|=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1+\f(p,2)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2+\f(p,2)))=x1+x2+p.
所以|AB|=5+3=8.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知,
|AB|=|AF|+|BF|=x1+eq \f(p,2)+x2+eq \f(p,2)=x1+x2+p=x1+x2+3=9,
所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-eq \f(3,2),
所以M到准线的距离等于3+eq \f(3,2)=eq \f(9,2).
二、由弦长求参数的值
例2 已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为eq \f(\r(2),2),直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为eq \f(\r(10),3)时,求k的值.
解 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,\f(c,a)=\f(\r(2),2),,a2=b2+c2,))得b=eq \r(2),
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,2)=1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx-1,,\f(x2,4)+\f(y2,2)=1,))得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=eq \f(4k2,1+2k2),x1x2=eq \f(2k2-4,1+2k2),
所以|MN|=eq \r(x2-x12-y2-y12)
=eq \r(1+k2[x1+x22-4x1x2])
=eq \f(2\r(1+k24+6k2),1+2k2).
又点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=eq \f(|k|,\r(1+k2)),
所以△AMN的面积S=eq \f(1,2)|MN|·d=eq \f(|k|\r(4+6k2),1+2k2),
由eq \f(|k|\r(4+6k2),1+2k2)=eq \f(\r(10),3),得k=±1,满足Δ>0.
所以当△AMN的面积为eq \f(\r(10),3)时,k=±1.
反思感悟 根据题意,通过建立等式或不等式求参数的值或取值范围,数学运算是正确解决问题的关键.
跟踪训练2 设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A,B两点,且|AB|=2eq \r(6),求实数k的值.
解 (1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N,则|PN|=y,由题意知|PM|-|PN|=eq \f(1,2),
∴eq \r(x2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y-\f(1,2)))2)=y+eq \f(1,2),化简得x2=2y.
故点P的轨迹方程为x2=2y.
(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx+1,,x2=2y,))消去y化简得x2-2kx-2=0,
∴x1+x2=2k,x1x2=-2.
∵|AB|=eq \r(1+k2)·eq \r(x1+x22-4x1x2)
=eq \r(1+k2)·eq \r(4k2+8)
=2eq \r(6),
∴k4+3k2-4=0,
又k2≥0,∴k2=1,∴k=±1.
三、弦长的最值问题
例3 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率e=eq \f(\r(2),2),且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
解 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e=\f(c,a)=\f(\r(2),2),,\f(4,a2)+\f(1,b2)=1,,a2=b2+c2,))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=\r(6),,b=\r(3),))
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,6)+eq \f(y2,3)=1.
(2)设直线AB的方程为y=-x+m,
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=-x+m,,\f(x2,6)+\f(y2,3)=1,))得3x2-4mx+2m2-6=0,
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0,,x1+x2=\f(4m,3),,x1x2=\f(2m2-6,3),))
∴|AB|=eq \r(1+-12)|x1-x2|=eq \f(4,3)eq \r(9-m2),
原点到直线的距离d=eq \f(|m|,\r(2)).
∴S△OAB=eq \f(1,2)×eq \f(4,3)eq \r(9-m2)·eq \f(|m|,\r(2))
=eq \f(\r(2),3)eq \r(9-m2m2)≤eq \f(\r(2),3)·eq \f(9-m2+m2,2)
=eq \f(3\r(2),2).
当且仅当m=±eq \f(3\r(2),2)时,等号成立,
∴△AOB面积的最大值为eq \f(3\r(2),2).
反思感悟 求与弦长有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.
(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围.
跟踪训练3 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知等轴双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左顶点为A,过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B,C两点,若△ABC的面积为eq \r(2)+1.
(1)求双曲线E的方程;
(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线E的两条渐近线分别交于P,Q两点,求eq \f(|MN|,|PQ|)的取值范围.
解 (1)因为双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)为等轴双曲线,
所以a=b,设双曲线的焦距为2c,c>0,
故c2=a2+b2=2a2,即c=eq \r(2)a.
因为BC过右焦点F,且垂直于x轴,
将xB=c=eq \r(2)a代入eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1,
可得|yB|=a,故|BC|=2a.
因为△ABC的面积为eq \r(2)+1,
所以eq \f(1,2)×|BC|×|AF|=eq \r(2)+1,
即eq \f(1,2)×2a×(a+c)=eq \r(2)+1,
所以a2=1,a=1,故双曲线E的方程为x2-y2=1.
