2021学年2.5.2 椭圆的几何性质第2课时导学案及答案

这是一份2021学年2.5.2 椭圆的几何性质第2课时导学案及答案，共14页。学案主要包含了椭圆中的焦点三角形，椭圆中的最值，实际生活中的椭圆问题等内容，欢迎下载使用。

一、椭圆中的焦点三角形
例1 已知P为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(3)，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \r(3).
延伸探究
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解 由已知得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(12－3)＝3.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，
所以|PF2|＝4eq \r(3)－|PF1|.
从而有(4eq \r(3)－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝eq \f(\r(3),2).
所以△F1PF2的面积S＝eq \f(1,2)·|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)×6＝eq \f(3\r(3),2)，
即△F1PF2的面积是eq \f(3\r(3),2).
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)焦点三角形面积公式：＝b2tan eq \f(θ,2).
跟踪训练1 设P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
答案 C
解析 ∵P为椭圆C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝8.
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(49－24)＝10，
∴易知△PF1F2是直角三角形，
＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝24.
∵△PF1F2的重心为点G，∴＝，
∴△GPF1的面积为8.
二、椭圆中的最值
问题 若P(x0，y0)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)是椭圆的左、右焦点，你能表示|PF1|与|PF2|吗？
提示 |PF1|＝eq \r(x0＋c2＋y\\al(2,0))
＝eq \r(x0＋c2＋b2·\f(a2－x\\al(2,0),a2))
＝eq \r(\f(c2,a2)·x\\al(2,0)＋2cx0＋a2)
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(cx0,a)))，
因为－a≤x0≤a，所以a－c≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(cx0,a)))≤a＋c，
故有|PF1|＝a＋ex0，
同理|PF2|＝a－ex0.
知识梳理
|PF1|与|PF2|统称焦半径，其最大值为a＋c，最小值为a－c.
例2 (1)若椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为( )
A．3,1 B．2＋eq \r(3)，2－eq \r(3)
C．2,1 D.eq \r(3)＋1，eq \r(3)－1
答案 A
解析 由题知a＝2，b＝eq \r(3)，
所以c＝eq \r(4－3)＝1，
所以距离的最大值为a＋c＝3，
距离的最小值为a－c＝1.
(2)椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，F1，F2是左、右焦点，点Q(2,2)，点P为椭圆上一动点，则|PF1|＋|PQ|的最大值为________，最小值为________．
答案 10＋eq \r(5) 10－eq \r(5)
解析 椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，
∴a＝5，b＝4，c＝3，
∴F1(－3,0)，F2(3,0)．
如图所示，点Q在椭圆内部，
∵点P为椭圆上的点，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF1|＝10－|PF2|，
∵|PF1|＋|PQ|＝|PQ|－|PF2|＋10，
又||PQ|－|PF2||≤|QF2|＝eq \r(5)，
∴－eq \r(5)≤|PQ|－|PF2|≤eq \r(5)，
即|PF1|＋|PQ|∈[10－eq \r(5)，10＋eq \r(5)]．
反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、均值不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练2 (1)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2 B．5,4 C．5,1 D．9,1
答案 D
解析 依题意a＝5，b＝3，c＝4，所以P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是a＋c＝9，a－c＝1.
(2)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为bc，则椭圆的离心率为________．
答案 eq \f(\r(3),2)
解析 设椭圆的右焦点为E(如图所示)．
由椭圆的定义得△FAB的周长为
|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)
＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.
因为|AE|＋|BE|≥|AB|，
所以|AB|－|AE|－|BE|≤0，当且仅当AB过点E时取等号；
所以△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a，
所以△FAB的周长的最大值是4a；
此时△FAB的面积为S△FAB＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(2b2,a)＝eq \f(2b2c,a)＝bc，
整理得a＝2b.
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2).
