高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质学案及答案，共14页。学案主要包含了双曲线的简单几何性质，由简单几何性质求标准方程，双曲线的离心率等内容，欢迎下载使用。

导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
一、双曲线的简单几何性质
问题1 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的几何性质．
提示 1.范围
利用双曲线的方程求出它的范围，由方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1可得eq \f(x2,a2)＝1＋eq \f(y2,b2)≥1，
于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式eq \f(x2,a2)≥1，y∈R，
所以x≥a 或x≤－a；y∈R.
2．对称性
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称．
x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心．
3．顶点
(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点 .
顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个．
(2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长．
(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．
方程为x2－y2＝m(m≠0)．
4．渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为y＝eq \f(b,a)eq \r(x2－a2)，
它与y＝eq \f(b,a)x的位置关系：在y＝eq \f(b,a)x的下方．
它与y＝eq \f(b,a)x的位置的变化趋势：慢慢靠近．
(1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
5．离心率
(1)定义：e＝eq \f(c,a).
(2)e的范围：e>1.
(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)，说明e越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．
知识梳理
注意点：(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(2)等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，渐近线方程为y＝±x.
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)画双曲线时，先画两条渐近线．
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
解 将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，
即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝eq \r(13)，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程y＝±eq \f(2,3)x.
延伸探究
若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)，
由此可知，半实轴长a＝eq \r(m)，
半虚轴长b＝eq \r(n)，c＝eq \r(m＋n)，
焦点坐标为(eq \r(m＋n)，0)，(－eq \r(m＋n)，0)，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m＋n),\r(m))＝eq \r(1＋\f(n,m))，
顶点坐标为(－eq \r(m)，0)，(eq \r(m)，0)，
所以渐近线方程为y＝±eq \f(\r(n),\r(m)) x，即y＝±eq \f(\r(mn),m)x.
反思感悟 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
跟踪训练1 双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)
答案 B
解析 双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x，所以x±y＝0，所以顶点到渐近线的距离为d＝eq \f(|±1±0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
二、由简单几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为eq \f(5,3)，且经过点M(－3,2eq \r(3))；
(2)一个焦点为(0,13)，且离心率为eq \f(13,5)；
(3)过点(2,1)的等轴双曲线．
解 (1)设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
∵e＝eq \f(5,3)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(9,a2)－\f(12,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.))
∴所求的双曲线方程为eq \f(4x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又eq \f(c,a)＝eq \f(13,5)，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
故其标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1.
(3)设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2,1)，则λ＝3，
∴所求双曲线方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1.
反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq \f(5,3)；
(2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq \f(2\r(3),3)，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为eq \f(\r(3),2)，求此双曲线的标准方程．
解 (1)设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由题意知2b＝8，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，
从而b＝4，c＝eq \f(5,3)a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)∵e＝eq \f(2\r(3),3)，∴eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(3),3)，∴eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(4,3)，
∴a2＝3b2.①
又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，
∴d＝eq \f(ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),2)，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②
解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
三、双曲线的离心率
例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(5,2) D.eq \r(5)
答案 C
解析 由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到渐近线的距离为d＝eq \f(|－5a|,\r(b2＋－a2))＝eq \f(5a,c)，
则eq \f(5a,c)＝2，可得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,2).
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3 已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(2)＋1 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
答案 B
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，
所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2，
即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，
得e2－2e－1＝0.
因为e>1，所以e＝eq \r(2)＋1.
1．知识清单：
(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8eq \r(2)B．虚轴长为4
C．焦距为6D．离心率为eq \f(3\r(2),4)
答案 ABD
解析 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为eq \f(x2,32)－eq \f(y2,4)＝1，可得a＝4eq \r(2)，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8eq \r(2)，虚轴长为4，焦距为12，离心率为eq \f(3\r(2),4).
2．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A．6 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
答案 A
解析 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)×16＝8，故选A.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________．
答案 eq \r(2)＋1
解析 设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
代入双曲线方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(4c2,b2)＝1，
即eq \f(c2,a2)－eq \f(4c2,c2－a2)＝1.
可得e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3＋2eq \r(2)，
所以e＝eq \r(2)＋1.
课时对点练
1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A.eq \f(3\r(14),14) B.eq \f(3\r(2),4) C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
答案 C
解析 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2).
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1
答案 D
解析 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
3．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
答案 B
解析 ∵e＝eq \r(3)，∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)，即eq \f(a2＋b2,a2)＝3，
∴b2＝2a2，∴双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2a2)＝1，
∴渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.
4．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 由双曲线的几何性质可得，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,9)＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(3,a)x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±eq \f(3,2)x，故a＝2.