(2)依题意,直线l:y=kx-1与双曲线E的左、右两支分别交于M,N两点,
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-y2=1,,y=kx-1,))消去y可得
(1-k2)x2+2kx-2=0,
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-k2≠0,,Δ=2k2-41-k2×-2>0,,xMxN=\f(-2,1-k2)<0,))
解得-1
=eq \r(1+k2)|xM-xN|
=eq \r(1+k2)eq \r(xM+xN2-4xMxN)
=eq \r(1+k2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(-2k,1-k2)))2-4×\f(-2,1-k2))
=eq \f(2\r(1+k2)·\r(2-k2),1-k2).
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x,,y=kx-1,))得xP=eq \f(1,k-1),同理xQ=eq \f(1,k+1),
所以|PQ|=eq \r(1+k2)|xP-xQ|
=eq \r(1+k2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,k-1)-\f(1,k+1)))=eq \f(2\r(1+k2),1-k2).
所以eq \f(|MN|,|PQ|)=eq \f(\f(2\r(1+k2)·\r(2-k2),1-k2),\f(2\r(1+k2),1-k2))=eq \r(2-k2),
其中-1
1.知识清单:
(1)弦长的问题.
(2)由弦长求参数.
(3)与弦长有关的最值、范围问题.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:容易忽略直线斜率不存在的情况.
1.过椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )
A.eq \f(2b2,a) B.eq \f(2a2,b) C.eq \f(2c2,a) D.eq \f(2c2,b)
答案 A
解析 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.
将x=c代入椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1,
得y=±eq \f(b2,a),
故最短弦长是eq \f(2b2,a).
2.斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,则线段AB的长为( )
A.4eq \r(2) B.6eq \r(2) C.8eq \r(2) D.8
答案 D
解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),则直线l的方程为y=x-1,设点A(x1,y1),B(x2,y2)
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x-1,,y2=4x,))可得x2-6x+1=0,Δ=62-4>0,
所以x1+x2=6,
由抛物线的焦点弦长公式得|AB|=x1+x2+2=8.
3.已知双曲线eq \f(x2,2)-eq \f(y2,3)=1的左、右焦点分别是F1,F2,过F1的直线l与双曲线相交于A,B两点,则满足|AB|=3eq \r(2)的直线l有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案 C
解析 双曲线eq \f(x2,2)-eq \f(y2,3)=1,
过F1的直线l垂直于x轴时,|AB|=eq \f(2b2,a)=eq \f(6,\r(2))=3eq \r(2),
双曲线两个顶点的距离为2eq \r(2),
∴满足|AB|=3eq \r(2)的直线l有3条,
一条是通径所在的直线,另两条与右支相交.
4.已知斜率为1的直线l与双曲线eq \f(x2,4)-y2=1的右支交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( )
A.y=x+eq \r(21) B.y=x-eq \r(21) C.y=x-eq \f(3\r(5),5) D.y=x+eq \f(3\r(5),5)
答案 B
解析 设斜率为1的直线l的方程为y=x+t,
联立双曲线方程eq \f(x2,4)-y2=1,
可得3x2+8tx+4t2+4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=-eq \f(8t,3),x1x2=eq \f(4t2+4,3),
则|AB|=eq \r(1+1)·eq \r(x1+x22-4x1x2)
=eq \r(2)·eq \r(\f(64t2,9)-\f(16t2+16,3))=eq \r(2)·eq \f(4\r(t2-3),3)=8,
解得t=±eq \r(21),
由于直线l与双曲线的右支交于两点,可得t=-eq \r(21),
则直线l的方程为y=x-eq \r(21).
课时对点练
1.直线2x-y-4=0与抛物线y2=6x交于A,B两点,则线段AB的长度为( )
A.8 B.eq \f(\r(285),2) C.eq \f(\r(305),2) D.eq \f(\r(335),2)
答案 B
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2=6x,,2x-y-4=0,))
消去y并整理得2x2-11x+8=0,Δ>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=eq \f(11,2),x1x2=4,
∴|AB|=eq \r(1+k2)·eq \r(x1+x22-4x1x2)=eq \r(1+4)×eq \r(\f(121,4)-4×4)=eq \f(\r(285),2).