三、实际生活中的椭圆问题
例3 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)eq \f(c2,a2)
答案 BD
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，aeq \\al(2,1)＋ceq \\al(2,2)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)＋ceq \\al(2,1)＋2a2c1，
所以aeq \\al(2,1)－ceq \\al(2,1)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)－ceq \\al(2,2)＋2a2c1，
即beq \\al(2,1)＋2a1c2＝beq \\al(2,2)＋2a2c1，由图可得，beq \\al(2,1)>beq \\al(2,2)，
所以2a1c2<2a2c1，eq \f(c2,a2)反思感悟 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
跟踪训练3 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8eq \r(7) 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．
答案 32
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,36)＝1，
当点(4eq \r(7)，4.5)在椭圆上时，eq \f(16×7,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2,36)＝1，
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米．
1.知识清单：
(1)焦点三角形．
(2)椭圆中的最值问题．
(3)生活中的椭圆问题．
2．方法归纳：转化法、数形结合．
3．常见误区：容易忽略实际问题中的取值范围．
1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△AF1B的周长等于( )
A．20 B．10 C．16 D．8
答案 A
解析 因为椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，所以由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝20.
2．椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的右焦点为F，点P是椭圆C上的动点，则|PF|的最大值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 D
解析 由题意可得a＝4，c＝eq \r(16－12)＝2，
则|PF|≤a＋c＝6.所以|PF|的最大值是6.
3．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1与y轴的交点为P，两个焦点为F1，F2，则△PF1F2的面积为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 D
解析 由椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1可得a＝5，b＝4，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(25－16)＝3，
令x＝0可得y＝±4，所以P(0，±4)，
所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×|yP|×|F1F2|＝eq \f(1,2)×4×6＝12.
4.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆．已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为_________cm.
答案 20
解析 因为两个椭圆的扁平程度相同，所以椭圆的离心率相同，
所以eq \f(c大,a大)＝eq \f(c小,a小)，
即eq \r(\f(a\\al(2,大)－b\\al(2,大),a\\al(2,大)))＝eq \r(\f(a\\al(2,小)－b\\al(2,小),a\\al(2,小))).
所以eq \r(\f(202－102,202))＝eq \r(\f(a\\al(2,小)－52,a\\al(2,小)))，
解得a小＝10.
所以小椭圆的长轴长为20 cm.
课时对点练
1．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．2eq \r(2)
答案 C
解析 设P(x0，y0)，则eq \(PF1,\s\up6(—→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PF2,\s\up6(—→))＝(1－x0，－y0)，
∴eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))＝(－2x0，－2y0)，
∴|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|＝eq \r(4x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0))
＝2eq \r(2－2y\\al(2,0)＋y\\al(2,0))
＝2eq \r(－y\\al(2,0)＋2).
∵点P在椭圆上，∴0≤yeq \\al(2,0)≤1，
∴当yeq \\al(2,0)＝1时，|eq \(PF1,\s\up6(—→))＋eq \(PF2,\s\up6(—→))|取得最小值2.故选C.
2．已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为( )
A．ce－c B．2ce－2c
C.eq \f(c,e)－c D.eq \f(2c,e)－2c
答案 C
解析 因为地球椭圆轨道的焦距为2c，离心率为e，
所以由e＝eq \f(c,a)，得a＝eq \f(c,e)，
而太阳在这个椭圆的一个焦点上，
所以地球到太阳的最小距离为a－c＝eq \f(c,e)－c.
3．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
答案 C
解析 根据椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
4．若椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．64eq \r(3) B．16eq \r(3) C.eq \f(64\r(3),3) D.eq \f(16\r(3),3)
答案 C
解析 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs 60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝eq \f(256,3)，
∴＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝eq \f(64\r(3),3).
5．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(m＋Rn＋R)
答案 ABD
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝a－c－R，,n＝a＋c－R，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－c＝m＋R，,a＋c＝n＋R，))(*)．故A，B正确；
由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
∴b＝eq \r(m＋Rn＋R)，故D正确．
6．(多选)P为椭圆C上任一点，且焦点为F1，F2，若P到焦点F1的距离的最大值为2eq \r(5)＋2，最小值为2eq \r(5)－2，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,20)＝1
答案 BC
解析 依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝2\r(5)＋2，,a－c＝2\r(5)－2，))解得a＝2eq \r(5)，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16，
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,20)＝1.