5．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，则下列结论正确的是 ( )
A．C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
B．C的离心率为eq \f(5,4)
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
答案 AD
解析 双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，A正确；
离心率为e＝eq \f(5,3)，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝eq \f(4×5,\r(42＋32))＝4，C不正确；
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
6．(多选)已知曲线C：eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,m－2)＝1，下列说法不正确的是( )
A．m<2时该曲线为双曲线
B．m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C．若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上
D．若该曲线的离心率为eq \r(7)，则m＝eq \f(1,2)或m＝－eq \f(2,3)
答案 AB
解析 由题意知，若曲线C为双曲线，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2<0，,m2>0，))即m<2且m≠0，故A不正确；
若该曲线为等轴双曲线，方程可化为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,2－m)＝1，
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；
∵m2>0，故C正确；
D中，e＝eq \r(7)，∴eq \f(m2＋2－m,m2)＝7，
即6m2＋m－2＝0，
解得m＝eq \f(1,2)或m＝－eq \f(2,3)，故D正确．
7．双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
答案 eq \r(3)
解析 双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝eq \r(3)x，
因此焦点到渐近线的距离d＝eq \f(2\r(3),\r(3＋1))＝eq \r(3).
8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
答案 eq \f(y2,36)－eq \f(x2,12)＝1
解析 椭圆4x2＋y2＝64可变形为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4eq \r(3))，(0，－4eq \r(3))，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4eq \r(3)，e′＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为eq \f(y2,36)－eq \f(x2,12)＝1.
9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．
(1)求双曲线的离心率；
(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．
解 (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，
则eq \f(5k,\r(k2＋1))＝4，解得k＝eq \f(4,3).
若双曲线焦点在x轴上，则eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，e＝eq \f(5,3)；
若双曲线焦点在y轴上，则eq \f(a,b)＝eq \f(4,3)，e＝eq \f(5,4)，
故所求双曲线的离心率为e＝eq \f(5,3)或e＝eq \f(5,4).
(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，
由PF1⊥PF2得eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0.
所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5，
由(1)知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，又a2＋b2＝c2＝25，
所以a＝3，b＝4，
所以双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
10．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(0解 直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.
于是有eq \f(|b·0＋a·0－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c，
所以ab＝eq \f(\r(3),4)c2，两边平方，得a2b2＝eq \f(3,16)c4.
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝eq \f(4,3).
又b>a，所以e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)>2，则e＝2.
于是双曲线的离心率为2.
11．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)＝1
答案 A
解析 由题意，点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x上，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2b.
又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求双曲线方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1.
12.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A．3 B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝eq \f(c,a)，e2＝eq \f(c,m)，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
即2m＝a，所以eq \f(e2,e1)＝eq \f(\f(c,m),\f(c,a))＝eq \f(a,m)＝2.
13．已知P为双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为( )
A．4 B．5
C.eq \f(4,5) D．与点P的位置有关
答案 C
解析 设点P(x0，y0)，则有eq \f(y\\al(2,0),4)－xeq \\al(2,0)＝1，
所以yeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)＝4.
易知双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，
所以|PA|·|PB|＝eq \f(|2x0＋y0|,\r(5))·eq \f(|2x0－y0|,\r(5))＝eq \f(|4x\\al(2,0)－y\\al(2,0)|,5)＝eq \f(4,5).
14．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点F2的距离与直线x＝eq \f(a2,c)的距离之比为________．
答案 2
解析 离心率e＝2，则eq \f(c,a)＝2，
∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
∴b＝eq \r(3)a，
∴右焦点F2(2a,0)，直线x＝eq \f(a2,c)＝eq \f(a2,2a)＝eq \f(a,2)，
设点P(x0，y0)，∴eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，即eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),3a2)＝1，
∴点P到F2的距离与点P到直线x＝eq \f(a,2)的距离之比为eq \f(\r(x0－2a2＋y\\al(2,0)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(a,2))))＝eq \f(\r(x0－2a2＋3x\\al(2,0)－3a2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(a,2))))
＝eq \f(\r(4x\\al(2,0)－4ax0＋a2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(a,2))))＝eq \f(|2x0－a|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(a,2))))＝2.
15．已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案 eq \r(3)－1 2
解析 椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况．
记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，
由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为eq \r(3)，
所以椭圆半焦距为2,2a＝|PQ|＋|PF|＝2eq \r(3)＋2，a＝eq \r(3)＋1，离心率为eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.
双曲线N的一条渐近线斜率为eq \f(n,m)＝tan 60°＝eq \r(3)，
e2＝eq \f(m2＋n2,m2)＝1＋eq \f(n2,m2)＝4，
所以离心率为2.
16．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq \r(3)，求双曲线的离心率．
解 (1)由题意，知eq \f(b,a)＝1，c＝2，a2＋b2＝c2，
所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)由题意，设A(m，n)，则kOA＝eq \f(\r(3),3)，
从而n＝eq \f(\r(3),3)m，
又m2＋n2＝c2，所以m＝eq \f(\r(3),2)c，n＝eq \f(c,2)，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)c，\f(c,2)))，
将点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)c，\f(c,2)))代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1得，
eq \f(3c2,4a2)－eq \f(c2,4b2)＝1，所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2，
所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，
所以3b4－2a2b2－a4＝0，
所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))4－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－1＝0，
所以eq \f(b2,a2)＝1，从而e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝2，又e>1，所以e＝eq \r(2).标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：x轴、y轴，对称中心：坐标原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝eq \f(c,a)(e>1)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x