2.已知P为抛物线y2=4x上一点,Q为圆(x-6)2+y2=1上一点,则|PQ|的最小值为( )
A.eq \r(21)-1 B.2-eq \f(\r(5),5) C.2eq \r(5)-1 D.21-4eq \r(5)
答案 C
解析 设点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)m2,m)),圆(x-6)2+y2=1的圆心坐标为A(6,0),
∴|PA|2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)m2-6))2+m2=eq \f(1,16)(m2-16)2+20≥20,
∴|PA|≥2eq \r(5),
∵Q是圆(x-6)2+y2=1上任意一点,
∴|PQ|的最小值为2eq \r(5)-1.
3.已知离心率为2的双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx与双曲线C交于A,B两点,若|AB|=eq \f(\r(3),2)|F1F2|,则k等于( )
A.±eq \r(3) B.±1 C.±2 D.±3
答案 B
解析 由双曲线C的离心率为2,可得eq \f(\r(a2+b2),a)=2,
故b2=3a2,
故双曲线的方程可化为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,3a2)=1,
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx,,\f(x2,a2)-\f(y2,3a2)=1,))可得x2=eq \f(3a2,3-k2)和y2=eq \f(3a2k2,3-k2),
设A(x,y),则B(-x,-y),
故|AB|=2eq \r(x2+y2)=2eq \r(3)aeq \r(\f(1+k2,3-k2)),
而|F1F2|=2eq \r(a2+b2)=4a,
由|AB|=eq \f(\r(3),2)|F1F2|,可得2eq \r(3)aeq \r(\f(1+k2,3-k2))=eq \f(\r(3),2)×4a,
则k=±1.
4.椭圆eq \f(x2,7)+eq \f(y2,b2)=1,过原点O斜率为eq \r(3)的直线与椭圆交于C,D,若|CD|=4,则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,7)+eq \f(y2,4)=1 B.eq \f(x2,7)+eq \f(y2,3)=1 C.eq \f(x2,7)+eq \f(y2,6)=1 D.eq \f(x2,7)+eq \f(2y2,7)=1
答案 D
解析 由题意可知,直线CD的方程为y=eq \r(3)x,直线倾斜角为eq \f(π,3),
不妨设C点在第一象限,则OC=2,
因此可得C(1,eq \r(3)),
又点C在椭圆eq \f(x2,7)+eq \f(y2,b2)=1上,
所以eq \f(1,7)+eq \f(3,b2)=1⇒b2=eq \f(7,2),
所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,7)+eq \f(2y2,7)=1.
5.若直线y=x+t与椭圆eq \f(x2,4)+y2=1相交于A,B两点,当|t|变化时,|AB|的最大值为( )
A.2 B.eq \f(4\r(5),5) C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
答案 C
解析 联立两个方程化为5x2+8tx+4t2-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-eq \f(8,5)t,x1x2=eq \f(4,5)(t2-1),
∴|AB|=eq \r(2[x1+x22-4x1x2])
=eq \r(2[-\f(8,5)t2-\f(16,5)t2-1])=eq \f(4,5)eq \r(10-2t2),
而Δ=(8t)2-4×5×(4t2-4)>0,解得0≤t2<5.
∴取t2=0得|AB|max=eq \f(4\r(10),5).
6.(多选)设椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,3)=1的右焦点为F,直线y=m(0
B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]
C.当m=eq \f(\r(3),2)时,△ABF为直角三角形
D.当m=1时,△ABF的面积为eq \r(6)
答案 ACD
解析 设椭圆的左焦点为F′,
则|AF′|=|BF|,∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=6为定值,A正确;
△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,
∵|AF|+|BF|为定值6,
|AB|的取值范围是(0,6),
∴△ABF的周长的取值范围是(6,12),B错误;
将y=eq \f(\r(3),2)与椭圆方程联立,
可解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3\r(3),2),\f(\r(3),2))),Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2),\f(\r(3),2))),又∵F(eq \r(6),0),
∴eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)+\f(3\r(3),2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(6)-\f(3\r(3),2)))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2=0,
∴△ABF为直角三角形,C正确;
将y=1与椭圆方程联立,解得A(-eq \r(6),1),B(eq \r(6),1),
∴S△ABF=eq \f(1,2)×2eq \r(6)×1=eq \r(6),D正确.