7．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴端点，若△BF1F2为钝角三角形，则e的取值范围是__________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
解析 如图所示，
△BF1F2为钝角三角形，
则∠F1BF2>90°，
所以∠OBF2>45°，
即c>b，所以c2>b2＝a2－c2，
所以eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，又08．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为______________．
答案 eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
解析 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由e＝eq \f(\r(2),2)，知eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
故eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).
∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
∴a＝4，∴b2＝8，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.
9．椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))到椭圆上的点的最远距离是eq \r(7)，求这个椭圆的方程．
解 设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
∵eq \f(b,a)＝eq \r(\f(a2－c2,a2))＝eq \r(1－e2)＝eq \f(1,2)，∴a＝2b.
∴椭圆方程为eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
设椭圆上点M(x，y)到点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))的距离为d，
则d2＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝4b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－3y＋eq \f(9,4)
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
令f(y)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＋4b2＋3.
①当－b≤－eq \f(1,2)，即b≥eq \f(1,2)时，
deq \\al(2,max)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝4b2＋3＝7，
解得b＝1，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
②当－eq \f(1,2)<－b，即0解得b＝eq \r(7)－eq \f(3,2)>eq \f(1,2)，与b综上所述，所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
10．已知椭圆M与椭圆N：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1有相同的焦点，且椭圆M过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2\r(5),5))).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
解 (1)由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
设椭圆M的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝4，,\f(1,a2)＋\f(4,5b2)＝1，))化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－eq \f(16,5)(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为eq \f(x2,5)＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×4×|y0|＝1，
解得y0＝±eq \f(1,2).
又eq \f(x\\al(2,0),5)＋yeq \\al(2,0)＝1，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(15,4)，x0＝±eq \f(\r(15),2)，
所以点P有4个，它们的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),2)，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(15),2)，－\f(1,2))).
11.神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个外星人发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R D．d1＋d2
答案 D
解析 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
12.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，
可得eq \f(2b,2a)＝cs 60°，即a＝2b，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).
13．点P为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．(8,24) B．[8,24] C．[5,21] D．(5,21)
答案 B
解析 由题意，eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NE,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NF,\s\up6(→)))＝(eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(NE,\s\up6(→)))·(eq \(PN,\s\up6(→))－eq \(NE,\s\up6(→)))＝|eq \(PN,\s\up6(→))|2－|eq \(NE,\s\up6(→))|2，
又EF为圆N：(x－1)2＋y2＝1的任意一条直径，
则|eq \(NE,\s\up6(→))|＝1，
在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,15)＝1中，有a－c≤|eq \(PN,\s\up6(→))|≤a＋c，
即3≤|eq \(PN,\s\up6(→))|≤5，
所以8≤|eq \(PN,\s\up6(→))|2－1≤24，
故eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝|eq \(PN,\s\up6(→))|2－1的取值范围为[8,24]．
14．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.
答案 120°
解析 由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(7)，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
∴cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq \f(1,2)，
又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
15.圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线τ，τ是以F为一个焦点的椭圆，则τ的的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(4,5))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，1))
答案 B
解析 当α与底面趋于平行时τ几乎成为一个圆，因此离心率可以充分接近0.当α与底面的夹角最大时，τ的离心率达到最大，下面求解这一最大值．如图，AB为长轴，F为焦点时，e最大，a＋c＝|BF|＝|BG|＝2，
易知b＝1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(5,4)，,c＝\f(3,4)，))则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,5)，
则离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5))).
16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
解 (1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2eq \r(3)，
∴曲线C的方程eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，得eq \r(x－22＋y2)＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－22＋y2＝9，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,－4≤x≤4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－3.))
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．