数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.4 曲线与方程导学案及答案

这是一份数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.4 曲线与方程导学案及答案，共11页。学案主要包含了曲线的方程与方程的曲线，求曲线的方程，根据方程研究曲线的性质等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，上一章我们学习了坐标平面上的直线，我们通过二元一次方程可以定量计算直线的倾斜角、距离、夹角等数量问题，也可以通过二元一次方程组判断直线的平行、垂直，这一切都源于二元一次方程与直线的对应，这种对应就是直线上的点都是二元一次方程的解，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，这实际上就是曲线与方程的对应关系，今天我们对曲线与方程进一步拓展．
一、曲线的方程与方程的曲线
问题1 请同学们举出我们所学习过的曲线与方程的关系．
提示 一次函数：二元一次方程⇔直线；二次函数：二元二次方程⇔抛物线；幂函数、三角函数、对数函数、指数函数等都可以用方程f(x)－y＝0表示．包括我们学习过的几何图形中的点、线、圆，也都可以用二元的方程来表示．
知识梳理
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有以下关系：
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．
例1 (1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是( )
A．方程F(x，y)＝0的曲线是C
B．方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线C
C．F(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
答案 ACD
解析 “曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确．
(2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是( )
答案 C
解析 由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1，
即y＝eq \f(1,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>0，,－\f(1,x)，x<0.))故选C.
(3)已知方程x2＋(y－1)2＝10.
①判断点P(1，－2)，Q(eq \r(2)，3)是否在此方程表示的曲线上；
②若点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，－m))在此方程表示的曲线上，求m的值．
解 ①∵12＋(－2－1)2＝10，(eq \r(2))2＋(3－1)2＝6≠10，
∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(eq \r(2)，3)不在此曲线上．
②∵Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)))2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－eq \f(18,5).
反思感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性．
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．
跟踪训练1 (1)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2eq \r(x)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵y2＝4x⇒y＝2eq \r(x)或y＝－2eq \r(x)，
故点M在曲线y2＝4x上，但不一定在曲线y＝－2eq \r(x)上，
∴点M的坐标不一定满足方程y＝－2eq \r(x).
反过来，点M的坐标满足方程y＝－2eq \r(x)，
则点M一定在曲线y＝－2eq \r(x)上，故也一定在曲线y2＝4x上，
∴“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2eq \r(x)”的必要不充分条件，故选B.
(2)方程x＝eq \r(1－y2)表示的图形是( )
A．两个半圆 B．两个圆
C．圆 D．半圆
答案 D
解析 ∵x＝eq \r(1－y2)，∴x≥0，
平方得x2＋y2＝1(x≥0)，对应的曲线为半圆．
(3)若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.
答案 3或－2
解析 由定义知，方程的曲线上的点的坐标一定满足曲线的方程，即点P(2,1)满足方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0，
即4＋k2－6－k－4＝0，即k2－k－6＝0，
解得k＝3或k＝－2.
二、求曲线的方程
知识梳理
求动点M的轨迹方程的一般步骤：
(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；
(2)写出M满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；
(3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程．
例2 设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过坐标原点O作圆C的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程．
解 方法一 (直接法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC.
由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，
化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq \f(1,4).
故OA的中点B的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0)．
方法二 (定义法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC.
由圆的性质，知BC⊥OA，记OC的中点为M，则点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，连接BM，则|BM|＝eq \f(1,2)|OC|.
所以点B在以点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))为圆心，OC为直径的圆上，
故点B的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0)．
方法三 (代入法、相关点法)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x，y)(x≠0)．
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1,2)，,y＝\f(y1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝2x，,y1＝2y.))
