高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系导学案，共15页。学案主要包含了直线与椭圆的交点问题，直线与双曲线的交点问题，直线与抛物线的交点问题，中点弦问题等内容，欢迎下载使用。

一、直线与椭圆的交点问题
知识梳理
联立直线方程与椭圆方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与椭圆的位置关系如下
注意点：设直线时，要注意斜率不存在的情况．
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)于是，当－3eq \r(2)(2)由Δ＝0，得m＝±3eq \r(2).
也就是当m＝±3eq \r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2).
从而当m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练1 已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
答案 C
解析 由题意知，l：x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，
因为eq \f(02,4)＋eq \f(12,3)<1，
所以点(0,1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交．
二、直线与双曲线的交点问题
知识梳理
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注意点：
直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
例2 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))
消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))得－eq \f(2\r(3),3)此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点．
延伸探究
若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))得k＝±eq \f(2\r(3),3)，
此时方程(*)有两个相同的实数解，
即直线l与双曲线有且只有一个公共点；
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(*)化为2x＝5，
故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，
有且只有一个公共点．
故当k＝±eq \f(2\r(3),3)或±1时，
直线l与双曲线有且只有一个公共点．
反思感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论．
跟踪训练2 已知双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解 (ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，
得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0时，k＝±2，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq \f(5,2).
综上，k＝eq \f(5,2)或k＝±2或k不存在．
三、直线与抛物线的交点问题
知识梳理
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
例3 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝eq \f(1,4)，
∴直线l与C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．
跟踪训练3 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案 [－1,1]
解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0四、中点弦问题
例4 已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．
解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
于是x1＋x2＝eq \f(82k2－k,4k2＋1).
又M为线段AB的中点，
∴eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(42k2－k,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq \f(1,2).
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则xeq \\al(2,1)＋4yeq \\al(2,1)＝16，xeq \\al(2,2)＋4yeq \\al(2,2)＝16，
两式相减，得(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋4(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq \f(4,4×2)＝－eq \f(1,2)，
即kAB＝－eq \f(1,2).
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y)．
∵A，B两点都在椭圆上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝16， ①,4－x2＋42－y2＝16. ②))
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
反思感悟 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
同理可得双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中kAB＝eq \f(b2,a2)eq \f(x0,y0)，
抛物线y2＝2px(p>0)中kAB＝eq \f(p,y0).
跟踪训练4 (1)直线l的斜率为4，过点M(4,1)且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若点M恰好为AB的中点，则抛物线方程为________________．
答案 y2＝8x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))相减得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝2p(x1－x2)，
整理有eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2p,y1＋y2)，
即kAB＝eq \f(2p,y1＋y2)，
∴eq \f(2p,2)＝4，∴p＝4，∴y2＝8x.
(2)已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1，是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由．
解 方法一 由题意知直线的斜率存在，设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－eq \f(y2,2)＝1，
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
解得kx1＋x2＝eq \f(2kk－1,k2－2).
∵B(1,1)是弦的中点，∴eq \f(kk－1,k2－2)＝1，
解得k＝2>eq \f(3,2)，故不存在被点B(1,1)平分的弦．
方法二 设弦的两端点为A(x1，y1)，C(x2，y2)，
∴B(1,1)为AC的中点，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)－\f(y\\al(2,1),2)＝1，,x\\al(2,2)－\f(y\\al(2,2),2)＝1))两式相减有xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＝eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),2)，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝2×eq \f(2,2)＝2，
即kAC＝2，
∴直线AC的方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1，))
整理有2x2－4x＋3＝0，
Δ＝16－4×2×3＝－8<0，
故y＝2x－1与双曲线无交点，
∴不存在被点B(1,1)平分的弦．
1.知识清单：
(1)直线与圆锥曲线的位置关系．
(2)中点弦的问题．
2．方法归纳：公式法、点差法、对称点法、数形结合、分类讨论．
3．常见误区：容易忽视讨论直线的斜率是否存在．
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
答案 A
解析 把x＋y－3＝0代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得eq \f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,2)))
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,2x2＋y2＝4，))
消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，
∴弦的中点的横坐标是x＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
代入直线方程y＝x－1中，得y＝－eq \f(2,3)，
∴弦的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－\f(2,3))).
3．直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点个数是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
答案 A
解析 由题意，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
可得其渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，
所以它与双曲线只有1个交点．
4．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx＋k，))消去x，得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k<－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
课时对点练
1．若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3) C．±eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(3),3)
答案 C
解析 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))
可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
解得k＝±eq \f(\r(6),3).
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]
答案 A
解析 易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由Δ>0可得－23．直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( )
A．(1,2) B．(－2，－1)
C．(－1，－2) D．(2,1)
答案 C
解析 将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，
由此可得弦的中点的横坐标为eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－2,2)＝－1，纵坐标为－1－1＝－2.