7.过双曲线x2-eq \f(y2,3)=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=________.
答案 4eq \r(3)
解析 由双曲线方程可得右焦点为(2,0),渐近线方程为y=±eq \r(3)x,把x=2代入渐近线方程,得y=±2eq \r(3),故|AB|=4eq \r(3).
8.已知椭圆两顶点A(-1,0),B(1,0),过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,当|CD|=eq \f(3\r(2),2)时,直线l的方程为________________.
答案 eq \r(2)x-y+1=0或eq \r(2)x+y-1=0
解析 由题意得b=1,c=1.
∴a2=b2+c2=1+1=2.
∴椭圆方程为eq \f(y2,2)+x2=1.
当直线l的斜率不存在时,|CD|=2eq \r(2),不符合题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+1,
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx+1,,y2+2x2=2,))得(k2+2)x2+2kx-1=0.
Δ=8(k2+1)>0恒成立.
设C(x1,y1),D(x2,y2).
∴x1+x2=-eq \f(2k,k2+2),x1x2=-eq \f(1,k2+2).
∴|CD|=eq \r(1+k2)|x1-x2|
=eq \r(1+k2)eq \r(x1+x22-4x1x2)
=eq \f(2\r(2)k2+1,k2+2).
即eq \f(2\r(2)k2+1,k2+2)=eq \f(3\r(2),2),
解得k2=2,∴k=±eq \r(2).
∴直线l的方程为eq \r(2)x-y+1=0或eq \r(2)x+y-1=0.
9.已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(2),2)))在椭圆上,且有|PF1|+|PF2|=2eq \r(2).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
解 (1)由|PF1|+|PF2|=2eq \r(2),得2a=2eq \r(2),
∴a=eq \r(2).
将Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,\f(\r(2),2)))代入eq \f(x2,2)+eq \f(y2,b2)=1,得b2=1.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,2)+y2=1.
(2)由已知,直线l的斜率为零时,不符合题意;
设直线方程为x-1=my,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=my+1,,x2+2y2=2,))得(m2+2)y2+2my-1=0,
由根与系数的关系,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1+y2=-\f(2m,m2+2),,y1y2=-\f(1,m2+2),))
∴S△AOB=eq \f(1,2)|OF2|·|y1-y2|
=eq \f(1,2)eq \r(y1+y22-4y1y2)
=eq \f(1,2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2m,m2+2)))2-4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,m2+2))))
=eq \r(2)×eq \r(\f(m2+1,m4+4m2+4))
=eq \r(2)×eq \r(\f(m2+1,m2+12+2m2+1+1))
=eq \r(2)×eq \r(\f(1,m2+1+\f(1,m2+1)+2))
≤eq \r(2)×eq \r(\f(1,2\r(m2+1·\f(1,m2+1))+2))=eq \f(\r(2),2),
当且仅当m2+1=eq \f(1,m2+1),即m=0时,等号成立.
∴△AOB面积的最大值为eq \f(\r(2),2).
10.如图,已知抛物线y2=4x,其焦点为F.
(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程;
(2)若互相垂直的直线m,n都经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点和C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
解 (1)由题意知,中点弦所在的直线斜率存在.
设所求直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2),
则yeq \\al(2,1)=4x1,yeq \\al(2,2)=4x2,kPQ=eq \f(y1-y2,x1-x2)=eq \f(4,y1+y2)=2,
∴所求直线方程为2x-y-1=0.
(2)依题意知,直线m,n的斜率存在,设直线m的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立,得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx-1,,y2=4x,))消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,其两根为x3,x4,且x3+x4=eq \f(4,k2)+2.
由抛物线的定义可知,|AB|=2+x3+x4=eq \f(4,k2)+4,
同理,|CD|=4k2+4,
∴四边形ACBD的面积S=eq \f(1,2)(4k2+4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2)+4))=8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2+k2+\f(1,k2)))≥32.当且仅当k=±1时取得最小值.
11.斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )
A.eq \f(4\r(5),5) B.eq \f(4\r(10),5) C.eq \f(8\r(10),5) D.eq \f(8\r(5),5)
答案 B
解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x+m,,\f(x2,4)+y2=1,))消去y得5x2+8mx+4(m2-1)=0,
Δ=(8m)2-4×5×4(m2-1)=80-16m2>0,即0≤m2<5.