又(x1－1)2＋yeq \\al(2,1)＝1，
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq \f(1,4)，
故点B的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0)．
反思感悟 求曲线方程的方法
(1)直接法：当所求动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程．
(2)代入法(相关点法)：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理即得所求动点的轨迹方程．
(3)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标中的x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其一般方程．
(4)定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程．
跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
三、根据方程研究曲线的性质
例3 已知两曲线的方程为C1：2x－5y＋5＝0，C2：y＝－eq \f(10,x)，判断两曲线有无交点．若有交点，求出交点；若无交点，请说明理由．
解 建立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－5y＋5＝0，①,y＝－\f(10,x)， ②))
由①②消去y，得2x2＋5x＋50＝0，③
Δ＝25－4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组无实数解，
因此曲线C1：2x－5y＋5＝0与曲线C2：y＝－eq \f(10,x)无交点．
反思感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．如果只涉及曲线的一部分，常用到数形结合．
跟踪训练3 已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝eq \r(1－x2)有两个公共点，求实数b的取值范围．
解 方法一 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋b，,y＝\r(1－x2)y≥0，))
消去x，得2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．(*)
l与曲线C有两个公共点，等价于方程(*)有两个不相等的非负实数解，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4b2－8b2－1>0，,y1＋y2＝b>0，,y1y2＝\f(b2－1,2)≥0，))解得1≤b即实数b的取值范围为[1，eq \r(2))．
方法二 在同一平面直角坐标系内作出y＝x＋b与y＝eq \r(1－x2)的大致图像，如图所示，当直线l与半圆相切时，圆心(0,0)到y＝x＋b的距离d＝1，即eq \f(|b|,\r(2))＝1，解得b＝eq \r(2)或b＝－eq \r(2)(舍去)．当直线l过点(－1,0)时，b＝1，则当直线l与曲线C有两个公共点时，实数b的取值范围为[1，eq \r(2))．
1.知识清单：
(1)曲线的方程与方程的曲线的定义．
(2)曲线的交点．
(3)求曲线的方程(动点的轨迹方程)．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：动点的轨迹与动点的轨迹方程是不同的，易忽视，求得方程后易漏掉检验．
1．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为( )
A．一条直线 B．一条射线
C．一条线段 D．不能确定
答案 B
解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．
2．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是( )
答案 D
解析 ∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点．
3．曲线y＝eq \f(1,x)与xy＝2的交点是( )
A．(1,1)
B．(2,2)
C．直角坐标系内的任意一点
D．不存在
答案 D
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,x)，,xy＝2，))即1＝2方程无解，
即两曲线无交点．
4．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程为________．
答案 y＝4x2
解析 设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋0,2)，,y＝\f(y0－1,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x，,y0＝2y＋1，))
又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2xeq \\al(2,0)＋1，
即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程．
课时对点练
1．“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 结合曲线方程的定义易得．
2．方程|x|－|y|＝0表示的图形是( )
答案 C
解析 由|x|－|y|＝0知y＝±x，即表示第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线．
3．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝4，则点P的轨迹是( )
A．线段 B．半圆 C．圆 D．直线
答案 C
解析 以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))＝2(－x，－y)．∴x2＋y2＝4.
4．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．y＝eq \r(1－x2) D．x2＋y2＝9(x≠0)
答案 B
解析 设P(x，y)，则kPA＝eq \f(y,x＋1)，kPB＝eq \f(y,x－1)，
所以kPA·kPB＝eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝－1.
整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1.
所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)．
5．(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1A．(0,0) B．(7,15) C．(2,3) D．(4,7)
答案 CD
解析 由y＝2x－1(16．(多选)下列方程对应的曲线与曲线y＝x是同一条曲线的是( )
A．y＝ B．y＝eq \r(x2)
C．y＝lgaax D．y＝eq \r(3,x3)
答案 CD
解析 y＝lgaax＝x，y＝eq \r(3,x3)＝x，故选CD.
7．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
答案 5
解析 由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
8．已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为__________．
答案 x2＝4y
解析 设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以eq \r(x2＋y－12)＝|y＋1|，两边平方整理得x2＝4y.
9．已知曲线C的方程为x＝eq \r(4－y2)，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解 由x＝eq \r(4－y2)，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝eq \r(4－y2)表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝eq \f(1,2)π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
10.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝eq \f(4－0,2－2x)(x≠1)，kPB＝eq \f(4－2y,2－0)，
∴eq \f(2,1－x)·eq \f(2－y,1)＝－1(x≠1)，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
11．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是( )
A．两条直线
B．一条直线和一条双曲线
C．两个点
D．圆
答案 C
解析 方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,xy＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))
故方程表示两个点(－1，－1)，(1,1)．
12．已知y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )
A．a>1 B．0C．01 D．a∈∅
答案 A
解析 ∵a>0，∴y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图像大致如图，
要使y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.
13．笛卡尔、牛顿都研究过方程(x－1)(x－2)(x－3)＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是( )
A．②③ B．①④ C．③ D．③④
答案 C
解析 以－x代x，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝xy，方程改变，不关于y轴对称；
以－x代x，－y代y，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝－xy，方程改变，不关于原点对称；
当x<0，y<0时，(x－1)(x－2)(x－3)<0，xy>0，显然方程不成立，
∴该曲线不经过第三象限；
令x＝－1，易得y＝24，即(－1,24)适合题意，同理可得(1,0)，(2,0)，(3,0)适合题意，
∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的．
14．给出下列说法：
①方程eq \f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．
其中正确说法的序号是________．
答案 ③
解析 对于①，方程eq \f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；
对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；
对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．
15．直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，则弦AB的中点M的轨迹方程为________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(16,5)))
解析 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，
得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4).
∵点M应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝\f(25,4)，,x2＋y2＝16，))
得两曲线交点的横坐标为x＝eq \f(16,5)，又k≠0，
故所求轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜x<\f(16,5))).
16．过点M(1,2)的直线与曲线y＝eq \f(a,x)(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围．
解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点．
故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝kx－1，,y＝\f(a,x)，))
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.①
当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．
∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.(*)
设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，
代入(*)式中，得3a2－8a<0，
解得0又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
∴a的取值范围是(0,2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3))).