4．直线x＋4y＋m＝0交椭圆eq \f(x2,16)＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m的值是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 ∵x＋4y＋m＝0，
∴y＝－eq \f(1,4)x－eq \f(m,4)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋y\\al(2,1)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋y\\al(2,2)＝1，))
两式相减，得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,16y1＋y2)＝－eq \f(1,4).
∵AB中点的横坐标为1，
∴纵坐标为eq \f(1,4)，
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))代入直线y＝－eq \f(1,4)x－eq \f(m,4)，
解得m＝－2.
5．(多选)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 AD
解析 根据椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
由x0＝b，得yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))＝eq \f(b2c2,a2)，
∴y0＝±eq \f(bc,a)，∴k＝eq \f(y0,x0)＝±eq \f(c,a)＝±eq \f(\r(2),2).
6．(多选)设椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．kAB·kOM＝－1
B．若点M的坐标为(1,1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
D．若直线l的方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq \f(4\r(2),3)
答案 BD
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),2)＋\f(y\\al(2,1),4)＝1，,\f(x\\al(2,2),2)＋\f(y\\al(2,2),4)＝1，))
两式相减，得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),4)＝0，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－2，
即kAB·kOM＝－2.
对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；
对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1,1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；
对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；
对于D，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，))得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(4,3)，所以|AB|＝eq \r(1＋12)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)－0))＝eq \f(4\r(2),3)，所以D正确．
7．若直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
答案 (1,3)∪(3，＋∞)
解析 ∵eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1表示椭圆，
∴m>0且m≠3.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))
得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.
∴m>1且m≠3，
∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．
8．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
答案 (4,2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y2＝4x，))得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2)．
9．已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0，))
消x得9y2－2ay＋a2－8＝0，
由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，
它们之间的距离即为所求最短距离，
且直线x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.
故所求最短距离为d＝eq \f(|4－3|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，\f(1,3))).
10．已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若过点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))的直线l交动点M的轨迹于C，D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
解 (1)设M(x，y)．
因为kAM·kBM＝－2，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝－2(x≠±1)，
化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)．
即点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝eq \f(1,2)，易知此时线段CD的中点不是N，不符合题意．
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y－1＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，将点C(x1，y1)，D(x2，y2)的坐标代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝2，①
2xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)＝2，②
①－②整理得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(2x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(2×2×\f(1,2),2×1)＝－1，
故直线l的方程为y－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0.
11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为eq \f(\r(2),2)，则eq \f(m,n)的值是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(9\r(2),2) D.eq \f(2\r(3),27)
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx2＋ny2＝1，,y＝1－x，))
消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝eq \f(2n,m＋n)，∴x0＝eq \f(n,m＋n)，
代入y＝1－x得y0＝eq \f(m,m＋n).
由题意知eq \f(y0,x0)＝eq \f(\r(2),2)，∴eq \f(m,n)＝eq \f(\r(2),2).
12．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有1条或2条 D．不存在
答案 B
解析 |AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，而通径的长为4，所以有且仅有两条．
13．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,19)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
答案 C
解析 由题意设椭圆方程为eq \f(x2,b2＋1)＋eq \f(y2,b2)＝1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,b2＋1)＋\f(y2,b2)＝1，,x－y＋3＝0，))
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
又e＝eq \r(1－\f(b2,b2＋1))＝eq \r(\f(1,b2＋1))，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
14．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝eq \f(1,2)x交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(15)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
答案 B
解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
与y＝eq \f(1,2)x联立，得eq \f(3,4)x2＝a2，
∴|AB|＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)×eq \f(4\r(3),3)a＝2eq \r(15)，∴a＝3，故选B.
15．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋eq \r(2)y－2eq \r(2)＝0与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切，若椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：y＝eq \f(c,b)x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D．2
答案 C
解析 联立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(2)y－2\r(2)＝0，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，
由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0.
设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E(图略)，易知F′E∥l，
所以F′E⊥EF.
又点F到直线l的距离d＝eq \f(c2,\r(c2＋b2))＝eq \f(c2,a)，
所以|EF|＝eq \f(2c2,a)，|F′E|＝2a－|EF|＝eq \f(2b2,a).
在Rt△F′EF中，由|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，
化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，c2＝2.
所以|EF|＝|F′E|＝2，
所以S△OEF＝eq \f(1,2)S△F′EF＝1.
16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求|AB|＋|CD|的值．
解 (1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，
可知圆心为F(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，故抛物线方程为y2＝8x.
(2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|＝4，
则|AB|＋|CD|＝|AD|－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上，
由已知可得直线l的方程为y＝2(x－2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝2x－2，))消去y，
得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AD|＝6＋4＝10，
∴|AB|＋|CD|＝10－4＝6.方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ<0
0
相离