则x1+x2=-eq \f(8m,5),x1x2=eq \f(4m2-1,5).
∴|AB|=eq \r(1+k2)|x1-x2|=eq \r(1+k2)·eq \r(x1+x22-4x1x2)=eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(8m,5)))2-\f(16m2-1,5))
=eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5-m2),
∴当m=0时,|AB|取得最大值eq \f(4\r(10),5).
12.设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点,若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
解析 ∵C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),
∴双曲线的渐近线方程是y=±eq \f(b,a)x,
∵直线x=a与双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点,
不妨设D在第一象限,E在第四象限,
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=a,,y=\f(b,a)x,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=a,,y=b,))故D(a,b),
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=a,,y=-\f(b,a)x,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=a,,y=-b,))故E(a,-b),
∴|ED|=2b,∴S△ODE=eq \f(1,2)a×2b=ab=8.
∵双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),
∴其焦距为2c=2eq \r(a2+b2)≥2eq \r(2ab)=2eq \r(16)=8,
当且仅当a=b=2eq \r(2)时取等号,
∴C的焦距的最小值为8.
13.已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为4,则弦AB的长为( )
A.3eq \r(2) B.4eq \r(2) C.6 D.6eq \r(2)
答案 D
解析 双曲线C:eq \f(x2,2)-eq \f(y2,2)=1,则c2=4,
∴右焦点为F(2,0),
根据题意易得过F的直线斜率存在,
设方程为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=kx-2,,x2-y2=2,))化简得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
∴xA+xB=eq \f(-4k2,1-k2),xAxB=eq \f(-4k2-2,1-k2).
∵线段AB中点的横坐标为4,
∴xA+xB=eq \f(-4k2,1-k2)=8,
解得k2=2,∴xAxB=eq \f(-4k2-2,1-k2)=10,
则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24,
则|AB|=eq \r(1+k2xA-xB2)=eq \r(3×24)=6eq \r(2).
14.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则yeq \\al(2,1)+yeq \\al(2,2)的最小值是________.
答案 32
解析 设AB的方程为x=my+4,
代入y2=4x得y2-4my-16=0,Δ>0,
则y1+y2=4m,y1y2=-16,
所以yeq \\al(2,1)+yeq \\al(2,2)=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,
当m=0时,yeq \\al(2,1)+yeq \\al(2,2)的最小值为32.
15.已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+y2=6相交于A,B两点,且|AB|=4,则此双曲线的离心率为( )
A.2 B.eq \f(5\r(3),3) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \r(2)
答案 D
解析 设双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线为bx-ay=0,
∵|AB|=4,r=eq \r(6),∴圆心(2,0)到渐近线的距离为eq \r(2),
即eq \f(2b,\r(b2+a2))=eq \r(2),解得b=a,∴c=eq \r(a2+b2)=eq \r(2)a,
∴此双曲线的离心率为e=eq \f(c,a)=eq \r(2).
16.已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(5,eq \r(23))在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,若△OAB的面积为2eq \r(2),求直线l的方程.
解 (1)依题意知,c=2,
所以a2+b2=4,
则双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,4-a2)=1(0
解得a2=50(舍去)或a2=2,
故所求双曲线的方程为eq \f(x2,2)-eq \f(y2,2)=1.
(2)依题意,可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得(1-k2)x2-4kx-6=0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-k2≠0,,-4k2+241-k2>0,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠±1,,-\r(3)
所以|AB|=eq \r(1+k2)·eq \r(x1+x22-4x1x2)
=eq \r(1+k2)·eq \f(2\r(2)×\r(3-k2),|1-k2|).
又原点O到直线l的距离d=eq \f(2,\r(1+k2)),
所以S△OAB=eq \f(1,2)d·|AB|=eq \f(1,2)×eq \f(2,\r(1+k2))·eq \r(1+k2)·eq \f(2\r(2)×\r(3-k2),|1-k2|)=eq \f(2\r(2)×\r(3-k2),|1-k2|).
又S△OAB=2eq \r(2),即eq \f(\r(3-k2),|1-k2|)=1,
所以k4-k2-2=0,解得k=±eq \r(2),满足(*).
故满足条件的直线l有两条,其方程分别为y=eq \r(2)x+2和y=-eq \r(2)x+2.
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